鐘志華 周美玲 郝蕊

[摘? 要] 作為一種重要的教學(xué)方法，發(fā)生教學(xué)法——通常所說(shuō)的HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系）視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，不僅可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展歷史和數(shù)學(xué)家的探索過(guò)程，并在這一過(guò)程中激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法，而且還可以為函數(shù)這一新知識(shí)的學(xué)習(xí)準(zhǔn)確找到認(rèn)知起點(diǎn)，可以從函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展源頭中找到理解函數(shù)概念的金鑰匙.

[關(guān)鍵詞] HPM;函數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計(jì)

■教材的地位與作用

函數(shù)是高中階段基礎(chǔ)而又重要的概念，高中數(shù)學(xué)中的絕大部分知識(shí)都與函數(shù)存在密切的關(guān)系.如數(shù)列、解析幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)在某種意義上說(shuō)，研究的就是函數(shù). 可以說(shuō)，學(xué)好函數(shù)是學(xué)好整個(gè)高中數(shù)學(xué)的前提.函數(shù)這個(gè)概念雖然在義務(wù)教育八年級(jí)（上）就已經(jīng)學(xué)過(guò)，但當(dāng)時(shí)對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)主要以直觀感性認(rèn)識(shí)為主，函數(shù)學(xué)習(xí)中涉及的諸多相關(guān)概念如定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等都只給予了形象的描述或籠統(tǒng)的介紹，并沒(méi)有給出嚴(yán)格的定義，甚至連表示這些概念的名詞（如表示對(duì)應(yīng)關(guān)系符號(hào)“f”等）也沒(méi)有出現(xiàn).在初中階段，教材為了便于學(xué)生直觀理解函數(shù)，從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)出發(fā)采用“變量”來(lái)定義函數(shù)，這對(duì)當(dāng)時(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是合理的.但到了高中階段，許多函數(shù)問(wèn)題仍然采用“變量”觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行研究則會(huì)帶來(lái)許多不便，比如無(wú)法對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等概念從定量角度進(jìn)行深入刻畫(huà)，再比如對(duì)一些常值函數(shù)、自變量與因變量之間沒(méi)有明顯關(guān)系的特殊函數(shù)的理解存在困難，等等.另外，從數(shù)學(xué)知識(shí)本身的發(fā)展來(lái)看，采用“變量”觀點(diǎn)研究函數(shù)也無(wú)法建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論體系.眾所周知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈是建立在集合理論基礎(chǔ)之上的，函數(shù)理論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一也不例外.高中數(shù)學(xué)第一節(jié)課就是學(xué)習(xí)集合，然后馬上就學(xué)習(xí)函數(shù)概念，其用意非常明顯，就是要在高中階段向?qū)W生逐步滲透集合思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用集合觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.

分析依據(jù)：教材地位分析的本質(zhì)就是要通過(guò)揭示新舊知識(shí)之間的聯(lián)系并為新知識(shí)的學(xué)習(xí)找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點(diǎn).而數(shù)學(xué)史作為教材分析的一個(gè)可靠坐標(biāo)系，它不僅可以為分析者準(zhǔn)確了解學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)史中所處的地位提供參照，而且可以為教學(xué)設(shè)計(jì)指明方向. 就本節(jié)課而言，如果從深入分析函數(shù)概念的發(fā)展歷史來(lái)看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)宜將初中所學(xué)的“變量定義”作為高中函數(shù)概念的認(rèn)知起點(diǎn).

