高志波，吳志周*，郝威，楊玥，龍科軍，鄒清全

(1.同濟大學，道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；2.長沙理工大學，智能道路與車路協(xié)同湖南省重點實驗室，長沙410004；3.上海汽車集團股份有限公司，上海201804)

0 引言

智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下，不僅可以實時獲取車輛及周圍環(huán)境信息，還可以對車輛進行精確控制。因此，交叉口的控制對象將直接面向車輛，通過協(xié)調(diào)與合作，每一輛車將擁有唯一的通行方案，而無需信號燈控制[1]。如何設計高效的面向智能網(wǎng)聯(lián)車通行的交叉口管控模型，已成為近年來的研究熱點之一[2-3]。

國內(nèi)外學者對智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下的交叉口管理進行了較多研究，集中在車輛到達時序優(yōu)化和車輛軌跡優(yōu)化等方面。在車輛到達時序優(yōu)化方面，Dresner 等[4-5]基于排隊論建立了先到先服務(First Come First Served,FCFS)的交叉口控制模型，并證明該模型相對于信號控制策略，可以顯著降低車輛延誤。然而，在過飽和、車輛編隊行駛等情況下，F(xiàn)CFS模型的延誤會比信號控制更大[6]。姚志洪[7]等引入優(yōu)化時間區(qū)間的概念，建立了基于混合整數(shù)規(guī)劃的沖突區(qū)時序優(yōu)化模型。吳偉等[8-9]將交叉口空間離散化，提出面向自由轉(zhuǎn)向車道的交叉口控制模型；但模型中車輛進入交叉口的速度固定且相等，限制了其適應性。在車輛軌跡優(yōu)化方面，Ma等[10-11]設計了一種反向射擊式車輛軌跡優(yōu)化算法，并研究了算法的計算復雜度和移動性，隨后又將其應用于交叉口和瓶頸區(qū)控制。羅孝羚等[12]提出了一種兩階段優(yōu)化模型，第1階段是優(yōu)化車輛進入時序，第2階段是優(yōu)化車輛軌跡。然而，模型中車輛到達時序和車輛軌跡分開優(yōu)化，使其無法獲得全局最優(yōu)解。此外，也有部分學者使用博弈論[13]、多智能體學習[14]等理論對智能網(wǎng)聯(lián)駕駛下的交叉口控制進行建模。

綜上所述，已有研究要么僅考慮車輛到達時序的優(yōu)化，要么將車輛到達時序和車輛軌跡分別優(yōu)化，導致其無法獲得最優(yōu)解。本文基于上述思路，以所有車輛在控制區(qū)域的行程時間與油耗加權(quán)最小為目標，建立車輛到達時序和速度協(xié)同優(yōu)化的交叉口控制模型，促進車輛通行效率和能耗的均衡，提高交叉口整體效益。

1 問題描述

在智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下，交叉口將無需信號燈控制，且每一條進口車道均能“左直右”通行。如圖1所示，車輛可以借助“自由轉(zhuǎn)向車道”實現(xiàn)出口車道的選擇(軌跡①)，也可以在路段上提前換道實現(xiàn)進口車道的選擇(軌跡②)。本文將車輛軌跡分為控制區(qū)域和沖突區(qū)域兩部分，在控制區(qū)域進行車輛速度優(yōu)化和換道決策，在沖突區(qū)域進行車輛到達時序優(yōu)化和路徑選擇。因此，本文研究問題可以描述為：在一定的規(guī)劃時間內(nèi)，如何合理優(yōu)化車流軌跡，使所有車輛通過交叉口的時間最短，油耗最低。

