李 韌，楊久東，龔櫟澎，梁 鵬

兩種偽距定位精度分析及計(jì)算程序的實(shí)現(xiàn)

李 韌，楊久東，龔櫟澎，梁 鵬

（華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

針對(duì)卡爾曼濾波偽距定位方法難以建立準(zhǔn)確的定位模型，容易造成濾波發(fā)散，導(dǎo)致定位精度降低的問(wèn)題，比較分析了卡爾曼濾波偽距定位和星頻雙差偽距定位兩種偽距定位模型，利用三個(gè)點(diǎn)的靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)，采用全球定位系統(tǒng)（GPS）的衛(wèi)星偽距觀測(cè)值和廣播星歷文件計(jì)算得到測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)，將兩種偽距定位模型計(jì)算的坐標(biāo)與赫戈（HGO）軟件靜態(tài)解算的坐標(biāo)進(jìn)行精度對(duì)比與分析。結(jié)果顯示，卡爾曼濾波偽距定位方法的誤差在6 m內(nèi)，星頻雙差偽距定位方法的誤差在3 m內(nèi)，對(duì)總體均方根誤差（RMSE）進(jìn)行分析，星頻雙差偽距定位結(jié)果低于卡爾曼濾波偽距定位，證明星頻雙差偽距定位精度高于卡爾曼濾波偽距定位精度，星頻雙差偽距定位數(shù)學(xué)模型是可行的。

偽距定位；卡爾曼濾波偽距定位；星間單差；星頻雙差；編程實(shí)現(xiàn)

0 引言

隨著科技的發(fā)展，衛(wèi)星導(dǎo)航定位為社會(huì)做出了重大貢獻(xiàn)，偽距定位是其中不可或缺的一部分。它利用接收機(jī)的偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)及廣播星歷文件計(jì)算測(cè)站坐標(biāo)，是導(dǎo)航定位中最常用的定位方法，主要用于導(dǎo)航定位中初始概略位置的定位[1]。隨著對(duì)精密單點(diǎn)定位（precise point positioning, PPP）的研究深入，作為其基礎(chǔ)方法及定位理論的偽距單點(diǎn)定位方法及理論也是極其重要的[2-3]。偽距定位已經(jīng)不僅僅局限于傳統(tǒng)的偽距定位，通過(guò)不斷深入研究，已經(jīng)衍生出多種偽距定位解算模型[4-5]。研究發(fā)現(xiàn)，采用最小二乘迭代法對(duì)偽距進(jìn)行解算，其迭代次數(shù)少但定位精度較低[6-7]；采用卡爾曼（Kalman）濾波法解算，可使精度有所提高，但迭代次數(shù)過(guò)多[8]；很多學(xué)者研究使用最小二乘法和Kalman濾波法組合使用進(jìn)行偽距解算，以減少迭代次數(shù)，提高定位精度[9]。偽距單點(diǎn)定位方法的精度一般為米級(jí)，組合偽距觀測(cè)值定位精度可高于單一偽距觀測(cè)值精度[10]，全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）靜態(tài)精密單點(diǎn)定位模型，點(diǎn)位精度可達(dá)毫米級(jí)[11-13]。

偽距單點(diǎn)定位方法及理論的研究雖然很多，但關(guān)于偽距定位的數(shù)學(xué)模型的表述卻不夠詳細(xì)，筆者通過(guò)對(duì)偽距定位理論的進(jìn)一步研究，整理出Kalman濾波偽距定位和星間頻間偽距定位模型，以派森（Python）3.8為工具進(jìn)行編程，并利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該數(shù)學(xué)模型的可行性、正確性及程序的穩(wěn)定性，同時(shí)將兩種偽距定位方法的定位結(jié)果進(jìn)行比較，分析兩種偽距定位方法的定位效果及精度，證明星頻雙差偽距定位精度高于卡爾曼濾波偽距定位精度，星頻雙差偽距定位數(shù)學(xué)模型是可行的。

1 偽距定位模型

1.1 Kalman濾波偽距定位模型

Kalman濾波方法是一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法，在GNSS定位中應(yīng)用較為廣泛，適用于高精度衛(wèi)星導(dǎo)航定位領(lǐng)域。首先建立Kalman濾波模型，即

濾波器的遞推公式為

通過(guò)Kalman濾波計(jì)算出測(cè)站的位置分量后，偽距定位坐標(biāo)計(jì)算公式為

由于單獨(dú)每個(gè)歷元的數(shù)據(jù)都可解算一個(gè)測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)，各歷元數(shù)據(jù)可視作是獨(dú)立觀測(cè)值，可通過(guò)均方根誤差（root mean square error, RMSE）指標(biāo)，判別各歷元解算坐標(biāo)與平均值的變化幅度，坐標(biāo)各分量的RMSE值和坐標(biāo)的RMSE值的計(jì)算方法為