■學(xué)情分析

從學(xué)生生理特點(diǎn)和心理特點(diǎn)來(lái)看，高一學(xué)生思維活躍、好勝心強(qiáng)、求知欲旺盛，特別是剛剛進(jìn)入新的群體，對(duì)一切都充滿(mǎn)了好奇，這是教師教學(xué)中可資利用的有利因素;從學(xué)生的思維特點(diǎn)來(lái)看，這時(shí)的學(xué)生正處在從形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段，學(xué)生雖然具有一定的抽象思維能力，但畢竟高中思維方式與初中存在較大差別，許多概念仍然需要借助一定的感性直觀才能理解，這是教師在教學(xué)中需要引起注意的地方，千萬(wàn)不要過(guò)高地估計(jì)學(xué)生;從學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)看，此前學(xué)生已在初中階段學(xué)習(xí)了函數(shù)的有關(guān)概念，對(duì)函數(shù)概念已經(jīng)有了比較深入的了解，但初中函數(shù)研究采用的是變量觀點(diǎn)，研究方法主要借助于直觀和文字語(yǔ)言，研究對(duì)象基本上是簡(jiǎn)單的代數(shù)函數(shù)，這一方面為高中函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，但另一方面可能會(huì)對(duì)高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移. 在教學(xué)中，教師需要揚(yáng)長(zhǎng)避短、因勢(shì)利導(dǎo).

分析依據(jù)：HPM可以為學(xué)情分析提供參照.重演論認(rèn)為，個(gè)體數(shù)學(xué)理解過(guò)程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程具有相似性.學(xué)生的錯(cuò)誤和認(rèn)知障礙與數(shù)學(xué)史上的錯(cuò)誤和認(rèn)知障礙是有關(guān)聯(lián)的，了解歷史上的重要時(shí)刻可以為教師提供預(yù)測(cè)學(xué)生認(rèn)知障礙的工具[1]. 雖然了解學(xué)生的學(xué)情有很多方法，但HPM是一個(gè)不可或缺的方法.翻開(kāi)函數(shù)概念發(fā)展歷史就會(huì)發(fā)現(xiàn)“對(duì)應(yīng)”定義的產(chǎn)生曾經(jīng)經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間，這說(shuō)明函數(shù)概念發(fā)展的艱巨性，如果教師在進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)時(shí)能深入研究函數(shù)概念發(fā)展的這段歷史，那么就可以在對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)情分析時(shí)真正做到心中有數(shù)[2].

■教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）經(jīng)歷用“集合”語(yǔ)言對(duì)初中函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行重新描述的過(guò)程，理解用“集合”與“對(duì)應(yīng)”語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念及附屬概念.

（2）理解初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系.

（3）經(jīng)歷從“變量”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)向“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)的轉(zhuǎn)變過(guò)程，學(xué)會(huì)從不同角度來(lái)認(rèn)識(shí)同一事物，培養(yǎng)多角度看問(wèn)題的習(xí)慣.

設(shè)計(jì)意圖：HPM方法不僅可以為教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)指明方向，而且可以為判斷教學(xué)目標(biāo)的合理性提供可靠的標(biāo)準(zhǔn). 初中主要用文字語(yǔ)言對(duì)函數(shù)進(jìn)行定性描述，而高中則采用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)進(jìn)行定量描述;初中函數(shù)概念的概括程度低，高中函數(shù)概念的概括程度高. 但初中函數(shù)概念比較具體、容易理解，而高中函數(shù)概念比較抽象、難以理解. 所以在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師應(yīng)將經(jīng)歷用“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)并用相應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念及附屬概念的過(guò)程作為首要教學(xué)目標(biāo);而初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)高中函數(shù)概念的理解與否，因此應(yīng)將該目標(biāo)作為本節(jié)課必須達(dá)到的重要目標(biāo);目標(biāo)三雖然不是這一堂課就能實(shí)現(xiàn)的，但由于這一目標(biāo)在本節(jié)課中體現(xiàn)得比較充分，它不僅有助于學(xué)生更好地了解函數(shù)概念的來(lái)龍去脈，而且對(duì)學(xué)生將來(lái)的發(fā)展也具有深遠(yuǎn)影響，因此在教學(xué)中應(yīng)給予足夠重視.

■教學(xué)的重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)并用相應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)[3].

