趙小楠，呂麗軍

（上海大學(xué) 精密儀器及機(jī)械系，上海 200072）

引言

近年來，隨著機(jī)器人、計算機(jī)視覺、虛擬現(xiàn)實(shí)及航天等應(yīng)用領(lǐng)域的日益發(fā)展，單一折射或反射鏡光學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)了一定的局限性，難以滿足科研乃至日常生產(chǎn)應(yīng)用需求。折反射組合光學(xué)系統(tǒng)具有擴(kuò)大視場范圍，結(jié)構(gòu)簡單緊湊等優(yōu)點(diǎn)，常應(yīng)用在折反射全景成像系統(tǒng)[1-4]以及二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面面形檢測[5-6]中。因此，折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的成像分析成為一個重要的研究課題。

光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的分析評價大多是圍繞近軸光學(xué)系統(tǒng)展開的，評價工作的主要依據(jù)是賽德爾像差理論[7]，賽德爾像差理論對入射角小于 30°的近軸光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行像差分析時計算精度較高。但是，對于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，光束以較大的入射角（這里一般指入射角遠(yuǎn)大于 30°）打在光學(xué)元件表面，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，在子午和弧矢平面內(nèi)光束聚焦位置及波陣面形狀完全不一致，此時該類系統(tǒng)具備平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)，賽德爾像差理論則不再適用。

呂麗軍教授等人基于波像差的方法，針對平面對稱光學(xué)系統(tǒng)在子午和弧矢平面內(nèi)焦點(diǎn)完全不一致的特點(diǎn)，提出以超環(huán)面作為參考波陣面，發(fā)展了平面對稱光柵系統(tǒng)的像差理論[8]。該理論適用于斜入射甚至掠入射（入射角達(dá)到 80°，甚至 89°以上）的光柵或反射鏡光學(xué)系統(tǒng)的像差分析。此外，它還可以研究任意二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面，如橢球面、超環(huán)面和拋物面等。

下面第1 節(jié)中主要在平面對稱光柵系統(tǒng)波像差理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算表達(dá)式[9]。在第2 節(jié)中，給出多元件光學(xué)系統(tǒng)的波像差以及系統(tǒng)的光線像差的計算表達(dá)式。最后一節(jié)中，將潘君驊院士與作者在橢球鏡面形誤差檢測中的檢測方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M，利用擴(kuò)展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差表達(dá)式對橢球鏡面形誤差檢測光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行成像計算，并與Zemax 軟件光線追跡結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證將該像差理論應(yīng)用于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)成像分析的正確性。

在合肥同步輻射光源一期工程中，潘君驊院士與呂麗軍教授對光束線裝置中的橢球面反射鏡進(jìn)行面形誤差檢測，應(yīng)用平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論，對實(shí)際橢球鏡的光學(xué)參數(shù)進(jìn)行計算，通過比較實(shí)際成像光斑與理論計算結(jié)果，判斷橢球鏡面形誤差是否滿足設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。本文在第3 節(jié)中將它作為一個實(shí)例，應(yīng)用平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論來計算光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差，以驗(yàn)證我們理論工作的有效性。

1 光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)波像差

1.1 平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差系數(shù)

圖1 平面對稱反射/折射光學(xué)系統(tǒng)成像示意圖Fig.1 Imaging schematic of plane-symmetric catadioptric optical system

圖1 為平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的反射/折射成像示意圖，圖1（a）和圖1（b）分別表示反射和折射光學(xué)系統(tǒng)。

光學(xué)系統(tǒng)是關(guān)于χOz′平面對稱，O為光學(xué)元件表面的頂點(diǎn)，O0OO1位于對稱平面χOz′內(nèi)，是光學(xué)系統(tǒng)的基準(zhǔn)光線。由光源S0發(fā) 出的光線定義為主光線；xyz表示孔徑光闌坐標(biāo)系，原點(diǎn)為；z′=f(χ,η)為光學(xué)元件在光學(xué)元件表面坐標(biāo)系 χ ηz′下的面形方程；n0和n1分別表示物方和像方空間的折射率；u、u′分別表示物方和像方的視場角； α 和 β分別表示基準(zhǔn)光線O0OO1在各個光學(xué)元件表面的入射角和反射角/折射角，它們是參照z′軸的正方向來定義的，當(dāng)z′軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)到該光線時角度的符號規(guī)定為正，反之為負(fù)。

