袁屹杰，紀 明，張衛(wèi)國，伊興國，王 毅，施道云

（西安應用光學研究所，陜西 西安 710065）

引言

隨著光電傳感器性能的逐漸提升，對平臺隔振的需求也越來越嚴格[1]。傳統(tǒng)線性隔振器僅能有效隔離頻率大于倍自身諧振頻率的擾動，在一些擾動頻率較低的應用中，為了滿足隔振需求，隔振器剛度需要降低至容易導致失穩(wěn)的水平。而HSLDS 隔振器[2]則較好地解決了上述問題，在維持一定靜剛度的前提下，通過非線性調節(jié)，可以降低動態(tài)剛度，甚至達到“準零剛度”（QZS）狀態(tài)[3]，具備良好的應用前景，已成為行業(yè)的研究熱點。

目前，HSLDS 隔振器的多數研究聚焦于負剛度機構理論研究層面，提出了多種負剛度機構形式[4-11]，對負剛度機構的幾何參數、彈性器件參數進行了充分分析。部分研究涉及了非線性隔振下摩擦力直接作用于負載的特性[12-13]以及幾何非線性摩擦力對隔振的影響[14]，但鮮有研究分析負剛度機構的質量及內部摩擦力對隔振的影響。在一些應用中，如采用連桿形式的負剛度機構（特別是多層連桿結構[10]），內部運動環(huán)節(jié)較多，摩擦力因素影響較大，并且隔振過程中，負剛度機構也關聯地運動，自身質量的影響難以忽視，否則將導致理論分析與實際存在較大差異，不利于指導實踐。

針對上述問題，本文以一種具有較靈活剛度非線性調節(jié)能力的菱形連桿負剛度機構HSLDS 隔振器（簡稱菱形HSLDS 隔振器）為目標，采用虛功法建立負剛度機構等效摩擦力數學模型，構建隔振器拉格朗日方程，并采用諧波平衡法[15]求解，分析負剛度機構的質量及摩擦力因素對隔振的影響。

1 隔振器建模

菱形HSLDS 隔振器如圖1 所示，由圓周均布的4 組菱形負剛度機構與包含4 個主隔振器的傳統(tǒng)隔振平臺并聯構成。菱形連桿機構的拉簧處于拉伸狀態(tài)時，菱形連桿機構產生負剛度效應。

圖1 菱形HSLDS 隔振器Fig.1 Rhombic HSLDS vibration isolator

1.1 摩擦力建模

為便于分析，本文僅考慮動庫倫摩擦，忽略粘滯摩擦影響，同時僅考慮由拉簧產生正壓力導致的鉸接副摩擦力，忽略鉸接副由端面及徑向扭轉導致的摩擦力，并假定摩擦系數不受外力影響，且A、C處鉸接軸不存在繞其軸線的轉動，B、D處鉸接軸相對于BD連線不存在轉動，如圖2 所示。當4 組負剛度機構共同作用時，依據虛功定理存在以下關系：

式中：M1、M2為摩擦力矩；F為負剛度機構在振動方向的等效摩擦力；h＞0，即圖2 所示狀態(tài)，在（1）式取上端符號，反之取下端符號。依據設定有：M1=f1μr、M2=f2μr，其中f1、f2為連桿壓力， μ為接觸面摩擦系數，r為鉸接軸半徑。根據幾何關系：

（1）式可化為

依據幾何及受力關系，由（2）式可推導出：

式中f為負剛度機構拉簧的彈性力，且又有：

圖2 菱形負剛度機構分析圖示Fig.2 Schematic diagram of rhombic negative stiffness mechanism

聯立（3）式～（5）式，令f=k2Δ，可得：

式中：k2為拉簧剛度；

式中dki為菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置（即圖2中h=0）時負剛度機構拉簧的預拉伸量。

利用ADAMS 虛擬樣機對等效摩擦力模型進行驗證，如圖3 所示，仿真數據與計算數據吻合得較好，表明模型是正確的。

圖3 負剛度機構等效摩擦力驗證Fig.3 Verification of equivalent friction of negative stiffness mechanism

1.2 動力學方程建模

隔振裝置中運動部件質量主要分為有效載荷m1以及負剛度機構質量m2兩部分。為簡化分析，將負剛度機構視為集中質量。考慮到拉簧組件及其配合的鉸接軸是負剛度機構質量的主要構成部分，可將質心設定在圖2 中中點位置處。