設(shè)計(jì)意圖：從HPM視角來(lái)看，教學(xué)重點(diǎn)往往是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中具有重要地位的那些知識(shí). 高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)中學(xué)生存在的最大疑惑是：既然初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)函數(shù)？初高中函數(shù)概念之間到底存在什么區(qū)別與聯(lián)系？只有把這兩個(gè)問(wèn)題真正搞清楚以后，學(xué)生才能避免初中函數(shù)概念對(duì)高中函數(shù)概念的負(fù)遷移，才能真正理解高中函數(shù)概念的本質(zhì). 從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來(lái)看，集合概念的產(chǎn)生不僅使函數(shù)概念完全擺脫了經(jīng)驗(yàn)和直觀，而且使函數(shù)及建立在函數(shù)概念基礎(chǔ)上的微積分終于有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)發(fā)展歷史充分證明了用集合語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念的重要性. 從學(xué)生思維發(fā)展來(lái)看，學(xué)會(huì)運(yùn)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)刻畫(huà)函數(shù)概念不僅有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具象思維向抽象思維的躍遷，而且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng). 因此，在教學(xué)時(shí)要把教學(xué)重點(diǎn)放在如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)并用相應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步弄清初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）教學(xué)難點(diǎn)：如何適應(yīng)從“變量”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)向“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)的轉(zhuǎn)變. 具體來(lái)說(shuō)，就是如何用集合語(yǔ)言對(duì)初中階段所學(xué)的函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行改造.

設(shè)計(jì)意圖：蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“真正能駕馭教學(xué)過(guò)程的高手，是用學(xué)生的眼光來(lái)讀教科書(shū)的.”因此，分析教學(xué)難點(diǎn)必須站在學(xué)生的角度并以學(xué)生的眼光去解讀. 而了解學(xué)生的難點(diǎn)一方面可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. 我們?cè)?jīng)通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多高中學(xué)生剛學(xué)函數(shù)時(shí)的最大困惑就是“既然初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)函數(shù)？”之所以會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)槌踔泻瘮?shù)概念在學(xué)生頭腦中已經(jīng)根深蒂固，這種思維定式不僅很容易造成對(duì)高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)的抵制，而且也很容易與高中函數(shù)概念產(chǎn)生混淆. 另一方面可以從函數(shù)概念的發(fā)展歷史中去把握.重演論認(rèn)為，個(gè)體數(shù)學(xué)理解過(guò)程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程具有相似性. 學(xué)生的認(rèn)識(shí)論障礙也出現(xiàn)于概念的歷史中，故歷史不僅有助于確定這些障礙，還有助于克服這些障礙[4]. 從函數(shù)概念與集合理論的發(fā)展歷史來(lái)看，函數(shù)概念從一開(kāi)始萊布尼茨把函數(shù)看作是隨曲線(xiàn)變化而改變的幾何量到狄利克雷等人首次提出函數(shù)的變量定義，其間經(jīng)歷了一百多年的曲折變化;而集合理論的產(chǎn)生則更加艱辛，不僅產(chǎn)生較晚而且一開(kāi)始還沒(méi)有得到人們的認(rèn)可.因此，如何讓學(xué)生真正經(jīng)歷用集合語(yǔ)言對(duì)初中階段所學(xué)的函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行改造，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)從“變量”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)向“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變是本節(jié)課的難點(diǎn).

■教法學(xué)法設(shè)計(jì)

本節(jié)課主要采用發(fā)生教學(xué)法和問(wèn)題解決教學(xué)法.

設(shè)計(jì)意圖：能在數(shù)學(xué)史上占據(jù)一定地位并能流傳下來(lái)的往往是精品，選擇教法、學(xué)法可以從HPM中獲得啟示. 本節(jié)課之所以采用發(fā)生教學(xué)法，主要是考慮到本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，但為什么以及如何從“變量”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)向“集合”與“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變是學(xué)生最感困惑的地方. 采用發(fā)生教學(xué)法不僅可以讓學(xué)生在充分了解函數(shù)概念產(chǎn)生與演變過(guò)程的基礎(chǔ)上自然而然地解開(kāi)以上困惑;而且可以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)家的研究歷程，了解數(shù)學(xué)研究的一般方法，破除對(duì)數(shù)學(xué)研究的神秘感;同時(shí)，還可以讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究的艱巨性和數(shù)學(xué)發(fā)展道路的曲折性，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家的崇敬之情和對(duì)數(shù)學(xué)的探索熱情.