1.2 星間頻間偽距定位模型

根據(jù)偽距定位原理，可將偽距公式進(jìn)行變形整理后得

參考衛(wèi)星的觀測(cè)方程與其余衛(wèi)星的觀測(cè)方程進(jìn)行星間作差，可得

GPS衛(wèi)星信號(hào)播發(fā)頻率L1是由調(diào)制基本頻率154×10.23 MHz獲得的頻率，L2是由調(diào)制基本頻率120×10.23 MHz獲得的頻率，所以有

因?yàn)樾情g頻間偽距定位方法是依據(jù)L1、L2頻率間倍率關(guān)系作差進(jìn)行計(jì)算定位的，但衛(wèi)星的頻率發(fā)射不穩(wěn)定，存在一定的頻率波動(dòng)，在后期解算中，需要對(duì)系數(shù)進(jìn)行一系列調(diào)整，才能利用最小二乘計(jì)算出較為精確的測(cè)站的偽距定位坐標(biāo)。最小二乘解算中的權(quán)陣采用同一歷元下衛(wèi)星高度角定權(quán)模型，權(quán)陣為方差陣的逆，其方差計(jì)算方法為

觀測(cè)誤差方程為

由最小二乘求解得

由式（17）可以求得坐標(biāo)改正值，將坐標(biāo)改正值代入式（18）可以求得接收機(jī)坐標(biāo)為

2 定位坐標(biāo)解算及精度分析

在利用Python語(yǔ)言進(jìn)行兩種偽距定位模型的程序設(shè)計(jì)時(shí)，建立了不同的模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)偽距定位坐標(biāo)的計(jì)算，主要包括文件讀取、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、時(shí)間統(tǒng)一、衛(wèi)星位置計(jì)算、偽距定位模型計(jì)算、精度評(píng)價(jià)等6大模塊，定位程序主要處理流程如圖1所示。

圖1 程序設(shè)計(jì)流程圖

在計(jì)算偽距定位時(shí)，需要注意坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。由于GPS定位求得的各種參數(shù)為1984世界大地坐標(biāo)系（world geodetic coordinate system 1984, WGS84）下的結(jié)果，在測(cè)站坐標(biāo)計(jì)算的過(guò)程中，需要根據(jù)實(shí)際測(cè)繪工作需要，將WGS84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為站心坐標(biāo)系。

運(yùn)用本文所述的兩種偽距定位模型，選擇2019年11月河北省唐山市曹妃甸生態(tài)城控制網(wǎng)中C401、C410和GPS1三個(gè)控制點(diǎn)的靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，C401與C410的距離為5493 m，C401與GPS1的距離為1950 m，C410與GPS1距離為4348 m。同步觀測(cè)時(shí)間為100 min，靜態(tài)接收機(jī)型號(hào)為海星達(dá)IRTK2型雙頻接收機(jī)，靜態(tài)數(shù)據(jù)文件為RINEX3.02文件，采樣間隔1 s，高度截止角為10°，因觀測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)，故選取觀測(cè)歷元中的300個(gè)歷元參與模型計(jì)算。程序自動(dòng)計(jì)算1~300個(gè)歷元、兩個(gè)偽距定位模型中的定位坐標(biāo)，同時(shí)使用中海達(dá)赫戈（HGO）基線解算軟件進(jìn)行控制網(wǎng)解算，經(jīng)嚴(yán)密二維約束平差后，最弱點(diǎn)中誤差的最大值為1.19 mm，符合精度要求。由于相對(duì)偽距定位模型的精度為米級(jí)，可以將HGO解算的二維約束平差結(jié)果作為真值使用。圖2至圖10為對(duì)兩種偽距定位模型進(jìn)行比較的結(jié)果。

圖2至圖4為測(cè)站C401的坐標(biāo)值（、、），圖5至圖7為測(cè)站C410的坐標(biāo)值（、、），圖8至圖10為測(cè)站GPS1的坐標(biāo)值（、、）。從圖2至圖10可知，三個(gè)測(cè)站的Kalman濾波偽距定位模型和星間頻間偽距定位模型的每個(gè)歷元解算的定位坐標(biāo)，都出現(xiàn)了不同程度的波動(dòng)，符合偽距定位的解算規(guī)律。在兩種定位方法模型解算的300個(gè)歷元坐標(biāo)中：Kalman濾波偽距定位方法在前10個(gè)歷元處波動(dòng)較大，原因在于，在動(dòng)態(tài)濾波過(guò)程中，Kalman濾波需要一定的歷元數(shù)進(jìn)行收斂，而收斂后的圖線波動(dòng)較小，圖形表現(xiàn)較為平穩(wěn)；星間頻間偽距定位模型解算的300歷元定位坐標(biāo)，波動(dòng)較大，大部分圖線波動(dòng)在精密坐標(biāo)圖線的上方與下方，其平均值與精密坐標(biāo)圖線更為接近。

