李景俊，芮執(zhí)元，剡昌鋒，王文斌，魏財(cái)斌

（1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2.甘肅路橋飛宇交通設(shè)施有限責(zé)任公司，蘭州 730050）

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片是航空飛行器的核心部件之一，其健康狀況直接影響飛行器的安全性能和使用壽命[1]。渦輪葉片受載情況復(fù)雜，工作環(huán)境惡劣，容易造成疲勞損傷，而三維模型的逆向重建是修復(fù)受損葉片的關(guān)鍵技術(shù)之一[2]。缺陷孔洞的邊界作為表達(dá)曲面的重要幾何特征[3]，邊界特征點(diǎn)的快速、準(zhǔn)確提取對(duì)于重建曲面模型具有重要意義[4]。

目前，航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片缺陷孔洞的邊界提取主要有兩種方法，一種是在不確定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的情況下基于三角網(wǎng)格提取缺陷孔洞邊界[5]，提取效果較好。但是對(duì)于海量點(diǎn)云，網(wǎng)格重構(gòu)的復(fù)雜度高，占用內(nèi)存空間大，耗時(shí)較長(zhǎng)。另外，重構(gòu)中不匹配的相接系數(shù)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，導(dǎo)致重建模型結(jié)果失真或小孔洞識(shí)別失敗，影響檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。另一種是基于三維點(diǎn)云的空間特征直接提取邊界特征點(diǎn)。Nguyen等[6]采用區(qū)域網(wǎng)格增長(zhǎng)算法確定目標(biāo)網(wǎng)格邊界，該算法效率較高，但是沒(méi)有考慮噪聲點(diǎn)對(duì)提取結(jié)果的影響。王小超等[7]利用協(xié)方差矩陣求得每一個(gè)采樣點(diǎn)的法向度量，通過(guò)對(duì)閾值篩選后的特征三角形集進(jìn)行子鄰域劃分并擬合每個(gè)子類(lèi)點(diǎn)集的平面，判斷采樣點(diǎn)是否落在多個(gè)平面從而提取邊界特征點(diǎn)。劉慶等[8]建立了點(diǎn)云的空間拓?fù)潢P(guān)系，基于K鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)在微切平面上構(gòu)建局部坐標(biāo)系，以矢量合成的原理作為點(diǎn)云分布特性判別準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)邊界特征點(diǎn)的提取。劉增藝等[9]采用K–D樹(shù)建立了每個(gè)采樣點(diǎn)及其K鄰域點(diǎn)的空間拓?fù)潢P(guān)系，并基于K鄰域點(diǎn)構(gòu)造微切平面，通過(guò)判斷微切平面上投影點(diǎn)之間的最大角度值是否大于角度閾值判別邊界特征點(diǎn)。Qiu等[10]利用空間分割策略對(duì)點(diǎn)云模型的最小包圍盒進(jìn)行光柵化，建立了每個(gè)離散點(diǎn)的空間光柵索引和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在微切平面上根據(jù)鄰域內(nèi)投影點(diǎn)之間的夾角值篩選點(diǎn)云模型的邊界特征點(diǎn)。王春香等[11]提出了一種針對(duì)密度不均、幾何形狀復(fù)雜點(diǎn)云模型的缺陷孔洞邊界點(diǎn)識(shí)別方法，該方法采用相鄰向量間角度序列的均值與比例因子的乘積作為最大角度閾值，對(duì)于非尖銳邊界特征點(diǎn)的檢測(cè)結(jié)果較好。Mineo等[12]提出了BPD算法判別邊界特征點(diǎn)，該算法不需要設(shè)定任何閾值參數(shù)，通過(guò)局部鄰域分辨率與鄰域投影點(diǎn)在極坐標(biāo)下的拓?fù)滠壽E判別凹、凸型區(qū)域的邊界特征點(diǎn)，適用性較好，但是運(yùn)算復(fù)雜度較高。

對(duì)于幾何形狀不規(guī)則、采樣點(diǎn)密度不均勻、曲率變化明顯的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片等復(fù)雜形面的點(diǎn)云模型[13]，使用單一判定準(zhǔn)則難以完整地提取出多種類(lèi)型的邊界特征點(diǎn)，本文提出一種融合采樣點(diǎn)的法向夾角判定準(zhǔn)則和鄰域場(chǎng)力矢量和判定準(zhǔn)則判別邊界特征點(diǎn)的方法，提高了邊界特征點(diǎn)判別的準(zhǔn)確度和適用性。為提高孔洞邊界線的可連續(xù)性和光滑均勻程度，采用4次B樣條擬合曲線對(duì)邊界線進(jìn)行平滑擬合，達(dá)到了較好的擬合效果。