在函數(shù)概念的探究過(guò)程中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生在回溯函數(shù)概念發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上意識(shí)到初中函數(shù)概念的不完善并進(jìn)而對(duì)初中函數(shù)概念進(jìn)行改進(jìn)，又要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)初高中函數(shù)概念的對(duì)比弄清彼此之間的區(qū)別與聯(lián)系，這些都需要教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)的“問(wèn)題串”來(lái)循循善誘、步步深入地去探索，而采用問(wèn)題解決教學(xué)法可以很好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).

■教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師首先通過(guò)PPT呈現(xiàn)恩格斯的語(yǔ)錄：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).”然后在黑板上板書(shū)課題——函數(shù)的概念，引出課題并同時(shí)提出：

問(wèn)題1：看到同學(xué)們一個(gè)個(gè)驚訝的表情，你們是不是想說(shuō)：以前初中學(xué)過(guò)函數(shù)，為什么高中還要學(xué)？是不是老師搞錯(cuò)了？

設(shè)計(jì)意圖：HPM不僅可以充分揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，為新知識(shí)的生成找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點(diǎn)，而且可以觸發(fā)情境創(chuàng)設(shè)的靈感. 目前的課本一般是從實(shí)際生活來(lái)引入函數(shù)概念的，但這種引入方法與初中函數(shù)概念的引入過(guò)程如出一轍，這不僅難以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且會(huì)導(dǎo)致教學(xué)偏離本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn);李大潛院士認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)展并不完全依靠實(shí)際需求來(lái)推動(dòng)，數(shù)學(xué)有其自身的能動(dòng)性，如果一味地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，簡(jiǎn)單地在所有的概念或命題前都機(jī)械地裝上應(yīng)用的實(shí)例，那么數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)變得庸俗，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)變成用實(shí)際生活實(shí)例包裝的支離破碎的大雜燴. 數(shù)學(xué)知識(shí)之間的來(lái)龍去脈和數(shù)學(xué)美將蕩然無(wú)存，數(shù)學(xué)將會(huì)變成沒(méi)有靈魂的僵尸[5]. 事實(shí)上，函數(shù)概念從其產(chǎn)生與發(fā)展歷史來(lái)看，主要是來(lái)自數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，而不是實(shí)際的需要. 因此，通過(guò)還原函數(shù)概念發(fā)展的本來(lái)面貌，揭示函數(shù)概念產(chǎn)生與演變過(guò)程中的內(nèi)在矛盾來(lái)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，不僅可以充分激發(fā)學(xué)生的探究熱情，而且可以讓學(xué)生在經(jīng)歷函數(shù)概念演變與發(fā)展過(guò)程中更好地理解函數(shù)概念的來(lái)龍去脈及本質(zhì)屬性，提升學(xué)生的探究能力.

正是基于以上考慮，在教學(xué)時(shí)先板書(shū)課題“函數(shù)的概念”，讓學(xué)生產(chǎn)生高中怎么又要學(xué)習(xí)函數(shù)概念的疑惑，然后順勢(shì)拋出問(wèn)題1，點(diǎn)出學(xué)生心中的困惑，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心. 當(dāng)學(xué)生將信將疑、急于知其所以然之際，再趁勢(shì)提出：

