梁曉雯，郁勝旗

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019）

本文考慮如下b-族系統(tǒng)的柯西問(wèn)題：

其中，k1，k2，k3為參數(shù)。

若在系統(tǒng)（1）中選取ρ=0，系統(tǒng)（1）即退化為著名的b-族方程ut-utxx+（b+1）uux=buxuxx+uuxxx。通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)腒odama 變換，上述b-族方程可以被看作是具有二次漸近精度的等價(jià)淺水波方程[1-2]，但是當(dāng)b=-1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的Kodama 變換是具有奇性并且違反漸近序的。

有關(guān)非線性色散播方程解的定性性質(zhì)問(wèn)題一直是偏微分方程領(lǐng)域的熱門(mén)研究課題[3-16]。近年來(lái)，淺水波方程的非一致連續(xù)依賴性問(wèn)題被廣泛討論[17-20]，但絕大部分工作是在傳統(tǒng)的Sobolev 空間中進(jìn)行的。受文獻(xiàn)[19]的啟發(fā)，本文擬在更廣義的Besov 空間中討論系統(tǒng)（1）解的連續(xù)性問(wèn)題。此工作不是一般意義下的推廣，事實(shí)上，廣義的空間架構(gòu)帶來(lái)了性質(zhì)的弱化，給能量估計(jì)帶來(lái)了本質(zhì)上的困難，這就需要充分發(fā)掘Besov 空間的性質(zhì)、細(xì)化估計(jì)來(lái)克服空間性質(zhì)的弱化帶來(lái)的影響。

本文后續(xù)關(guān)于問(wèn)題（2）解的連續(xù)性討論，都是在Besov 空間中進(jìn)行的，關(guān)于Besov 空間的基礎(chǔ)理論，讀者可參考文獻(xiàn)[19]。

注1在下文的討論中，為方便起見(jiàn)，用f?g 表示f≤Cg，用f ?g 表示f ≥Cg，其中C ＞0 是一個(gè)常數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出柯西問(wèn)題（1）解的局部適定性。對(duì)于T ＞0，s∈R，1≤p，r≤∞，定義

其中C ＞0 是一個(gè)僅依賴于p，r，s 的常數(shù)。

引理1 的證明可以參考文獻(xiàn)[17]。接下來(lái)，為了進(jìn)一步討論的需要，介紹一個(gè)引理：

引理2[21]設(shè)δ ＞0，1≤r ＜∞，則對(duì)于?σ ＞0及φ（x）∈S（R）（S（R）是定義在實(shí)數(shù)軸R 上的解析函數(shù)空間），有

注2式（5）中的余弦函數(shù)如果換成正弦函數(shù)，結(jié)論也成立。

2 主要結(jié)論及其證明

以下是本文的主要結(jié)論：

受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā)，本文將通過(guò)構(gòu)建逼近解序列的方法證明問(wèn)題（1）解關(guān)于初值的非一致連續(xù)依賴性，證明分為如下3 個(gè)部分：逼近解序列的構(gòu)建及誤差估計(jì)、逼近解和真實(shí)解之間的差異、解的非一致連續(xù)依賴性。

2.1 逼近解序列的構(gòu)建及誤差估計(jì)

其中λ?1，λ∈Z+，ω=±1。高頻項(xiàng)的表達(dá)式如下：

逼近解中低頻部分（ul，vl）=（ul，ω，λ（t，x），vl，ω，λ（t，x））是問(wèn)題（1）以

關(guān)于逼近解中的低頻項(xiàng)，我們給出一個(gè)有用的引理：

從而有

利用引理2、引理3，采用類似的估計(jì)方法可得其余各誤差項(xiàng)的估計(jì)如下：

綜合上述所有估計(jì)式，可得如下引理：

2.2 逼近解和真實(shí)解之間的差異

假設(shè)（uω，λ（t，x），vω，λ（t，x））是問(wèn)題（1）以逼近解初值為初值的解，亦即（uω，λ（t，x），vω，λ（t，x））滿足如下方程：

由引理2 可知，

應(yīng)用存在性引理1 可得，問(wèn)題（6）存在唯一解zω，λ=（uω，λ（t，x），vω，λ（t，x）），且解的最大存在時(shí)刻可估計(jì)為

接下來(lái)估計(jì)逼近解和真實(shí)解之間的差異，為此令

則（σ，τ）滿足如下方程：

其中，誤差項(xiàng)E 和F 同上節(jié)所定義。我們有如下引理：利用Gronwall 不等式即得式（8）。

下面證明式（9）。對(duì)式（2）中的第1 個(gè)方程應(yīng)用文獻(xiàn)[22]中的引理2.2 后進(jìn)行能量估計(jì)可得

這就完成了式（9）的證明。

2.3 解的非一致連續(xù)依賴性

本節(jié)將利用前兩節(jié)的結(jié)論來(lái)證明解關(guān)于初值的非一致連續(xù)依賴性。

定理1 的證明：利用引理4、引理5 及文獻(xiàn)[19]引理1 中的復(fù)插值公式可得