陳再輝

三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Bursa模型抗差解法

陳再輝

（麗水市建設(shè)技術(shù)管理中心，浙江 麗水 323000）

對(duì)于空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的研究主要是轉(zhuǎn)換模型的選取和抗差估計(jì)理論的應(yīng)用，通過(guò)各種模型和算法提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的解算精度。針對(duì)空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的布爾薩（Bursa）模型的嚴(yán)密公式，給出了模型的抗差求解方法和具體的解算步驟，解算過(guò)程更為嚴(yán)謹(jǐn)。使用常用的幾種權(quán)函數(shù)進(jìn)行模型參數(shù)的抗差解算，對(duì)其求解參數(shù)的收斂速度進(jìn)行比較分析。通過(guò)具體實(shí)例驗(yàn)證了方法的有效性和可靠性。

空間直角坐標(biāo)；布爾薩模型；抗差估計(jì)；粗差

0 引言

生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常需要進(jìn)行數(shù)據(jù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：一種是同一橢球不同坐標(biāo)形式的轉(zhuǎn)換，另一種是不同橢球之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換?？臻g直角坐標(biāo)系是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中連接不同基準(zhǔn)的橋梁，利用兩個(gè)坐標(biāo)系的兩套重合點(diǎn)坐標(biāo)求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換。公共點(diǎn)坐標(biāo)的精度直接影響轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度，對(duì)于提高空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的研究主要是轉(zhuǎn)換模型[1-3]和抗差估計(jì)[2-5]算法。文獻(xiàn)[1]提出了空間直角坐標(biāo)的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換模型，采用正交普羅克魯斯忒斯（Procrustes）分析，對(duì)模型進(jìn)行求解,但是正交Procrustes分析構(gòu)建矩陣、分解矩陣的過(guò)程比較繁瑣。文獻(xiàn)[2]針對(duì)大旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型線性化復(fù)雜、計(jì)算量大等問(wèn)題，并顧及數(shù)據(jù)粗差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]對(duì)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的高斯-赫爾默特模型，采用牛頓-高斯迭代算法時(shí)，模型不受旋轉(zhuǎn)角度大小限制的問(wèn)題進(jìn)行了研究。

當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)含有粗差時(shí)，如何通過(guò)算法將其糾正，保證模型參數(shù)解算的可靠性，國(guó)內(nèi)外研究者進(jìn)行了大量的相關(guān)研究，主要是粗差探測(cè)與剔除和抗差估計(jì)算法[2-5]。文獻(xiàn)[2-3]使用了抗差估計(jì)的理論，穩(wěn)健性良好，但是存在大量的矩陣運(yùn)算。文獻(xiàn)[4]根據(jù)穩(wěn)健估計(jì)理論,對(duì)有粗差的公共點(diǎn)以重新定權(quán)的方式降低其在解算中的作用。抗差估計(jì)可以有效地剔除和糾正粗差數(shù)據(jù)的影響，文獻(xiàn)[5]將抗差估計(jì)理論用于布爾薩（Bursa）參數(shù)的求解，但使用的是簡(jiǎn)化了的Bursa公式，忽略了二階以上的項(xiàng)[5-6]。本文使用Bursa七參數(shù)轉(zhuǎn)換的嚴(yán)密公式進(jìn)行求解和分析，并對(duì)常用的幾種權(quán)函數(shù)的收斂速度進(jìn)行比較和分析。

1 Bursa轉(zhuǎn)換模型[6]

Bursa坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

取

式中下角標(biāo)C和O分別表示轉(zhuǎn)換值和已知值，則誤差方程式為

矩陣形式為

法方程為

其解為

2 Bursa模型抗差解[7]

轉(zhuǎn)換參數(shù)抗差解的+1步迭代表達(dá)式為

式中

抗差模型的計(jì)算步驟：

3 算例分析

取浙江省麗水市蓮都區(qū)某區(qū)域兩套重合點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)作為起算數(shù)據(jù)，總共27個(gè)點(diǎn)，隨機(jī)取3個(gè)點(diǎn)（1號(hào)點(diǎn)、26號(hào)點(diǎn)和27號(hào)點(diǎn)）作為檢核點(diǎn)，其余24個(gè)點(diǎn)作為起算數(shù)據(jù)進(jìn)行解算。隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)（15號(hào)點(diǎn)、16號(hào)點(diǎn)）模擬粗差數(shù)據(jù)，在這兩個(gè)點(diǎn)的、、坐標(biāo)分量上加入粗差，點(diǎn)位分布示意圖如圖1所示。