圖1 交叉口研究區(qū)域示意Fig.1 Study area layout of intersection

2 模型構(gòu)建

2.1 模型假設

(1)車輛在沖突區(qū)域內(nèi)勻速行駛，且不能停車；

(2)假設通信和車輛控制均能滿足自動駕駛需要，不考慮時延；

(3)車輛駛離控制區(qū)域、到達停車線和駛?cè)霙_突區(qū)域為同一狀態(tài)；

(4)頭車不參與換道，僅考慮跟隨車的換道行為，且只在相鄰車道最多換道1次；

(5)車輛僅在滾動優(yōu)化時間點進行換道條件判斷和決策，且換道是瞬時完成的。

2.2 車輛到達時序優(yōu)化模型

(1)車輛到達網(wǎng)格時刻約束

將交叉口沖突區(qū)域離散化處理，參考文獻[8]建立的車輛軌跡方程和交叉口內(nèi)部空間映射關(guān)系，車輛進出網(wǎng)格的時刻為

式中：Loi為車輛i進口選擇車道；Ldi為車輛i出口選擇車道；tiω(Loi,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)駛?cè)刖W(wǎng)格ω的時刻；Tiω(Lio,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)駛離網(wǎng)格ω的時刻；tLi(Loi)為車輛i到達停車線的時刻；dω(Loi,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)從停車線至車頭駛?cè)刖W(wǎng)格ω的軌跡長度；Dω(Lio,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)從停車線至車尾駛出網(wǎng)格ω的軌跡長度；為車輛i到達停車線的速度；δiω(Loi,Ldi)為0-1變量，等于1 時表示車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)經(jīng)過網(wǎng)格ω，否則不經(jīng)過。

為確保安全，同一時刻同一網(wǎng)格只能被1輛車占用，即

式中：j為車輛j的編號；I為所有車輛集合。

(2)換道約束

由于頭車不考慮換道，僅需考慮出口道選擇，可以表示為

式中：為頭車集合；Lci為車輛i當前時刻所在車道。

對于跟隨車，需要在滿足換道條件后才能實現(xiàn)對進口車道的優(yōu)化。由于車輛僅在滾動優(yōu)化時間點進行換道決策，是否滿足換道條件可參考文獻[15]判斷。當滿足換道條件時，換道決策表示為

式中：Lti為車輛i的目標車道；ηi為0-1變量，等于1時表示換道，否則不換道。

(3)車輛到達時刻約束

當車輛加速至最大限制速度時，并以最大速度巡航，如圖2(a)所示，此時到達停車線時間最短，即

式中：vmax為最大限制速度；a+為最大加速度；t(i

0)為初始時刻，這里t(i0)=0；v(i0)為初始時刻車輛i的速度；di為初始時刻車輛i到停車線的距離；vr為車輛到達停車線的臨界速度；Δt(i1)為加速至最大限制速度所需時間；Δt(i2)為以最大速度巡航至停車線所需時間；tmiin為車輛到達停車線所需最短時間。

當車輛減速至最小限制速度時，并以最小速度巡航，如圖2(b)所示，此時到達停車線時間最長，即

式中：vmin為最小限制速度；a-為最大減速度；Δt(i3)為減速至最小限制速度所需時間；Δt(i4)為以最小速度巡航至停車線所需時間；為車輛到達停車線所需最長時間。

因此，車輛到達停車線的時刻滿足

(4)目標函數(shù)

車輛到達時序優(yōu)化中，目標是規(guī)劃時間段內(nèi)所有車輛在控制區(qū)域的行程時間最短，考慮到該目標會迫使車輛違反意愿而接近限速的情況，將車輛期望到達時刻與實際到達時刻的偏差加入到目標函數(shù)中，即

式中：λ1和λ2為偏差系數(shù)；vd為車輛期望速度。

2.3 車輛速度優(yōu)化模型

車輛到達停車線的時刻由車輛到達時序優(yōu)化模型得到后，在控制區(qū)域的車輛速度優(yōu)化可看作一個終端時間和位置已知的最優(yōu)控制問題。

圖2 車輛到達極限情況Fig.2 Limit condition of vehicle arrival

(1)狀態(tài)描述

定義狀態(tài)變量xi(t)=[xi(t),vi(t)]T，其中，xi(t)、vi(t)分別為車輛i在時刻t的位移和速度，控制變量為車輛期望加速度ui(t)，則狀態(tài)方程表示為

(2)成本函數(shù)

