陳方勇 劉清清 阮征 孫業(yè)勤

【摘要】以高中生在學習任意角三角函數(shù)時常常出現(xiàn)的理解偏差為出發(fā)點，分析并探尋出現(xiàn)這種偏差原因，據(jù)此提出思考.在借鑒高中學習任意角三角函數(shù)的思想基礎上，根據(jù)初中教材提供的探究材料，以函數(shù)的觀念看待銳角三角函數(shù)的教學，最后強調(diào)學習銳角三角函數(shù)在初中階段的必要性所在.

【關鍵詞】銳角三角函數(shù);任意角三角函數(shù);初高中銜接1問題背景

銳角三角函數(shù)是初高中銜接教學的體現(xiàn)之一，初中學習的銳角三角函數(shù)是高中學習三角函數(shù)的基礎，高中的銳角三角函數(shù)學習是初中所學內(nèi)容的繼續(xù)深入和擴展.初中只涉及銳角三角函數(shù)和解直角三角形，且知識點少、內(nèi)容比較簡單，而高中研究任意角三角函數(shù)的內(nèi)容豐富復雜，理論性強、實踐性廣.那么三角函數(shù)在不同學段是如何呈現(xiàn)的呢？

以人教版和滬科版的初中教材為例，兩者均是在Rt△ABC中，∠C=90°，利用三角形相似，說明“只要銳角∠A的角度不變，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會變化的”，接著在直角三角形中利用“比值”給出銳角三角函數(shù)的定義.高中以人教版A版為例，教材中以初中定義為引入，由弧度的學習，借助于單位圓對初中銳角三角函數(shù)重新定義，接著教材中有這樣一段話：銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示.同樣的，我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).最后，教材給出類似于解釋說明的一段文字：所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，所以我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)[1].由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).認真研讀不難發(fā)現(xiàn)，最后一段話才是三角函數(shù)的本質(zhì)，高中的三角函數(shù)教學的進行是建立在初中的基礎上的，那么初中教師該如何進行此內(nèi)容的教學呢？

2問題的發(fā)現(xiàn)與提出

在初中教學時，教師常常以“銳角∠A的角度不變，∠A的對邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會變化的”為突破口認識與探究銳角三角函數(shù)，事實上這種認知是有偏差的，這并不是銳角三角函數(shù)的本質(zhì).由于初中階段是通過直角三角形認識和定義銳角三角函數(shù)，所以在高中階段的學習時，學生的思維定勢和根深蒂固的思考習慣會不自覺把任意角三角函數(shù)的定義局限于直角三角形中，因此對任意角的三角函數(shù)定義感到困惑和不解，導致很多學生在學習三角函數(shù)這一章時對概念不明確、不能真正理解其含義，乃至在實際運用中因混淆概念而解題失誤[1].例如，在高中初次學習tanα（如圖1所示），即使教師反復強調(diào)任意角的正切函數(shù)的定義，但學生的解題習慣依然會停留在圖2，因此常常遇到學生困惑地問：為什么比值是負數(shù)？教師可能會迫于無奈地說“因為點A在負半軸上，所以OA是負值”——這種解釋顯然是無稽之談，更會讓學生的認識與理解滑向無底深淵.那么，為什么學生在高中學習時，會出現(xiàn)圖2的情形和疑問呢？

3問題分析

陳曦在《HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學研究》一文中詳細介紹到：教材（人教A版）只是在第一節(jié)內(nèi)容上安排了任意角與弧度制的內(nèi)容，接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數(shù)定義，教師的普遍講法是回顧初中銳角三角函數(shù)的定義，然后讓學生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù).這種講法無疑是讓學生陷入一個誤區(qū)，即任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，自然有很多學生認為任意角三角函數(shù)仍然是研究三角形三邊關系的工具，只是不再局限于銳角三角形，也有很多學生排斥單位圓的定義，覺得不如初中階段所給的“比值法”好，既不直觀、也難以用來計算[3].于是就出現(xiàn)了開頭的圖2，產(chǎn)生這一現(xiàn)象主要原因是：（1）教師沒有講明高中階段學習的三角函數(shù)與初中階段學習的銳角三角函數(shù)研究的內(nèi)容、學習方法和數(shù)學思考存在的不同，容易造成學生對于概念的混淆.章建躍對兩者的發(fā)展歷史和區(qū)別進行了詳細的介紹;（2）學生在初中階段首次接觸銳角三角函數(shù)時還沒有樹立正確的認識觀，導致他們狹隘地認為銳角三角函數(shù)就是一個“比值”[3].可見這種片面的認知對高中階段的數(shù)學學習有著明顯的阻礙作用.既然銳角三角函數(shù)是函數(shù)，那么教師在教學中就應該找到適切的教學方法，讓學生以“函數(shù)的眼光”看待“銳角三角函數(shù)”、讓其具有函數(shù)的味道、避免片面的“比值”認識與理解、減少在后續(xù)學習中的認知障礙，從而順利銜接高中階段的“任意角三角函數(shù)”學習.最后，學生初次接觸銳角三角函數(shù)時，有何折中的辦法避免以上的認知誤區(qū)，讓高中學習更為流暢和自然，真正達到學習知識的螺旋式上升，體現(xiàn)出明顯的階段需求呢？以筆者之見，高中教材中“借助于單位圓對初中銳角三角函數(shù)重新定義”也許可以緩解初中生對銳角三角函數(shù)的認知偏向，為問題的解決提供一種廣闊的視角.