問(wèn)題2：為什么初中學(xué)了函數(shù)概念高中還要再學(xué)？高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念到底與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念有什么區(qū)別與聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：“為什么初中學(xué)了函數(shù)概念高中還要再學(xué)？”“高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念到底與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念有什么區(qū)別與聯(lián)系？”等問(wèn)題一直是纏繞學(xué)生的心結(jié)，也是高中函數(shù)教學(xué)中無(wú)法回避的大問(wèn)題. 但由于種種原因，很多教師在進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)時(shí)或渾然不知，或視而不見(jiàn)，或刻意回避，其結(jié)果只能“以其昏昏，使人昭昭”，只能靠對(duì)概念咬文嚼字的解讀和大量的機(jī)械訓(xùn)練來(lái)彌補(bǔ)這方面的不足，這不僅于事無(wú)補(bǔ)，反而會(huì)加重學(xué)生的負(fù)擔(dān). 而提出這一問(wèn)題不僅可以充分揭示學(xué)生思維的困惑，找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，而且可以真正抓住這節(jié)課的主要矛盾和教學(xué)重點(diǎn).筆者曾經(jīng)做了一個(gè)簡(jiǎn)單的調(diào)查，在2019年寒假結(jié)束前隨機(jī)抽取了某重點(diǎn)中學(xué)高一兩個(gè)班的學(xué)生分別說(shuō)出（口答）、寫(xiě)出初高中函數(shù)的定義，結(jié)果每個(gè)班約有八成的學(xué)生既說(shuō)不出也寫(xiě)不完整函數(shù)的定義，至于說(shuō)出初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系就更談不上了，然而有關(guān)函數(shù)的題目卻照做不誤.

提出問(wèn)題2后，教師不要馬上給予回答，因?yàn)樵趯W(xué)生對(duì)函數(shù)概念發(fā)展歷史毫無(wú)了解的情況下進(jìn)行解釋只能越描越黑. 這里不妨先給學(xué)生賣(mài)個(gè)關(guān)子，如通過(guò)“如果知道了函數(shù)概念的發(fā)展歷史，你們就可以知道這個(gè)問(wèn)題的答案了”這樣懸念巧妙的一句話(huà)將學(xué)生的興奮點(diǎn)引導(dǎo)到對(duì)函數(shù)概念發(fā)展史的介紹上來(lái).

研究表明，許多學(xué)生之所以對(duì)數(shù)學(xué)存在畏懼，很重要的原因是教師在教學(xué)時(shí)沒(méi)有找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)[6]. 美國(guó)著名的教育家D.P.奧蘇伯爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》的扉頁(yè)上寫(xiě)道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話(huà)，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”楊玉東博士曾經(jīng)提出：“要以本原性問(wèn)題來(lái)推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué).”數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)知識(shí)的根，沒(méi)有數(shù)學(xué)史根基的知識(shí)往往是蒼白的、沒(méi)有生命力的. 數(shù)學(xué)史不僅可以充分揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，而且可以為數(shù)學(xué)知識(shí)的探究指明方向. 引領(lǐng)學(xué)生共同探究函數(shù)概念發(fā)展歷史可以讓學(xué)生回歸函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展這一認(rèn)知起點(diǎn)，并從函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展的源頭里找到理解函數(shù)概念的金鑰匙.

對(duì)函數(shù)概念演變與發(fā)展歷史的探究既可以采用教師介紹的形式，也可以在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生檢索有關(guān)文獻(xiàn)自己去發(fā)現(xiàn). 對(duì)自主學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生可以采用后一種方法. 函數(shù)概念演變與發(fā)展歷史的探索可以緊扣以下歷史線(xiàn)索來(lái)展開(kāi)：1694年，萊布尼茨最先從幾何角度提出“函數(shù)”這一名稱(chēng)來(lái)表示那些隨曲線(xiàn)的變化而改變的幾何量，如曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率、曲線(xiàn)的曲率半徑等;1718年，約翰·伯努利把函數(shù)歸結(jié)為由一個(gè)變量和一些常數(shù)構(gòu)成的任何總表達(dá)式，雖然對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)還比較局限，但函數(shù)概念開(kāi)始擺脫對(duì)幾何和直觀的依賴(lài)而進(jìn)入了代數(shù)，使得利用代數(shù)方法處理函數(shù)問(wèn)題成為可能. 此后，歐拉進(jìn)一步把函數(shù)推廣到變量和常數(shù)的任何方程或公式，使得函數(shù)基本上涵蓋了初等函數(shù)，如大家在初中所學(xué)的那些函數(shù). 雖然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道了許多各種各樣的具體函數(shù)，但函數(shù)到底是什么呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，狄利克雷等人深入研究后提出了函數(shù)的變量定義：“變量是表示一組數(shù)中任何一個(gè)數(shù)的符號(hào);如果x和y兩個(gè)變量如此地相關(guān)聯(lián)：只要給x一個(gè)值，則依某種規(guī)則或?qū)?yīng)，自動(dòng)地規(guī)定給y一個(gè)值，則我們稱(chēng)y是x的（單值）函數(shù).” 這基本上就是我們?cè)诔踔须A段所學(xué)的函數(shù)定義[7].