在平面對稱光柵系統(tǒng)波像差理論中，采用超環(huán)面作為參考波陣面來定義波像差，并應(yīng)用光線幾何方程和多項(xiàng)式擬合法求出光線在光學(xué)元件表面和入射波陣面之間的位置坐標(biāo)映射關(guān)系，導(dǎo)出平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差表達(dá)式。

應(yīng)用波像差的方法求解平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差時，需要定義平面對稱光學(xué)元件的面形。平面對稱光學(xué)元件的面形方程一般用下式表示[10-11]：

對于平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的四階波像差，面形方程式（1）需要關(guān)于x、y進(jìn)行泰勒級數(shù)展開至四階，具體表達(dá)式為

式中：ci,j為光學(xué)元件面形系數(shù)，當(dāng)光學(xué)面為二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面時，其面形系數(shù)由文獻(xiàn)[12]的公式（24）給出。

推導(dǎo)出的平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差，由物方光束和像方光束兩部分貢獻(xiàn)，因此波像差可以表示為

將Wobj和Wima展開為關(guān)于x、y、u的四階泰勒級數(shù)，可得到：

式中：Mi jk=Mijk(α,rm,rs,l)表示物方空間的波像差系數(shù)，由文獻(xiàn)[8]中的附錄A 給出。像方空間的波像差系數(shù)只要對物方空間相關(guān)參量進(jìn)行替換，就可以得到分別表示光學(xué)元件在物方和像方空間內(nèi)的子午焦距和弧矢焦距，l和l′分別表示物方和像方空間內(nèi)的光瞳位置參量[13]。

折射情況和反射情況下的光學(xué)系統(tǒng)具有相似的光線幾何特征，只是像方空間的折射率以及入射角的規(guī)定不同。在光束斜入射的折射情況下的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)中，入射光線關(guān)于z′軸正方向的方向角應(yīng)該為α+180°，如圖1（b）所示。所以在這種情況下的波像差計算中，只需要在文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)出的反射光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算表達(dá)式的基礎(chǔ)上，將其中的參量 α用α+180°來替換，并且需要考慮光學(xué)元件,物方空間的折射率n0和像方空間的折射率n1。因此，對于反射和折射光學(xué)面，波像差計算的統(tǒng)一表達(dá)式為

當(dāng)n0=n1=1時，上式表示為反射光學(xué)面的波像差，否則代表折射光學(xué)面。

將u′=?(n0/n1)≡n0/1u代入（6）式，可得到波像差W的四階泰勒級數(shù)形式：

式中Wijk為波像差系數(shù)。它的具體表達(dá)式為

其中，

1.2 光學(xué)系統(tǒng)的四階波像差理論

在波像差的求解過程中，需要知道光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)。對于軸對稱光學(xué)系統(tǒng)，一般基于高斯光學(xué)定義光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)。類似地，對于平面對稱光學(xué)系統(tǒng)，準(zhǔn)基像差理論應(yīng)用一二階波像差系數(shù)定義光學(xué)系統(tǒng)像差的參考“基準(zhǔn)”。首先，通過W100=0來定義光學(xué)系統(tǒng)的基準(zhǔn)光線，得到反射或折射光學(xué)面的Snell 定律：

其次，通過應(yīng)用W200=0和W020=0來分別確定光學(xué)元件在子午和弧矢平面內(nèi)的焦平面位置：

另外，應(yīng)用W011=0來確定主光線的位置（也就是孔徑光闌位置）：

根據(jù)（12）式和（13）式可以得到物方空間與像方空間內(nèi)的孔徑光闌位置之間的關(guān)系為

因此，對于準(zhǔn)基像差理論，即在滿足（10）式～（13）式的條件下，決定光學(xué)系統(tǒng)的四階單色波像差項(xiàng)為

2 折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差

2.1 光線像差

文獻(xiàn)[8]介紹了在平面對稱光柵系統(tǒng)中如何利用波像差系數(shù)求解像平面上的光線像差。對于折射光學(xué)系統(tǒng)來說，求解方法相同，但是在求解子午和弧矢方向上實(shí)際光線與參考出射波陣面的法線之間的角度偏移量時，需要考慮像方的空間折射率。因此有：