基于雙判定準(zhǔn)則的葉片缺陷孔洞邊界提取

1 算法框架

本算法采用K–D樹(shù)建立點(diǎn)云的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以提高近鄰點(diǎn)的搜尋效率，通過(guò)主成分分析法計(jì)算采樣點(diǎn)的特征法向量，將采樣點(diǎn)法向量與其鄰域點(diǎn)法向量之間的夾角序列均值作為最大夾角閾值。基于K鄰域點(diǎn)的場(chǎng)力矢量和準(zhǔn)則，通過(guò)加權(quán)的方式獲得采樣點(diǎn)的特征值與判別閾值作為邊界特征點(diǎn)的判定依據(jù)。為提高邊界線的光滑均勻程度，采用4次B樣條曲線擬合缺陷孔洞的邊界線，算法流程圖如圖1所示。

2 基于K–D樹(shù)的K鄰域搜索算法

數(shù)據(jù)采集卡收集的點(diǎn)云數(shù)據(jù)在空間上呈散亂分布，因此需要建立三維點(diǎn)云的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。近鄰域搜索方法主要有柵格劃分法、八叉樹(shù)搜索法、K–D樹(shù)搜索法和R樹(shù)搜索法等，其中K–D樹(shù)搜索法具有搜索速度快，效率高等優(yōu)點(diǎn)，因此采用K–D樹(shù)對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行空間結(jié)構(gòu)劃分，劃分示意圖如圖2所示，可有效降低算法的復(fù)雜度，縮短算法的運(yùn)行時(shí)間。

3 缺陷孔洞邊界特征點(diǎn)提取

（1）法向夾角判定準(zhǔn)則。

法向夾角判定準(zhǔn)則根據(jù)相鄰采樣點(diǎn)的曲率特征變化實(shí)現(xiàn)對(duì)尖銳區(qū)域特征點(diǎn)的提取。本文基于K–D樹(shù)算法，采用主成分分析法構(gòu)造采樣點(diǎn)pi及其鄰域點(diǎn)qj的協(xié)方差矩陣E，通過(guò)求解該矩陣的特征值和特征向量得到采樣點(diǎn)的特征法向量，

其中，E為協(xié)方差矩陣；K為鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)；qj為K鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)；dj為K鄰域的質(zhì)心，。

對(duì)協(xié)方差矩陣E進(jìn)行奇異值分解得到其特征值及特征向量，其中，最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量Vmin即為采樣點(diǎn)pi的特征法向量n0=（a，b，c）。

采樣點(diǎn)與其鄰域點(diǎn)之間的法向夾角可以反映采樣點(diǎn)鄰域曲面特征的變化情況。定義αi為任意采樣點(diǎn)pi的法向量n0與其K鄰域點(diǎn)qj法向量nj的夾角值，有

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of algorithm

在處理密度不均勻或邊界中存在較多尖銳特征點(diǎn)的曲面時(shí)，可能存在邊界特征點(diǎn)與較遠(yuǎn)的某一個(gè)非邊界特征點(diǎn)形成較大夾角而造成特征點(diǎn)的誤判。通過(guò)引入近鄰域內(nèi)兩采樣點(diǎn)之間的歐式距離作為調(diào)控系數(shù)以提高邊界特征點(diǎn)判別的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性[14]。以采樣點(diǎn)與其鄰域點(diǎn)之間的法向夾角值代替常規(guī)兩采樣點(diǎn)之間的夾角值，新定義的局部鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)法向量之間的夾角值θi和最大角度閾值θt分別由式（3）和式（4）計(jì)算得出，

θi值的大小反映局部鄰域曲面特征的尖銳程度，θi值越大表示該采樣點(diǎn)的鄰域曲面特征越尖銳，則該采樣點(diǎn)屬于邊界特征點(diǎn)的概率越大。

（2）鄰域場(chǎng)力矢量和判定準(zhǔn)則。

鄰域場(chǎng)力矢量和判定準(zhǔn)則是基于鄰域場(chǎng)的合力在同方向增強(qiáng)、反方向削弱的原理對(duì)平坦和低曲率區(qū)域進(jìn)行邊界特征點(diǎn)的判別?；诓蓸狱c(diǎn)pi的法向量方向，通過(guò)將K鄰域內(nèi)的任意一個(gè)采樣點(diǎn)的坐標(biāo)作為構(gòu)建擬合曲面的約束條件，以K鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)作為局部平面參考依據(jù)構(gòu)建擬合平面，該擬合平面的法向量為n0=（a，b，c），擬合平面和投影向量如圖3所示，投影點(diǎn)處的坐標(biāo)向量由式（5）計(jì)算得出，