研究表明，個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與數(shù)學(xué)發(fā)展之間存在共軛現(xiàn)象. 引領(lǐng)學(xué)生穿越數(shù)學(xué)歷史時(shí)空，與數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話(huà)，像數(shù)學(xué)家那樣去思考、探究并從中挖掘數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的本原性問(wèn)題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與科研素養(yǎng)，而且可以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)發(fā)展脈動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化熏陶，這是HPM的靈魂所在.

問(wèn)題3：還記得初中函數(shù)概念是怎樣定義的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)學(xué)史引出初中函數(shù)概念，由此檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)初中函數(shù)概念的掌握情況.一般情況下，大部分學(xué)生都會(huì)記得函數(shù)概念，若不記得，教師可以幫學(xué)生先復(fù)習(xí)一下.

雖然，利用變量來(lái)定義函數(shù)使函數(shù)有了統(tǒng)一的定義，但這樣的定義存在很多問(wèn)題，如過(guò)于依賴(lài)直觀和定性認(rèn)識(shí)，無(wú)法采用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等概念進(jìn)行定量刻畫(huà)，理論體系不嚴(yán)密，等等.

2. 啟發(fā)引導(dǎo)，探究新知

問(wèn)題4：你覺(jué)得初中的函數(shù)概念嚴(yán)謹(jǐn)嗎？如果不嚴(yán)謹(jǐn)，那不嚴(yán)謹(jǐn)在什么地方？假如你是數(shù)學(xué)家，你會(huì)怎么辦？？搖？搖？搖

設(shè)計(jì)意圖：由于初中的函數(shù)概念太過(guò)形象化，教師告知學(xué)生這一概念存在問(wèn)題，讓學(xué)生自己思考哪里有問(wèn)題，這樣學(xué)生才會(huì)印象深刻. 而讓學(xué)生對(duì)初中的函數(shù)概念提出質(zhì)疑，一方面可以更自然地引出高中的函數(shù)概念，另一方面則可以培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于質(zhì)疑的良好思維品質(zhì).當(dāng)然，對(duì)于這一問(wèn)題，學(xué)生回答是存在一定困難的，但這一問(wèn)題確實(shí)是學(xué)生想了解的，因此這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得還是很有價(jià)值的. 如果學(xué)生能有所發(fā)現(xiàn)，教師可以在此基礎(chǔ)通過(guò)下面的問(wèn)題5至問(wèn)題7作進(jìn)一步引導(dǎo).

基于函數(shù)概念演變與發(fā)展過(guò)程中的矛盾來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，用本原性問(wèn)題來(lái)推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)有利于學(xué)生在對(duì)函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程中更好地把握函數(shù)概念的本質(zhì).