依據拉格朗日方程有：

式中L=T?V，其中

（9）式中xi為施加至振動基座的擾動位移，（10）式中k1與（11）式中C分別為主隔振器的剛度和與阻尼系數和。

將（9）式～（11）式代入（8）式中，得：

式中相關因子及其泰勒級數簡化見（13）式～（18）式，泰勒級數取至第3 階。

泰勒級數中符號的含義為：X0=X|h=0，X1=依此類推。

由（7）式、（16）式～（18）式可知，負剛度拉簧的預拉伸量dki與負剛度機構等效摩擦力及隔振器等效剛度參數存在密切關系。為使分析更為直觀，引入零位剛度概念，即：

式中α=k2/k1。

1.3 動力學分析方法

本文以絕對位移傳遞率作為隔振性能評價參數，采用諧波平衡法求解動力學方程。令輸入絕對位移為輸出相對位移分別為cos(ωt+φ)。

使用傅里葉展開對符號函數sgn(h)及sgn(h′)進行簡化[14]：

式中：

動力學方程存在以下幅頻關系：

則隔振裝置的絕對位移傳遞率為

2 參數分析

首先，設定如表1 所示的一般性參數。

表1 分析參數Table 1 Analysis parameters

2.1 摩擦力特性分析

聯立（6）式、（7）式和（20）式，等效摩擦力分析數據如圖4 所示。由圖4 可知，在隔振運動過程中，等效摩擦力變化幅度較小，在限定及摩擦系數的條件下（后續(xù)分析均基于此限定），負剛度機構的幾何參數決定了鉸接副的受力情況，對等效摩擦力影響較大，即基準尺寸l一定時，桿長a、b與平衡位置處等效摩擦力呈正相關關系，見圖4中序號A、B、C；較長桿較短時，增大兩連桿長度的差值（后簡稱桿長差），平衡位置處等效摩擦力減小，見圖4 中序號B、D；較長桿較長時，隨著桿長差增大，平衡位置處等效摩擦力呈現先減小后增大的趨勢，見圖4 中序號C、E、F。顯然，等效摩擦力受桿長幾何因素的影響，存在2 個臨界值，即由桿長差導致的平衡位置處等效摩擦力變化趨勢開始發(fā)生改變的較長桿桿長臨界值，以及較長桿大于桿長臨界值時，平衡位置處等效摩擦力開始大于連桿等長情況的桿長差臨界值。受篇幅限制，對此本文不展開分析。

圖4 等效摩擦力幾何非線性分析Fig.4 Equivalent friction geometric nonlinear analysis

2.2 隔振性能分析

負剛度機構質量對隔振的影響如圖5 所示。由圖5 可看出，隨著 β增加，即負剛度機構質量增加，將導致諧振點頻率降低，位移傳遞率增加，同時還會提升高頻段的位移傳遞率，如圖5 中曲線A、B。

圖5 菱形負剛度機構質量影響分析Fig.5 Analysis of mass effect on rhombic negative stiffness mechanism

此外，當負剛度機構連桿不等長，且與載荷平臺鉸接的連桿較短，即負剛度機構的質心偏向載荷平臺一側時，在較高頻段的位移傳遞率低于質心偏向振動基座一側的情況，如圖5 中曲線B、D。

負剛度機構摩擦力對隔振性能的影響與阻尼類似，減小低頻段位移傳遞率，增大高頻段位移傳遞率，如圖6 中B1、B2。菱形HSLDS 隔振器可以通過增加負剛度連桿機構的桿長或桿長差方式，對剛度非線性進行設置，實現隔振優(yōu)化，如圖6 中A1、B1、C1。當摩擦力因素不可忽視時，增加桿長將增大等效摩擦力，在優(yōu)化低頻隔振性能的同時，導致高頻隔振性能下降，如圖6 中A2、B2；利用桿長差方式進行調節(jié)且同時滿足剛度非線性優(yōu)化與降低摩擦力條件時，增加桿長差可降低諧振點頻率，改善較低頻段隔振性能的同時，減小摩擦力對高頻隔振的不利影響，如圖4 中B、D 與圖6 中B2、C2。

圖6 菱形負剛度機構摩擦力影響分析Fig.6 Analysis of friction effect on rhombic negative stiffness mechanism

3 實驗驗證

3.1 實驗分析方法

受實驗條件限制，選用兩組規(guī)格的負剛度機構，分別對負剛度機構質量因素以及摩擦力因素進行實物測試，通過與計算結果對比，驗證建模的準確性，并以此保證分析結果的合理性。