圖2 平面數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間劃分示意圖Fig.2 Spatial division of plane data points

其中，v0=（x0，y0，z0）為平面上的任意采樣點(diǎn)處的向量；vi=（xi，yi，zi）為平面外任意采樣點(diǎn)處的向量；v′i=（x′i，y′i，z′i）為平面外任意采樣點(diǎn)到擬合平面上的投影點(diǎn)處的向量。

對(duì)于擬合平面上投影點(diǎn)的分布，如果K鄰域投影點(diǎn)在擬合平面上呈均勻分布，則判定該采樣點(diǎn)為非邊界特征點(diǎn)。如果其K鄰域投影點(diǎn)在擬合平面上的分布偏向一側(cè)，則判定該采樣點(diǎn)為邊界特征點(diǎn)[15]。如圖4所示，定義采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)p′i為坐標(biāo)原點(diǎn)，與距離p′i最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)構(gòu)成向量的方向作為X軸方向，以垂直X軸的方向?yàn)閅軸方向。通過(guò)將鄰域采樣點(diǎn)投影到擬合平面上得到鄰域采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)坐標(biāo)為q′j=（q′jX，q′jY）。

圖3 采樣點(diǎn)處擬合平面和投影向量示意圖Fig.3 Fitting tangent plane and projection vector

如圖4所示，采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)所構(gòu)成的向量在擬合平面上一般呈無(wú)序分布，為計(jì)算簡(jiǎn)便，根據(jù)式（6）將投影向量進(jìn)行單位化處理，單位化后的投影向量如圖5所示，令單位化后K鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)坐標(biāo)為q″j（Xj，Yj）。

其中，p′j q″j為單位化后的采樣點(diǎn)與其K鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)之間的投影向量；p′i為采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)，q″j（j=0，1，2，…，K–1且j≠i）為單位化后的K鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)。

賦予向量p′j q″j一個(gè)作用力Fij，力的方向與其向量方向相同，力的大小等于|p′j q″j|，通過(guò)計(jì)算K鄰域內(nèi)投影向量的合力在X軸和Y軸上的分力和來(lái)判別邊界特征點(diǎn)，分力分別由式（7）和（8）計(jì)算得到，

圖4 K鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)的投影示意圖Fig.4 Projection of sampling points in K neighborhood

圖5 單位化后的投影向量Fig.5 Projection vector after normalization

鄰域投影向量的合力在X軸或Y軸方向上的分力值越大，則該方向上的采樣點(diǎn)屬于邊界特征點(diǎn)的概率越大。因此取鄰域投影向量的合力在X軸或Y軸方向上較大分力值作為鄰域場(chǎng)力和，記作Fi。

為提高缺陷孔洞邊界特征點(diǎn)提取的精準(zhǔn)度，本算法融合上述兩判定準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)，引入μ1和μ2分別作為法向夾角判定準(zhǔn)則和鄰域場(chǎng)力矢量和判定準(zhǔn)則的調(diào)和系數(shù)，采用加權(quán)方式實(shí)現(xiàn)邊界特征點(diǎn)的提取，可獲得更加全面、準(zhǔn)確的邊界特征點(diǎn)提取結(jié)果。根據(jù)求得的θi和Fi，分別由式（9）和式（10）計(jì)算得出數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)的特征值ti和判別閾值T：

其中，μ1+μ2=1，F(xiàn)為鄰域內(nèi)每個(gè)采樣點(diǎn)在同方向的場(chǎng)力和。

其中，η是特征點(diǎn)數(shù)控制系數(shù)；N為初始采樣點(diǎn)數(shù)。

當(dāng)ti≥T時(shí)，則判定該采樣點(diǎn)為邊界特征點(diǎn)。為提高算法的自適應(yīng)性和準(zhǔn)確性，調(diào)和系數(shù)μ1和μ2的比值關(guān)系根據(jù)式(11)計(jì)算得出：