問(wèn)題5：“在某一變化過(guò)程中”是指怎樣的變化過(guò)程？x，y的變化范圍在這里有沒(méi)有指明？

問(wèn)題6：x→y的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沒(méi)有交代出來(lái)呢？

問(wèn)題7：什么叫y隨x的變化而變化？你能用更精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述嗎？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}5至問(wèn)題7是問(wèn)題4的具體化，目的是引導(dǎo)學(xué)生去探索初中的函數(shù)概念到底有哪些地方陳述模糊、不夠嚴(yán)謹(jǐn). 這三個(gè)問(wèn)題可以同時(shí)提出，也可以根據(jù)學(xué)生的回答情況漸次展開(kāi).由于問(wèn)題比較具體、方向比較明確，學(xué)生應(yīng)該會(huì)產(chǎn)生想法或共鳴. 在這里，學(xué)生如果能夠提出自己的想法甚至解決辦法固然很好，如果沒(méi)有想法也很正常. 這時(shí)教師可以進(jìn)一步提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題8：那么我們?cè)趺唇鉀Q以上的問(wèn)題呢？有沒(méi)有什么想法？

設(shè)計(jì)意圖：提出這一問(wèn)題的目的是希望學(xué)生能借助上節(jié)課剛學(xué)的集合概念來(lái)對(duì)這些比較模糊的術(shù)語(yǔ)進(jìn)行描述，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不僅自變量和函數(shù)值的變化范圍都可以用集合來(lái)進(jìn)行表示，而且x→y的對(duì)應(yīng)關(guān)系也可以用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示，然后自然而然地引出函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則這三個(gè)基本要素. 如果學(xué)生不能用集合來(lái)描述，教師可以啟發(fā)學(xué)生試著聯(lián)想上節(jié)課剛學(xué)的集合概念，探索運(yùn)用集合語(yǔ)言描述x，y變化范圍的可能性和優(yōu)越性. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)這樣的探索以后，教師可以通過(guò)“同學(xué)們，想不想看看數(shù)學(xué)家是怎樣用集合和對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)的？”來(lái)引出函數(shù)的概念.

問(wèn)題9：看了數(shù)學(xué)家給出的函數(shù)概念之后，同學(xué)們來(lái)比較一下，有哪些地方你們已經(jīng)想到了，有哪些地方你們還沒(méi)有想到.

設(shè)計(jì)意圖：將自己的研究成果與數(shù)學(xué)家的研究進(jìn)行對(duì)比，對(duì)學(xué)生而言，一方面可以讓學(xué)生更好地了解自己探索過(guò)程中存在的優(yōu)缺點(diǎn);另一方面可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)家的研究過(guò)程和研究方法;同時(shí)還可以讓學(xué)生充分體驗(yàn)探究的樂(lè)趣和成功的喜悅，經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神的陶冶，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的積極性. 對(duì)教師而言，可以從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中找到解決數(shù)學(xué)矛盾、突破教學(xué)難點(diǎn)的方法.

3. 引申拓廣，鞏固新知

提出下列問(wèn)題并讓學(xué)生分組討論.

問(wèn)題10：同學(xué)們?cè)賮?lái)比較一下初高中函數(shù)概念之間有什么區(qū)別與聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖：俗話(huà)說(shuō)，有比較才有鑒別.高中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念遇到的最大困難是難以搞清初高中函數(shù)概念之間到底有何區(qū)別與聯(lián)系，這是導(dǎo)致許多函數(shù)錯(cuò)題的根源所在. 通過(guò)比較不僅可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解，而且還可以?xún)?yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

小組討論以后，先請(qǐng)每個(gè)小組派出代表發(fā)言，然后教師總結(jié)，列出表1.

4. 課堂小結(jié)，梳理新知

先提出問(wèn)題11：本節(jié)課有怎樣的收獲？

然后引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的方法、函數(shù)的三要素、初高中函數(shù)概念之間的異同點(diǎn)等方面對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行反思總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：提出“你有怎樣的收獲？”這一問(wèn)題，不僅可以讓學(xué)生系統(tǒng)回顧函數(shù)發(fā)展歷史及本節(jié)課研究函數(shù)的思路，而且可以讓學(xué)生系統(tǒng)掌握本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還有助于學(xué)生了解聯(lián)系、比較等科學(xué)研究的一般方法，培養(yǎng)從不同角度看問(wèn)題的習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

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