圖2 測(cè)站C401的X坐標(biāo)值

圖3 測(cè)站C401的Y坐標(biāo)值

圖4 測(cè)站C401的Z坐標(biāo)值

圖5 測(cè)站C410的X坐標(biāo)值

圖6 測(cè)站C410的Y坐標(biāo)值

圖7 測(cè)站C410的Z坐標(biāo)值

圖8 測(cè)站GPS1的X坐標(biāo)值

圖9 測(cè)站GPS1的Y坐標(biāo)值

圖10 測(cè)站GPS1的Z坐標(biāo)值

表1 測(cè)站定位坐標(biāo)誤差及坐標(biāo)變化范圍

為了更直觀地反映觀測(cè)值偏離真實(shí)有效數(shù)據(jù)值的波動(dòng)情況，將其結(jié)果列于表2，RMSE值越小，表明誤差就越小，精度越高，偽距定位越準(zhǔn)確。通過(guò)對(duì)表2進(jìn)行分析可知，用兩種偽距定位方法在三個(gè)測(cè)站進(jìn)行300個(gè)歷元的解算，三個(gè)測(cè)站的RMSE值表現(xiàn)一致，均是卡爾曼濾波偽距定位的坐標(biāo)解算精度高于星間頻間偽距定位，而星間頻間偽距定位在三個(gè)測(cè)站上的RMSE、RMSE、RMSE的值均低于卡爾曼濾波偽距定位，其中測(cè)站C401、測(cè)站C410和測(cè)站GPS1的星間頻間偽距定位的總體均方根誤差RMSE比Kalman濾波偽距定位分別提升了48%、68%和24%。綜合分析，星間頻間偽距定位方法的定位精度要高于Kalman濾波偽距定位，但是坐標(biāo)解算精度低于Kalman濾波偽距定位精度，主要原因可能在于選擇的解算模型不夠精確，在定位計(jì)算中發(fā)生了偏移，導(dǎo)致定位精度不高。

表2 測(cè)站RMSE值

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)兩種偽距定位的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和研究，用Python程序?qū)崿F(xiàn)了Kalman濾波偽距定位模型、星間頻間偽距定位模型的計(jì)算，并利用靜態(tài)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，測(cè)站點(diǎn)的偽距定位精度在米級(jí)，Kalman濾波偽距定位方法計(jì)算的、、坐標(biāo)誤差在6 m內(nèi)，星間頻間偽距定位方法計(jì)算的、、坐標(biāo)誤差在3 m內(nèi)，星間頻間偽距定位的精度高于Kalman濾波偽距定位。在經(jīng)過(guò)大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算檢驗(yàn)后，表明筆者編制的偽距定位程序可以滿足要求。由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)區(qū)域較小，屬于短基線解算，對(duì)流層及電離層誤差影響較小，而且僅僅采用GPS單系統(tǒng)的偽距觀測(cè)值進(jìn)行了偽距計(jì)算，未加入其它衛(wèi)星系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合解算。若在后期能加入其它衛(wèi)星系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行有效組合偽距定位，則能進(jìn)一步提高偽距定位精度及穩(wěn)定性。

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Accuracy analysis and program implementation of two kinds of pseudo range positioning

LI Ren,YANG Jiudong,GONG Lipeng,LIANG Peng

( Mining Engineering College,North China University of Technology,Tangshan,Hebei 063210,China)

The Kalman filter pseudo-range positioning method finds it difficult to establish an exact positioning model and filtering divergence could be easily caused which reduce the accuracy of position. In point of these problems, we have compared and analyzed two pseudo-range positioning model,namely Kalman filter pseudo-range positioning model and star frequency double difference pseudo-distance positioning, taken advantage of static observation data measured by engineering at 3 points, gotten the satellite pseudo-distance measured data of the Global Positioning System (GPS) and measured position coordinates computed by broadcast ephemeris.Comparing and analyzing the accuracy of coordinates computed by the pseudo-distance positioning model and by the static HGO software, we can find that the error range of Kalman filter pseudo-range positioning model is within 6 m and the star frequency double difference pseudo-distance positioning is within 3 m. Analyzing the value of General Root Mean Square Error (RMSE), we can see that the positioning results of star frequency double difference pseudo-distance are all lower than the Kalman filter pseudodistance positioning. It has demonstrated that the accuracy of star frequency double difference pseudo-distance positioning is higher than the Kalman filter pseudo-distance positioning and its feasibility for star frequency double difference pseudo-distance positioning to locate math models.

pseudo range positioning;Kalman filter pseudo range positioning;single difference between stars;double difference between stars;programming implementation

P228

A

2095-4999(2021)02-0083-07

李韌，楊久東，龔櫟澎，等. 兩種偽距定位精度分析及計(jì)算程序的實(shí)現(xiàn)[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報(bào), 2021, 9(2): 83-89.（LI Ren, YANG Jiudong, GONG Lipeng, et al. Accuracy analysis and program implementation of two kinds of pseudo range positioning[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2021, 9(2): 83-89.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20210213.

2020-06-17

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51904105）。

李韌（1996—），男，河北廊坊人，碩士研究生，研究方向?yàn)榭臻g大地測(cè)量。

龔櫟澎（1995—），男，河北唐山人，碩士研究生，研究方向?yàn)榭臻g大地測(cè)量。