華志遠(yuǎn)

摘要：為了落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的新課標(biāo)理念，人教A版高中數(shù)學(xué)新教材注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設(shè)計(jì)，以彰顯數(shù)學(xué)的整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性。比較新舊教材中三角函數(shù)的定義，分析新教材中三角函數(shù)定義變更的意圖，進(jìn)而設(shè)計(jì)與實(shí)施新教材中三角函數(shù)定義的教學(xué)，并且進(jìn)一步反思“大概念”教學(xué)理念的內(nèi)涵與價(jià)值。

關(guān)鍵詞：“大概念”教學(xué);高中數(shù)學(xué)新教材;三角函數(shù)定義

2020年秋學(xué)期，無錫市作為普通高中新課程新教材實(shí)施國家級(jí)示范區(qū)，開始在高一年級(jí)使用依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫的人教A版高中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“新教材”）。為了落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的新課標(biāo)理念，新教材注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設(shè)計(jì)，以彰顯數(shù)學(xué)的整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性，克服當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的知識(shí)碎片化、方法單一化及認(rèn)識(shí)表層化問題。對(duì)此，新教材不僅在知識(shí)點(diǎn)的順序和歸類上做了比較大的調(diào)整，而且在知識(shí)點(diǎn)的具體內(nèi)容上也有一些改動(dòng)?！叭呛瘮?shù)的概念”便是一個(gè)典型的例子：新教材不僅將其所屬的“三角函數(shù)”單元從與“平面向量”單元、“解三角形”單元鄰近（在前），變?yōu)榕c“函數(shù)的概念與性質(zhì)”單元、“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”單元鄰近（在后），而且對(duì)其定義也有所變更，從而凸顯“函數(shù)”“建?！钡取按蟾拍睢钡拇?lián)整合（滲透體現(xiàn)）作用。

本文重點(diǎn)比較新舊教材中三角函數(shù)的定義，分析新教材中三角函數(shù)定義變更的意圖，進(jìn)而設(shè)計(jì)與實(shí)施新教材中三角函數(shù)定義的教學(xué)，并且進(jìn)一步反思“大概念”教學(xué)理念的內(nèi)涵與價(jià)值。

一、新舊教材中三角函數(shù)定義的比較

以往，幾乎所有教材都是從銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，先將直角三角形放置到平面直角坐標(biāo)系xOy中，從而得到基于坐標(biāo)化思想的正弦、余弦及正切定義。再將銳角推廣到任意角α，從而得到三角函數(shù)的定義：若α的終邊過點(diǎn)P（x，y），記r=OP=x2+y2，則sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。得到這一定義后，依據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例，得出：α的正弦、余弦及正切值只與α的終邊有關(guān)，而與點(diǎn)P的位置無關(guān)。也就是說，只要α確定，它的正弦、余弦及正切值就確定了。于是，它們都是關(guān)于α的函數(shù)，可以分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。然后，從一般到特殊，在單位圓中引進(jìn)三角函數(shù)線，為后續(xù)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)等內(nèi)容提供便捷的幾何工具。

這樣的定義編寫注重了數(shù)學(xué)本身的邏輯性，但是相應(yīng)地，抽象程度比較高，與學(xué)生的認(rèn)知水平不匹配。教學(xué)中，教師倘若照本宣科，學(xué)生就會(huì)只知其然，而不知其所以然。具體來說，學(xué)生可能產(chǎn)生以下困惑：初中銳角三角函數(shù)的定義為什么要推廣到任意角？推廣時(shí)又為什么要放置到平面直角坐標(biāo)系中？推廣后的定義是否科學(xué)、合理？以前學(xué)習(xí)的函數(shù)只有一個(gè)自變量，為什么三角函數(shù)有兩個(gè)自變量？哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量？對(duì)此，教師需要挖掘概念發(fā)生的背景或現(xiàn)象，通過高水平的問題情境設(shè)計(jì)及師生互動(dòng)，才能搭建起學(xué)生的認(rèn)知支架，讓學(xué)生弄清楚知識(shí)的來龍去脈，逐步抽象建構(gòu)概念。此外，三角函數(shù)線的學(xué)習(xí)必須補(bǔ)充有向線段及數(shù)量的概念，顯得比較麻煩。

新教材則是從建立刻畫周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型（單位圓⊙O上的點(diǎn)P以點(diǎn)A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況）出發(fā)，在前一節(jié)用任意角的概念刻畫點(diǎn)P的位置變化情況的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立平面直角坐標(biāo)系xOy，通過角α的終邊與單位圓交點(diǎn)P坐標(biāo)的求解，得出三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），則y叫作α的正弦函數(shù)，即y=sin α;x叫作α的余弦函數(shù)，即x=cos α;y與x的比值叫作α的正切函數(shù)，即yx=tan α（x≠0）。然后，從特殊到一般，通過例題，將基于單位圓上點(diǎn)的定義推廣到一般情形，得到基于終邊上任意一點(diǎn)的定義，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用和在其他數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用（如摩天輪的旋轉(zhuǎn)、簡諧振動(dòng)、波，復(fù)數(shù)的三角式、極坐標(biāo)、二階矩陣刻畫的旋轉(zhuǎn)變換等）做好鋪墊。

這樣的定義編寫關(guān)注到數(shù)學(xué)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)性，顯得更為直觀和簡潔，便于學(xué)生記憶和理解：在運(yùn)動(dòng)思想（旋轉(zhuǎn)變換）、函數(shù)思想（定義及性質(zhì)）及數(shù)學(xué)建模（用數(shù)學(xué)模型刻畫圓周運(yùn)動(dòng)這一周期現(xiàn)象）三個(gè)“大概念”的統(tǒng)攝下，基于任意角的概念，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，得出關(guān)于單個(gè)自變量的函數(shù)模型，體現(xiàn)三角函數(shù)定義的科學(xué)性、合理性和發(fā)展性，同時(shí)自然地省略了三角函數(shù)線的內(nèi)容。此外，也注意了兩種定義的互相轉(zhuǎn)化，保證了學(xué)生概念理解的豐滿、完善。

綜上，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上看，兩種定義是等價(jià)的，但是，從教學(xué)的效能上看，新教材的定義更為高效。

二、新教材中三角函數(shù)定義的教學(xué)

（一）探究建構(gòu)

師為了學(xué)習(xí)三角函數(shù)，前面學(xué)了任意角和弧度制，將角的范圍擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù)。借助這些知識(shí)，我們進(jìn)一步研究上一節(jié)開頭提出的問題：（出示圖1）如圖，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以點(diǎn)A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠AOP=α，則α與點(diǎn)P的位置有什么關(guān)系？

生只要α確定，點(diǎn)P的位置就唯一確定了。

師也就是說，可以借助α的大小變化刻畫點(diǎn)P的位置變化。那么，在平面內(nèi)，點(diǎn)P的位置如何更精確地刻畫？

生建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P的位置可以用坐標(biāo)（x，y）表示。

師如何建立直角坐標(biāo)系？

生以O(shè)為原點(diǎn)、OA為x軸的非負(fù)半軸。

師好的。（出示圖2）那么，給出α，能否說出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（學(xué)生思考。）

師比如，α分別取0、π2、π、3π2、2π。

生點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，1）、（-1，0）、（0，-1）、（1，0）。

師α分別取π6、2π3呢？

生點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為32、12、-12，32。