4問題解決

高中認識任意角三角函數(shù)有兩種方法即是“單位圓定義法”和“終邊定義法”.按照滬科版的內(nèi)容編排，銳角三角函數(shù)在圓之前，因此利用單位圓認識銳角三角函數(shù)已然行不通，所以采用“終邊定義法”.

4.1正確認識正切函數(shù)的概念

由于銳角三角函數(shù)是一種函數(shù)，教師在講解本節(jié)課，出發(fā)點和落腳點應是對銳角三角函數(shù)概念的初步理解，這樣才能避免學生對銳角三角函數(shù)狹隘的認知.直角三角形只是認知銳角三角函數(shù)的一種特殊形式，并不能成為理解銳角三角函數(shù)的基石，更不能直接探究“銳角∠A的角度不變，∠A的對邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會變化的”，前面還需要一些準備工作.筆者根據(jù)上述分析，設計滬科版初中數(shù)學的《銳角三角函數(shù)》教學探究過程.

教師：請同學們看大屏幕，你看到了什么？見圖3.

學生（共同）：坐標系和線段OA，點A的坐標是（x，y）.圖3

5教學問題的再思考

既然高中會繼續(xù)深入學習任意角三角函數(shù)，那么初中學習銳角三角函數(shù)是否有必要呢？初中階段為什么要學習銳角三角函數(shù)呢？以筆者之見，初中階段學習銳角三角函數(shù)是必不可少的.

5.1知識系統(tǒng)性的必要性

初中階段，學生解三角形均是轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理、三角形內(nèi)角和與銳角三角函數(shù)解三角形.勾股定理與三角形內(nèi)角和分別反映的是三角形三邊與三角的數(shù)量關系，邊和角的數(shù)量關系就涉及到銳角三角函數(shù)，因此銳角三角函數(shù)是解三角形中邊角關系的紐帶與橋梁，有了該部分的知識，勾股定理與三角形內(nèi)角和才不會“孤立無援”、才會讓解三角形的知識網(wǎng)絡更為完整.如此，邊、角以及邊角關系三者自成一體、互相融合與補充，體現(xiàn)了解三角形知識的系統(tǒng)性.

5.2義務教育階段的必要性

根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》課程性質(zhì)可了解到：義務教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，而《課標》對本節(jié)的要求是“能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題”[4].銳角三角函數(shù)在生活生產(chǎn)、軍事、地理、工業(yè)、物理等方面都有著廣泛的應用，無疑更明確學習銳角三角函數(shù)是義務教育階段學生掌握必備的基礎知識與基本技能，銳角三角函數(shù)從實際生活中產(chǎn)生，又運用到實際生活中去，因此是必不可少的.

5.3銳角函數(shù)與任意角三角函數(shù)內(nèi)容區(qū)別的必要性

章建躍《為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)》中對銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的描述：銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關系發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的.它們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同.我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”[5].由此可見，銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)同中有異，兩者的數(shù)學思想、學習方法、學習內(nèi)容均有差異，并且銳角三角函數(shù)易接受、易理解、易掌握，若把銳角三角函數(shù)放在高中階段學習，不僅不符合數(shù)學史發(fā)展的階段性，也不符合高中生的認知規(guī)律（即學習內(nèi)容的難度低于學生的認知水平），所以在初中階段學習銳角三角函數(shù)是合情合理的.

6總結

綜合以上分析，初中教師完全按照高中學習任意角三角函數(shù)的方法教學銳角三角函數(shù)是強人所難，并且銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)有一定的區(qū)別，所以教師遵照“銳角∠A的角度不變，∠A的對邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會變化的”進行探究也無可厚非.但站在高中的學生課堂反饋來看，這種直接的探究確實帶來了“后遺癥”，對學生后續(xù)學習產(chǎn)生嚴重的思考障礙.因此，教師需要在認識銳角三角函數(shù)之初，借鑒高中任意角三角函數(shù)學習的思想進行探究，對初中的知識進行加工處理，讓學生經(jīng)歷一系列的數(shù)學活動，親身經(jīng)歷銳角三角函數(shù)的發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，使得學生有相對充足的時間思考、認識、理解銳角三角函數(shù)，更好助力高中任意角三角函數(shù)的學習.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部審定.普通高中課程標準實驗教科書（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]石芮嘉.高中生學習三角函數(shù)的困難與解決對策[J].教育觀察，2016（10）：92-98.

[3]陳曦，張海玲等.HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學研究[J].首都師范大學學報（自然科學版），2014（12）：23-27.

[4]中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[5]章建躍.為什么用單位圓上的點的坐標定義任意角的三角函數(shù)[J].數(shù)學通報，2007（1）：15-18.