式中：n1為光學(xué)面的像方空間折射率；是實(shí)際出射波陣面上光線的位置坐標(biāo)。

一個光學(xué)面的三階光線像差計算公式為

式中di jk和hi jk為 光線像差系數(shù)，具體公式由文獻(xiàn)[8]中附錄B 給出。

2.2 多元件光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算

對于g個光學(xué)面的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)總的波像差是各光學(xué)面產(chǎn)生的波像差之和[14]。因此，在孔徑光線傳遞為線性近似的條件下，光學(xué)系統(tǒng)總的波像差表達(dá)式為

式中：Wijk(m)和是第m個 成像面和系統(tǒng)總的波像差系數(shù)。傳遞系數(shù)Am|g、Bm|g由 下式給出：

在計算像差系數(shù)的公式中，用wijk代 替其他相關(guān)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)為最后光學(xué)面像方空間的參數(shù)。

3 像差理論應(yīng)用實(shí)例

綜上所述，經(jīng)擴(kuò)展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論的像差表達(dá)式既適用于折射系統(tǒng)，也適用于反射系統(tǒng)。在像差的計算上，擴(kuò)展后的表達(dá)式使兩者保持了統(tǒng)一，僅需注意在計算折射系統(tǒng)時引入物像方的折射率作為計算參數(shù)即可。擴(kuò)展后的像差理論表達(dá)式可以直接應(yīng)用于折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差計算，且光學(xué)系統(tǒng)元件的表面可以是多種二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面。為了驗(yàn)證平面對稱像差理論適用于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，將其應(yīng)用于橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)的成像計算，并與Zemax 軟件[15]的光線追跡結(jié)果進(jìn)行比較。

橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)光路示意圖如圖2所示，它是由一塊橢球面反射鏡OE1 與一塊球面透鏡OE2 組成（OE2 的作用主要是縮短光路長度）。假定激光光纖光源和像平面位置分別在S和S′處 ， α、 β分別表示光束打在橢球鏡上的入射角與反射角。

圖2 橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

橢球鏡面形檢測光路系統(tǒng)的相關(guān)光學(xué)參數(shù)由表1 給出，顯然n0=n1=n3=1。

表1 橢球鏡面形檢測系統(tǒng)的光學(xué)參數(shù)Table 1 Optical parameters of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

下面將分別計算孔徑光闌直徑為7 mm 時，光束打在橢球鏡面上的入射角分別為 0°、 40°、80°情況下D 光（工作波長為587.56 nm）的像差分布，并且假定激光光纖光源與橢球鏡的距離為100 mm。

應(yīng)用本文討論的擴(kuò)展后的像差理論以及光線追跡軟件Zemax 分別計算該光學(xué)系統(tǒng)在像平面上的光線點(diǎn)列圖，計算結(jié)果如圖3 所示。圖3 中最右邊 α表示光束打在橢球鏡上的入射角，圖3（a）是應(yīng)用光線追跡軟件Zemax 得到的光線點(diǎn)列圖，圖3（b）為應(yīng)用本文擴(kuò)展的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論計算的像差分布圖。由圖3 可知，在不同斜入射角度情況下，無論是像差分布尺寸，還是點(diǎn)列圖的形狀特征，兩種方法的計算結(jié)果都吻合得很好。

圖3 橢球鏡面形檢測系統(tǒng)的光線點(diǎn)列圖Fig.3 Ray of light spot diagrams of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

4 結(jié)論

本文討論了基于平面對稱反射光柵系統(tǒng)的像差理論，將其擴(kuò)展為適用于光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)的像差分析，使得該像差理論可以對光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行像差分析計算。然后，應(yīng)用擴(kuò)展的像差理論對橢球鏡面形檢測的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行像差計算，并與光線追跡軟件Zemax 模擬結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明：即使在大角度斜入射（甚至掠入射）的情況下，擴(kuò)展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論對此類光學(xué)系統(tǒng)的計算依然具有令人滿意的計算精度。為光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差分析及優(yōu)化設(shè)計提供了一種強(qiáng)有力的分析手段。