其中，K1為K鄰域內(nèi)θi≥θt的個(gè)數(shù)；K2為K鄰域內(nèi)|Fi|≥|Fe|的個(gè)數(shù)；Fe為采樣點(diǎn)的投影點(diǎn)與其鄰域內(nèi)所有投影點(diǎn)作用力的平均值，

4 基于4次B樣條的缺陷孔洞邊界線擬合

對(duì)于大多數(shù)復(fù)雜孔洞工件，其邊界多為復(fù)雜曲線，常規(guī)的3次B樣條擬合的邊界線存在較多的鋸齒狀邊緣，不能較好地滿足復(fù)雜幾何形狀邊界線擬合的需求[16]。本算法基于歐式距離將相鄰的邊界特征點(diǎn)建立一個(gè)元胞數(shù)組，根據(jù)由每個(gè)元胞數(shù)組構(gòu)成的采樣點(diǎn)集，采用4次B樣條擬合曲線可有效地提高算法的精準(zhǔn)度和曲線的光滑度。

4次B樣條曲線至少需要5個(gè)控制點(diǎn)，因此在采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的首尾兩端分別添加兩個(gè)補(bǔ)充向量，為了使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)更具有周期性，將原始數(shù)據(jù)中末端和首端兩個(gè)采樣點(diǎn)分別作為數(shù)據(jù)首尾兩端的補(bǔ)充向量，補(bǔ)充后的數(shù)據(jù)向量為，

具體計(jì)算步驟如下。

Step（1）：將補(bǔ)充向量作為擬合曲線的初始控制點(diǎn)，第k次迭代的控制點(diǎn)記為p＜k＞，令p＜k＞=p*。

Step（2）：采用4次B樣條矩陣形式，則第k次迭代后的近似B樣條曲線s(t)(k≥1)可以表示為

其中，s(t)表示第k次迭代的第i段B樣條線，s(t)=[xi(t)yi(t)zi(t)]T，

Step（3）：記p表示曲線s(t)上對(duì)應(yīng)于控制點(diǎn)p的坐標(biāo)，采用計(jì)算B樣條曲線s(t)上對(duì)應(yīng)的p的坐標(biāo)值，其中，p*=si(t)（i=1，2，…，N）。

Step（4）：根據(jù)迭代誤差公式e=p*–p*計(jì)算第k次的迭代曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的迭代誤差是否滿足精度閾值要求。若達(dá)到精度要求，算法立即終止，輸出曲線，若未達(dá)到精度要求則轉(zhuǎn)至Step（5）。

Step（5）：定義新的控制點(diǎn)p=p+e，令p為新的控制點(diǎn)，循環(huán)Step（2）~Step（4）。

試驗(yàn)結(jié)果和分析

1 數(shù)據(jù)來(lái)源及試驗(yàn)環(huán)境

試驗(yàn)采用20MHz超聲換能器，六自由度的機(jī)械手（STAUBLI TX90L）夾持葉片以垂直葉片法向量的位姿等間距地移動(dòng)，葉片的掃查裝置如圖6所示。通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡（采集頻率：250MHz）實(shí)現(xiàn)航空葉片的原始數(shù)據(jù)采集，原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)閘門(mén)設(shè)置和信號(hào)預(yù)處理后獲得超聲C掃點(diǎn)云數(shù)據(jù)。

圖6 葉片的超聲掃查裝置實(shí)物圖Fig.6 Ultrasonic scanning device of blade

葉片A是一塊預(yù)制多處缺陷孔洞的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片，如圖7（a）所示，缺陷孔洞的幾何形狀不規(guī)則、面積大小不同且位置分布散亂。葉片B為一塊預(yù)制多種尺寸平底孔的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片，實(shí)物如圖7（b）所示。表1為兩塊葉片點(diǎn)云數(shù)據(jù)的詳細(xì)信息，表2為葉片B預(yù)制平底孔的尺寸信息。

邊界特征點(diǎn)提取試驗(yàn)所使用的計(jì)算機(jī)的配置參數(shù)為：Intel(R) Core i7–7700 HQ，CPU 2.8GHZ，內(nèi)存8GB，Windows 10專業(yè)版64位操作系統(tǒng)。

2 試驗(yàn)結(jié)果與討論

基于上述的理論基礎(chǔ)，在具有多個(gè)復(fù)雜形狀缺陷孔洞的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片點(diǎn)云模型上進(jìn)行缺陷孔洞邊界特征點(diǎn)的提取試驗(yàn)。分別使用單一判定準(zhǔn)則[9]判別方法和本文所提出的算法進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比分析，試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表3所示。