測試中，組Ⅰ負剛度機構桿長分別為60.3 mm、49.2 mm；組Ⅱ負剛度機構桿長分別為52.4 mm、48.2 mm。所有鉸接副采用柔性軸套與鋼軸配合方式。第1 組實驗：在潤滑條件下，通過對調組Ⅰ負剛度機構與振動基座及載荷平臺的連接關系，分析負剛度機構質心位置對隔振性能的影響；第2 組實驗：通過改變組Ⅱ負剛度機構鉸接副接觸面的潤滑狀態(tài)，分析負剛度機構內部摩擦力對隔振的影響。為確保計算符合實際，計算中的主要物理數據通過實測方法獲得。

3.2 實驗數據

采用圖7 所示摩擦力矩測試環(huán)境，對不同受力情況下有、無油脂潤滑的鉸接副接觸摩擦力矩進行測試，得到圖8 所示的摩擦系數曲線，其中AS1、AS2 分別對應2 個柔性軸套樣本。

通過測量，得到菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置時，組Ⅰ、Ⅱ負剛度機構拉簧的拉力分別為789 N、1029 N。通過受力分解，計算得出此時負剛度機構連桿的受力f1、f2，如表2 所示。由于連桿分力的差值不大，根據圖8 摩擦系數變化趨勢，可假定各組計算中摩擦系數是固定的，摩擦系數取值見表2。其他參數依據測試環(huán)境?。簃=12 kg，l=70 mm，輸入擾動加速度幅值G=1.4 g，并設定ξ=0.075。依據表2 中數據，通過動力學解算得到圖9 所示傳遞率計算曲線，對應實物測試傳遞率曲線如圖10 所示。圖9 和圖10 中，序號0 皆為主隔振器隔振傳遞率曲線，且序號1～4 曲線分別與表2中序號1～4 數據相對應。計算與實測曲線的諧振點參數如表3 所示。其中序號0 諧振峰值的計算傳遞率與實驗傳遞率基本一致，表明主隔振器的計算阻尼與實際是相符的，在此基礎上序號1～4 的計算與實驗諧振峰值數據吻合得較好。在較高頻部分，對比不考慮負剛度機構自身因素的計算數據，本文提出的計算模型大幅提高了傳遞率的準確度，與實驗數據具有較高的相符性，如表4所示。同時還可觀察到，序號1 在較高頻部分（如30 Hz 與50 Hz）的傳遞率略低于序號2，這與理論分析結果一致；但潤滑狀態(tài)的序號3 在較高頻的傳遞率反高于非潤滑狀態(tài)的序號4，這與邏輯分析結果相悖，分析其原因與采用的潤滑方式有關。在較高頻段，轉動副的相對轉動位移量較小，受潤滑脂的粘滯效應影響導致實際摩擦系數增大，因而產生與理論分析結果不符的現象。

圖7 摩擦力矩測試環(huán)境Fig.7 Friction torque testing environment

圖8 柔性軸套-鋼軸摩擦系數圖Fig.8 Friction coefficient diagram of flexible sleeve-steel shaft

表2 負剛度機構實驗參數Table 2 Experimental parameters of negative stiffness mechanism

圖9 隔振傳遞率計算曲線Fig.9 Calculation curves of vibration isolation transmissibility

圖10 隔振傳遞率實驗曲線Fig.10 Experimental curve of vibration isolation transmissibility

表3 諧振點參數Table 3 Resonance point parameters

表4 較高頻率段參數Table 4 Parameters of higher frequency band

4 結論

針對菱形HSLDS 隔振器，對負剛度機構的等效摩擦力進行建模，將負剛度機構的質量、摩擦力因素納入動力學方程，并通過實物測試驗證了上述數學模型的準確性。得出以下結論：

1） 增加負剛度機構質量對低頻段隔振的影響與增加有效負載情況類似，同時會惡化高頻段隔振性能，在隔振器設計中應盡量減小負剛度機構的質量；當負剛度機構質量一定且連桿不等長時，可將較短連桿的一側、即質心偏向側，鉸接于載荷平臺，以減小負剛度機構質量對高頻段隔振性能的影響。

2） 負剛度機構鉸接副摩擦力對隔振的影響與阻尼類似，應盡量減小負剛度機構鉸接副摩擦力。當摩擦系數難以充分降低時，在隔振剛度要求一定且摩擦系數受外力影響較小的情況下，可以利用桿長差對剛度及摩擦力的優(yōu)化特性，實現寬頻段隔振優(yōu)化。