車輛速度優(yōu)化中，目標是車輛的總油耗最低，參考文獻[16]，成本函數(shù)可以表達為

式中：tfi為終端時刻；φ(xi(tfi))和L(xi(t),ui(t))分別為終端成本和運行成本；PT為總牽引力。根據(jù)文獻[17]，各參數(shù)取值為：α0=0.666mL·s-1，β1=0.0717mL·kJ-1，β2=0.0334mL·(kJ·m·s-2)-1，α1=0.269kN，α2=0.0171 kN·(m·s-1)-1，α3=0.000672 kN·(m·s-1)-2，M=1860 kg。

(3)約束條件

初始狀態(tài)約束

終端位置和時刻約束

考慮車輛性能，車輛的加速度和速度需滿足邊界約束，即

此外，車輛還需與前車保持一定安全間距，即

式中：τi、σi分別為車輛i與前車i-1 的時間偏移和空間偏移，設置τi=0.4 s，σi=2.0 m。

2.4 車流軌跡優(yōu)化模型

由分析可知，本文建立的交叉口控制模型既要使所有車輛行程時間最短，還要使油耗最低。為實現(xiàn)兩個目標的集成優(yōu)化，建立目標函數(shù)為

式中：k1和k2為目標權(quán)重系數(shù)。

約束條件為式(1)～式(12)，式(14)～式(22)。

3 求解框架

當車輛到達停車線的時刻確定時，車輛速度優(yōu)化模型可通過求解最優(yōu)控制問題輸出車輛到達停車線的速度；當車輛到達停車線的速度確定時，車輛到達時序優(yōu)化模型通過線性化轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，求解輸出車輛到達停車線的時刻。

3.1 線性化

式(3)為條件判斷約束，引入0-1變量和較大正值將其轉(zhuǎn)化為線性約束，即

式中：B1和B2為較大正值；ζωij為0-1變量，表示車輛進入網(wǎng)格ω的先后次序。

式(13)的目標函數(shù)中含有最大值和絕對值約束，引入輔助變量將其轉(zhuǎn)化為

式中：Tc和Tid均為輔助變量。

3.2 求解步驟

基于模型特征，設計迭代式算法求解，步驟如下。

Step 1 參數(shù)初始化。輸入車輛配置參數(shù)和初始狀態(tài)信息，交叉口幾何參數(shù)與輔助參數(shù)。設置作為車輛優(yōu)化模型終端時刻的初始值，開始迭代計算。

Step 2 根據(jù)給定的終端時間tif，采用GPOPS(Gauss Pseudospectral Optimization Software)工具求解車輛速度優(yōu)化模型，考慮到固定終端時刻存在無最優(yōu)解的情況[17]，設置tfi=tfi+0.1s確保解的有效性和計算效率，輸出車輛到達速度vLi和更新后的，進入Step 3。

Step 3 基于給定的車輛到達速度和終端時間tfi，將式(12)調(diào)整為，采用Gurobi 工具求解關(guān)于時序優(yōu)化的混合整數(shù)線性規(guī)劃問題；結(jié)果輸出車輛到達時刻tLi，進入Step 4。

Step 4 計算車流軌跡優(yōu)化模型目標值，并進入終止條件判斷，前后兩次迭代結(jié)果之差小于5%。當滿足終止條件，算法終止；否則，令tfi=tLi，返回Step 2。

4 模型驗證

4.1 實驗設計

以一個最基本的交叉口為例，對模型的效益進行驗證。該交叉口雙向4車道，車道寬度為3 m，如圖3所示。將交叉口沖突區(qū)域離散化處理，劃分為若干個正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長為3 m。選取某一時刻同時到達的16 輛車進行分析，其基本屬性包括車輛進出口方向、車道、位置和速度，如表1所示。