圖7 葉片實(shí)物圖Fig.7 Blade photos

研究表明，鄰域點(diǎn)數(shù)K的選取對(duì)邊界特征點(diǎn)判別結(jié)果影響較大，當(dāng)K值較小時(shí)不能準(zhǔn)確反映該鄰域點(diǎn)的分布情況，提取結(jié)果中存在較多的誤判點(diǎn)，缺陷孔洞邊界不清晰；K值選取較大則會(huì)覆蓋小孔洞，導(dǎo)致小孔洞識(shí)別失敗。K值的選取需要根據(jù)采樣點(diǎn)的密度大小和噪聲點(diǎn)的數(shù)量確定，本試驗(yàn)的兩組數(shù)據(jù)選用K=20均獲得較為滿意的提取效果。另外，特征點(diǎn)數(shù)控制系數(shù)η用于調(diào)節(jié)判定閾值的大小進(jìn)而控制邊界特征點(diǎn)的數(shù)量，本試驗(yàn)選用η=0.7獲得較好的提取結(jié)果。

通過(guò)對(duì)比表3試驗(yàn)結(jié)果和圖8試驗(yàn)效果，使用單一判定準(zhǔn)則難以完整地提取出復(fù)雜缺陷孔洞的邊界特征點(diǎn)，而本算法可有效地提取更多的邊界特征點(diǎn)，提高了邊界特征點(diǎn)提取的準(zhǔn)確度。對(duì)比圖9試驗(yàn)效果，常規(guī)的邊界點(diǎn)判別方法針對(duì)0.2mm較小孔洞邊界特征點(diǎn)提取效果不佳，而本文采用的加權(quán)判斷準(zhǔn)則可以較完整地提取出小孔洞的邊界特征點(diǎn)。引入兩采樣點(diǎn)之間的歐式距離作為調(diào)控系數(shù)，降低了遠(yuǎn)距離點(diǎn)對(duì)特征點(diǎn)判別的影響，對(duì)于密度分布均勻或非均勻的點(diǎn)云模型邊界特征點(diǎn)提取均具有一定的適用性。對(duì)比由3次B樣條擬合的邊界線效果與本文采用的4次B樣條擬合的邊界線效果（圖10和11），發(fā)現(xiàn)3次B樣條擬合的邊界線中產(chǎn)生較多鋸齒狀邊緣，邊界線不夠平滑，而本文提出的曲線擬合算法達(dá)到較好的平滑效果，提升了復(fù)雜形面邊界線的可連續(xù)性和光滑均勻程度，對(duì)于缺陷葉片的模型重建具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

結(jié)論

（1）對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片等復(fù)雜幾何形面，提出一種融合法向夾角判定準(zhǔn)則和鄰域場(chǎng)力矢量和判定準(zhǔn)則提取曲面模型中邊界特征點(diǎn)的方法，試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可有效提取出多種復(fù)雜孔洞模型的邊界特征點(diǎn)。

表1 超聲C掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)參數(shù)Table 1 Specifications of ultrasonic C-scan point cloud

表2 葉片B預(yù)制缺陷孔洞的尺寸Table 2 Pre-fabricated defect specifications of blade B

表3 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of experimental results

圖8 葉片A孔洞邊界點(diǎn)提取效果圖Fig.8 Boundary point cloud extraction of blade A

圖9 葉片B孔洞邊界點(diǎn)提取效果圖Fig.9 Boundary point cloud extraction of blade B

圖10 葉片A缺陷孔洞邊界點(diǎn)擬合效果對(duì)比Fig.10 Comparison of fitting results of boundary points of defect hole in blade A

圖11 葉片B缺陷孔洞邊界點(diǎn)擬合效果對(duì)比Fig.11 Comparison of fitting results of boundary points of defect hole in blade B

（2）針對(duì)采樣點(diǎn)與鄰域點(diǎn)之間夾角過(guò)大而造成特征點(diǎn)誤判的問(wèn)題，通過(guò)引入兩采樣點(diǎn)之間的歐式距離作為調(diào)控系數(shù)，以采樣點(diǎn)法向量與其鄰域點(diǎn)法向量的夾角代替常規(guī)的采樣點(diǎn)與其鄰域點(diǎn)的夾角值，提高了邊界特征點(diǎn)判別的準(zhǔn)確性和適用性。