林輝慶

摘? ?要：教師和學生對互感系統(tǒng)中電磁感應現(xiàn)象的認識普遍存在著兩個誤區(qū)：忽視副線圈電流對原線圈的感應作用;忽視線圈的自感作用。文章通過推導一般互感系統(tǒng)原、副線圈的電流、電壓間的相互關系和理想變壓器原理，揭示了副線圈電流在原線圈中感應的反饋作用和自感的基礎性作用。

關鍵詞：互感;自感;正弦式電流;反饋;電能傳輸

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）3-0056-3

互感是普遍存在的電磁感應現(xiàn)象，高中物理教科書對互感的定義是：當一個線圈中的電流變化時，它所產(chǎn)生的變化磁場會在另一個線圈中產(chǎn)生感應電動勢，這種現(xiàn)象叫互感[1]。變壓器的工作原理是互感，教科書指出：原線圈中的變化電流在鐵芯中產(chǎn)生變化的磁通量，變化的磁通量在副線圈中產(chǎn)生感應電動勢，所以副線圈能夠輸出電流[1]。在這里，既沒有涉及副線圈電流對原線圈的感應作用，也沒有涉及線圈的自感作用。教科書編寫的不足，導致教師和學生對互感系統(tǒng)的電磁感應現(xiàn)象普遍存在著認識誤區(qū)，以致對有關問題往往作出錯誤的推理與判斷。

1? ? 對互感系統(tǒng)電磁感應現(xiàn)象認識的兩個誤區(qū)

1.1? ? 忽視副線圈電流對原線圈的感應作用

題1 手機的電磁感應式無線充電及原理如圖1。原線圈（充電板中的線圈）接通交流電源后，它產(chǎn)生的交變磁場在副線圈（手機中的線圈）中激發(fā)感應電流，從而對手機實現(xiàn)無線充電。若原線圈電流i1隨時間變化的圖像如圖2中的A所示，那么副線圈電流i2隨時間變化的圖像是哪一個？電流i1、i2的正方向規(guī)定如圖1乙所示（i1、i2均為正方向時，它們在線圈中產(chǎn)生的磁場方向一致。下同）。

在中學教學中，大多按如下的推理來判斷i2-t圖像：t=0時■最大，i1產(chǎn)生的通過副線圈的磁通量變化率也最大，由法拉第電磁感應定律知道此時副線圈中感應電動勢最大，由它產(chǎn)生的i2也最大;t=0后的一小段時間i1增大，由楞次定律判斷出i2為負方向。由此得到i2-t圖像為圖2中的D，i2的相位比i1落后■。

上述推斷，只考慮了原線圈電流i1的變化在副線圈中產(chǎn)生感應電流i2，根本沒有考慮i2對原線圈的感應作用。i2在原線圈中的感應是客觀存在的，那么，這種感應對i1的大小和相位有什么影響？這種影響在什么情況下才可忽略？是我們需要進一步搞清楚的問題。

1.2? ? 忽視線圈的自感作用

題2 如圖3，兩平行金屬導軌與理想變壓器的原線圈連接，變壓器副線圈連接電阻R。勻強磁場垂直于導軌平面，金屬棒ab與導軌垂直且接觸良好，ab棒與導軌的電阻均不計。ab棒在外力作用下沿導軌運動，下列情況中有電流通過電阻R的是（? ?）

A.ab棒做簡諧運動向右通過平衡位置時

B.ab棒做簡諧運動通過右側(cè)最遠位置時

C.ab棒向右勻速運動

D.ab棒向右勻加速運動

常見的解析如下：ab棒做簡諧運動向右通過平衡位置時，速度和切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢最大，從而通過原線圈的電流和它在鐵芯中產(chǎn)生的磁通量也最大;此時磁通量變化率等于零，副線圈中的感應電動勢和通過電阻R的電流也都等于零。同理可推出，ab棒做簡諧運動通過右側(cè)最遠位置時，通過電阻R的電流最大;ab棒做勻速運動時，通過電阻R的電流等于零;ab棒做勻加速度運動時，通過電阻R的電流為不等于零的某個定值。答案為B、D選項。

上述分析中，除了沒有考慮副線圈電流對原線圈的感應作用外，還存在一個問題。那就是認為ab棒的電動勢最大，流過原線圈的電流也最大;ab棒的電動勢不變或變化，流過原線圈的電流也不變或同步變化。這是不自覺地將原線圈當作電阻器，用歐姆定律作出的推斷。但由于原線圈回路的電阻等于零，只要ab棒的電動勢不等于零，由歐姆定律就會得出電流趨于∞的結(jié)論。其實在這里，對電流起作用的是線圈的自感，那么，線圈的自感在互感中起什么樣的作用？是如何起作用的？就成了我們需要進一步探討的問題。

2? ? 一般互感系統(tǒng)原、副線圈的電流、電壓間的相互關系

2.1? ? 互感系統(tǒng)中電流、電壓關系方程

設圖1乙中原、副線圈的電阻不計，匝數(shù)分別為N1、N2。原線圈接通交變電源后，通過原、副線圈的交變電流分別為i1、i2，交變磁通量分別為Φ1、Φ2，交變的磁通量在原、副線圈中產(chǎn)生的感應電動勢分別為eab、edc。原、副線圈兩端的電壓u1（=uab）、u2（=ucd）與電動勢的關系是u1=-eab、u2=edc，由法拉第電磁感應定律可得

