安徽 邵 永 王法遠(yuǎn)

在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中雖然對極值問題沒有明確說明，但高考試題中卻頻繁出現(xiàn)，且難度較大，這類問題是指在物體運(yùn)動(dòng)的過程中，隨著條件連續(xù)漸變越過臨界位置時(shí)或條件連續(xù)漸變達(dá)到臨界值時(shí)，會(huì)使得某物理量達(dá)到最大或最小的現(xiàn)象，所以這類問題與臨界問題是兩類問題，但往往又互為條件。在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析此類問題時(shí)方法單一并且易混淆臨界問題與極值問題，缺少必要的分析和討論，因而失分較多。下面通過對極值問題的一題多解和數(shù)學(xué)極值與物理臨界對極值問題的影響分析，突出數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性，提高學(xué)生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力。

一、極值問題的一題多解

【例1】如圖1所示，在粗糙水平臺階上靜止放置一質(zhì)量m=0.5 kg的小物塊，它與水平臺階表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，且與臺階邊緣O點(diǎn)的距離s=5 m。在臺階右側(cè)固定了一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓弧形擋板，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，擋板上邊緣P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1.6 m，0.8 m)?，F(xiàn)用FT=5 N的水平恒力拉動(dòng)小物塊，一段時(shí)間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板(g=10 m/s2)。

圖1

(1)若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點(diǎn)，求拉力F作用的距離；

(2)改變拉力F作用的時(shí)間，小物塊可擊中擋板的不同位置，求小物塊擊中擋板時(shí)動(dòng)能的最小值(結(jié)果可保留根式)。

(2)解法一 不等式法

解法二 Δ判別式法

解法三 不等式法

解法四 配方法

【點(diǎn)撥】物理中的極值問題往往出現(xiàn)“恰好”“最大”“至少”等詞語，且有一定的變化條件，在變化的過程中使得某些物理量達(dá)到最大或最小，具有情景隱蔽、過程復(fù)雜的特點(diǎn)。分析此類問題需要構(gòu)建模型，用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程，得到所求物理量的數(shù)學(xué)解析式，進(jìn)而進(jìn)行分析討論。從上面的分析可以看出，在利用數(shù)學(xué)知識求解時(shí)，設(shè)的物理量不同、消去的量不同，討論的方法就不同，討論時(shí)的繁簡程度也就不同，掌握多種分析方法有利于優(yōu)化討論過程，提高得分率。常用的方法有不等式法、Δ判別式法、配方法、三角函數(shù)法、求導(dǎo)法等。

二、數(shù)學(xué)極值問題

【例2】如圖2所示，質(zhì)量為M=1.92 m的支架(包含底座)上有一水平細(xì)軸，軸上套著一根長為L的剛性輕質(zhì)細(xì)線，繩的另一端拴一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。使小球在豎直面內(nèi)繞細(xì)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)過程中支架始終不會(huì)離開地面，忽略一切阻力，重力加速度為g。求在最低點(diǎn)小球允許獲得的最大速度。

圖2

三、物理臨界問題

圖3

【解析】設(shè)當(dāng)小環(huán)與大圓環(huán)圓心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，小環(huán)與大圓環(huán)間的彈力是FN，要使大圓環(huán)有豎直上升的趨勢，則小環(huán)對大圓環(huán)的彈力必須背離圓心(即斜向上)，從而大圓環(huán)對小環(huán)的彈力必須指向圓心。

對每個(gè)小環(huán)分析可知

解得FN=mg(2-3cosθ) ①

對大圓環(huán)2FNcosθ=Mg②

聯(lián)立①②得2mg(2-3cosθ)cosθ=Mg③

整理得6mcos2θ-4mcosθ+M=0

【小結(jié)】極值問題一般都具有情景復(fù)雜、條件隱蔽的特點(diǎn)。分析此類問題不僅需要很強(qiáng)的建模能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，還應(yīng)該注意是否發(fā)生質(zhì)的變化以及是否能滿足極值所對應(yīng)的條件，此類問題能很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性，提高學(xué)生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力。