圖1 點(diǎn)位分布示意

表1 7參數(shù)模型解算結(jié)果表

表2 檢驗(yàn)點(diǎn)1號(hào)點(diǎn)、26號(hào)點(diǎn)、27號(hào)點(diǎn)坐標(biāo)差值 單位：mm

表3 加入不同粗差值并使用不同權(quán)函數(shù)的結(jié)果

圖2 無(wú)粗差時(shí)LS模型解算結(jié)果的殘差

圖3 含粗差時(shí)抗差估計(jì)方法解算結(jié)果的殘差

對(duì)于不同數(shù)值的粗差，同一權(quán)函數(shù)模型解算的迭代次數(shù)變化較小，當(dāng)加入的粗差數(shù)值不斷減小時(shí)，迭代次數(shù)增大。對(duì)于相同數(shù)值的粗差，使用IGGIII模型權(quán)函數(shù)時(shí)迭代次數(shù)最少，函數(shù)收斂速度最快，Huber模型權(quán)函數(shù)迭代次數(shù)最多，函數(shù)收斂速度最慢，其中使用IGGIII模型權(quán)函數(shù)時(shí)，迭代次數(shù)受粗差大小的影響較小。求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，使用Tukey模型權(quán)函數(shù)時(shí)，系數(shù)矩陣秩虧，使用改進(jìn)的Tukey模型權(quán)函數(shù)解算成功，達(dá)到預(yù)期的目的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)不同基準(zhǔn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Bursa模型的嚴(yán)密公式，給出了模型的抗差求解方法和具體解算步驟，解算過(guò)程更為嚴(yán)謹(jǐn)。當(dāng)原始數(shù)據(jù)含有粗差時(shí)，使用抗差估計(jì)方法可以直接對(duì)粗差進(jìn)行剔除和糾正，保證了解算的可靠性。在使用抗差模型求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，對(duì)于使用不同的權(quán)函數(shù)時(shí)的收斂速度進(jìn)行了比較和分析。

[1]吳繼忠, 王安怡. 空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的統(tǒng)一模型[J]. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué), 2015, 35(6): 1046-1048.

[2]李國(guó)琴, 田林亞, 郭英起, 等. 基于羅德里格矩陣的抗差迭代坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法研究[J]. 測(cè)繪工程, 2018, 27(3): 11-15.

[3]劉超, 王彬, 趙興旺, 等. 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的高斯-赫爾默特模型及其抗差解法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版), 2018, 43(9): 1320-1327.

[4]郭英起, 黃聲享, 曹先革. 基于穩(wěn)健估計(jì)的高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算方法[J]. 測(cè)繪工程, 2008, 17(6): 6-8.

[5]倪飛, 崔桂官. 空間直角坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的抗差算法研究[J]. 海洋測(cè)繪, 2011, 31(6): 28-30.

[6]孔祥元, 郭際明, 劉宗泉. 大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2006: 44-45.

[7]楊元喜. 抗差估計(jì)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 八一出版社, 1993: 273-275.

Bursa model robust solution for cartesian coordinate transformation in three-dimensional space

CHEN Zaihui

（Lishui Construction Technology Management Center, Lishui，Zhejiang 323000, China）

The research on the accuracy of space rectangular coordinate transformation is mainly the selection of transformation model and the application of robust estimation theory. Through various models and algorithms, the accuracy of transformation parameters is improved. Aiming at the rigorous formula of Bursa model in space rectangular coordinate transformation, this paper gives the model's robust solution method and specific solution steps, and the solution process is more rigorous. Several commonly used weight functions are used for robust calculation of model parameters, and the convergence speed of their solution parameters is compared and analyzed. The effectiveness and reliability of the method are verified by specific examples.

spatial Cartesian coordinates; Bursa model; robust estimation; gross error

P228

A

2095-4999(2021)02-0118-04

陳再輝.三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Bursa模型抗差解法[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào),2021,9(2): 118-121.（CHEN Zaihui.Bursa model robust solution for cartesian coordinate transformation in three-dimensional space[J].Journal of Navigation and Positioning,2021,9(2): 118-121.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20210219.

2019-12-03

陳再輝（1981—），女，陜西富平人，碩士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)镚IS和GNSS。