u1=N1■，u2=-N2■（1）

需要特別指出，Φ1、Φ2是通過原、副線圈的總磁通量，它等于自身的電流產(chǎn)生的磁通量與另一個線圈的電流產(chǎn)生的磁通量之和。因此，任一線圈上的感應電動勢等于自感電動勢與互感電動勢之和。設原、副線圈的自感分別為L1、L2，它們之間的互感為M，u1、u2就可以表示為

u1=L1■+M■

u2=-L2■-M■

這就是原、副線圈中的電壓和電流滿足的方程。這兩個方程右邊的第一項分別反映i1、i2的自感作用，第二項分別反映i2對原線圈的互感作用和i1對副線圈的互感作用。

2.2? ? 原、副線圈的電流、電壓間的相互關系

在原線圈加電壓u1=U1mcosωt，負載是電阻R的情況下，i1、i2是正弦電流。解這兩個方程得

tanφ2=-■（2）

I2m=-■（3）

tanφ1=-■（4）

I■=■（5）

（2）到（5）式就是電流i1、i2和電壓u2（=i2R）的大小和相位。各式中都有L1、L2和M，表明互感系統(tǒng)中的自感和互感都是不可忽略的。

3? ? 理想變壓器原、副線圈的電壓、電流關系

在上述公式中，L1、L2以復雜的方式纏繞在一起，為了進一步從物理本質(zhì)上搞清互感現(xiàn)象中互感和自感是如何起作用的，我們有必要研究互感作用最顯著的理想變壓器的工作原理。

3.1? ? 理想變壓器的條件

第一，沒有漏磁，通過原、副線圈每匝的磁通量Φ相同。無漏磁時，互感、自感和線圈匝數(shù)之間滿足[2]M2=L1L2，N1M=N2L1。

第二，原、副線圈的自感趨于∞。這是由于鐵芯的磁導率μ很大，線圈中很小的電流就能在鐵芯中產(chǎn)生很大的磁通量。

第三，沒有損耗。既忽略原、副線圈的電阻，也忽略鐵芯中的渦流和磁滯現(xiàn)象。

3.2? ? 電壓比與電流比

由于沒有漏磁，通過原、副線圈的磁通量Φ1=Φ2=Φ，由（1）式得到

■=-■（6）

這就是理想變壓器的電壓比公式，“-”表示u2與u1的相位差始終為π。

由于L1→∞，不接負載i2=0時，i10→0。

接通負載i2≠0時，原線圈出現(xiàn)電流

i'=-■i2=-■i2，i1=i10+i'1

于是有

■=-■（7）

將（6）（7）兩式的兩邊相乘得到i1u1=i2u2

它的意義是，原線圈的輸入功率始終等于副線圈的輸出功率。

4? ? 副線圈電流在原線圈中感應的反饋作用

在理想變壓器的原理中，我們清楚地看到i2對原線圈的感應所起的反饋作用：i2的感應使原線圈電流從i10=0變化到i1=i1′;電源據(jù)此向原線圈輸入副線圈需要的功率u1i1（=u2i2）。改變負載使i2變化，i1=i1′和原線圈的輸入功率也隨之變化。

在一般的互感系統(tǒng)中，副線圈電流對原線圈的感應同樣起著反饋作用：原線圈根據(jù)i2提供的“反饋信息”i1′，調(diào)節(jié)自身電流的大小與相位，電源根據(jù)這種調(diào)節(jié)為原線圈輸入副線圈需要的電功率。改變負載使i2變化，根據(jù)“反饋信息”i1′，i1和原線圈的輸入功率作同步變化。

由i1′=-■i2知道，只有在i2→0時，i2對原線圈的感應作用才可忽略。題1中的手機無線充電問題，i2一定較大，它對原線圈的感應作用不能忽略，因此D選項是錯誤的。在i2不能忽略的情況下，i2與i1的相位差Δφ的范圍是■<Δφ<π，i2-t圖像應如圖5所示。

5? ? 自感在互感中的基礎性作用

從互感的起源上，我們能直接理解互感與自感的本質(zhì)聯(lián)系。產(chǎn)生互感的磁通量是產(chǎn)生自感的磁通量的一部分或全部（沒有漏磁時），在兩線圈相對位置一定的情況下，自感越大互感也越大，從原線圈向副線圈傳輸電能的效果就越好，反之亦然。因此，自感是互感的基礎，在任何互感現(xiàn)象中自感都是不能忽略的。

考慮到變壓器線圈的自感作用不能忽略，再來分析題2。做簡諧運動的ab棒是一個交流電源，它通過平衡位置和端點時，電壓u1分別為最大和零。由（6）式知道，在這兩個時刻電壓u2也是最大和零;由歐姆定律，電流i2也為最大和零。這與常見解析得出的結(jié)論正好相反。

ab棒做勻速運動時，加在原線圈兩端的電壓U1=Blv為定值，因此必有空載電流i10=k1t（k1是一個微小的常量），鐵芯中的磁通量Φ=k2t，它們滿足L1■=N1■=U1，副線圈兩端的電壓U2=N2■=■U1。通過電阻R的電流i2=■=■·■≠0，i2在原線圈中產(chǎn)生的i'1=■i2=（■）2■，原線圈的電流i1=i10+i1′≈（■）2■?？梢?，常見的解析中認為ab棒勻速運動時沒有電流通過R這個判斷是錯誤的。

同理推出，當ab棒勻加速運動時，通過電阻R的電流i2隨時間均勻增大。

綜合上述分析，題2的答案應該是A、C、D。

參考文獻：

[1]彭前程，黃恕伯.普通高中教科書物理選擇性必修第二冊[M].北京：人民教育出版社，2019：38，56.

[2]趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程電磁學[M].北京：高等教育出版社，2006：211-212+365.

（欄目編輯? ? 羅琬華）