圖3 交叉口進口道及網(wǎng)格劃分Fig.3 Entrance lane of intersection and grid partitioning

表1 到達車輛的基本屬性Table 1 Attributes of arrival vehicles

4.2 模型結(jié)果與對比分析

考慮車輛動力性能、限速和燃油等情況，加速度取值區(qū)間設置為[-3,3]m·s-2，最小和最大限制速度分別為4.47 m·s-1、16.67 m·s-1，期望車速為13.89 m·s-1，車輛長度為4.5 m。根據(jù)文獻[1]，偏差系數(shù)設置為：λ1=λ2=0.5。根據(jù)文獻[10]，目標權(quán)重系數(shù)設置為：k1=5.6 s-1，k2=1.0 mL-1。選取MATLAB 作為編程環(huán)境，并調(diào)用GPOPS和Gurobi工具箱進行求解，輸出車輛的最佳路徑、時刻、到達速度與時刻、延誤及油耗，如表2所示。由結(jié)果可知，車輛8、10和11進行了換道，車輛總延誤為15.22 s，車均延誤為0.95 s；總油耗為53.96 mL，車均油耗為3.37 mL。

表2 本文模型計算結(jié)果Table 2 Results of proposed model

為進一步驗證本文模型的先進性，與兩階段優(yōu)化模型[12]進行對比分析。兩階段模型的車輛總延誤為22.38 s，車均延誤為1.40 s；總油耗為59.87 mL，車均油耗為3.74 mL。與兩階段模型相比，本文模型能降低車均延誤32.1%；降低車均油耗9.9%。從圖4(a)可以看出，本文模型和兩階段模型的最大延誤車輛均為車輛4，延誤分別為3.61 s 和4.01 s，相差不大；本文模型雖然增加了部分車輛的延誤(車輛4、10 和12)，但通過協(xié)調(diào)優(yōu)化，能顯著降低車輛總延誤。從圖4(b)可以看出，本文模型中每輛車的油耗均小于兩階段模型，這也進一步說明，本文模型能很好地均衡時空資源，在降低車輛延誤的同時節(jié)省油耗。

圖4 車輛延誤與油耗對比Fig.4 Comparisons of vehicle delay and fuel consumption

4.3 敏感性分析

(1)期望速度

固定其他參數(shù)不變，使期望速度在42～60 km·h-1之間變動。采用總行程時間和總油耗作為評價指標，輸出結(jié)果如圖5所示。當期望速度從42 km·h-1增加到60 km·h-1時，車輛總行程時間從86.55 s 降低到79.16 s，總油耗從57.64 mL 降低為52.72 mL，降低幅度均為8.54%。當期望速度較低時，車輛將以期望車速行駛，總行程時間和油耗減少明顯。當期望車速靠近最大限制速度時，總行程時間和油耗量基本不變。這是因為，較大速度會導致車輛頻繁加減速，從而增加油耗；而另一方面，速度增加將有助于車輛更快駛離交叉口，又可以減少油耗。

圖5 期望速度敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis on desired speed

(2)最大加(減)速度

固定其他參數(shù)不變，使最大加(減)速度的絕對值在2.6～3.5 m·s-2間變動。車輛總行程時間和總油耗，如圖6所示。當最大加(減)速度的絕對值增加時，車輛總行程時間和總耗油量基本不變。這也說明，本文模型能適應不同的最大加(減)速度要求，具有良好的適應性。

圖6 最大加(減)速度敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis of maximum acceleration or deceleration

5 結(jié)論

本文建立了車輛到達時序和速度協(xié)同優(yōu)化的交叉口控制模型，克服了在現(xiàn)有控制方式下，車輛到達時序和車輛軌跡分開優(yōu)化而無法獲得最優(yōu)解的不足，提高交叉口的整體效益。在建立車輛到達時序優(yōu)化模型和車輛速度優(yōu)化模型的基礎上，以所有車輛在控制區(qū)域的行程時間與油耗加權(quán)和最小為目標，使用迭代算法同時求解最佳車輛到達時刻與速度。實驗結(jié)果表明，相比于車輛時序和軌跡分別優(yōu)化的兩階段模型，本文模型能夠降低車均延誤32.1%，減少車均油耗9.9%。對速度、最大加(減)速度的敏感性分析進一步表明模型具有良好的適應性，能更好地分配時空資源，實現(xiàn)通行效率和能耗的均衡。