云南 蔣金團

帶電粒子在靜電場中的運動是高考必考題型，帶電粒子在電場中的三線問題、電場中的能量轉化、電場中的加速與偏轉等內(nèi)容是高考命題的熱點。本文從能量的角度，對電場中的功能關系問題進行歸類探析。

一、非勻強電場中的功能關系

1.電勢高低的判斷

角度方法電場線方向沿電場線方向電勢逐漸降低場源電荷的正負取無窮遠處電勢為零,正電荷周圍電勢為正值,負電荷周圍電勢為負值;靠近正電荷處電勢高,靠近負電荷處電勢低電場力做功根據(jù)UAB=WABq=φA-φB,將WAB、q的正負號代入,由UAB的正負判斷φA、φB的高低電勢能的大小正電荷在電勢能大的位置電勢高,負電荷在電勢能大的位置電勢低

2.電勢能大小的判斷

方法內(nèi)容公式法將電荷量、電勢連同正負號一起代入公式Ep=qφ,正Ep的絕對值越大,電勢能越大;負Ep的絕對值越大,電勢能越小電勢法正電荷在電勢高的位置電勢能大負電荷在電勢低的位置電勢能大做功法電場力做正功,電勢能減小電場力做負功,電勢能增大能量守恒法在電場中,若只有電場力做功時,電荷的動能和電勢能相互轉化,動能增大,電勢能減小,反之,動能減小,電勢能增大

【例1】如圖1所示，一帶電粒子僅在電場力的作用下做曲線運動，虛線表示其運動軌跡，實線表示電場線，下列說法正確的是

( )

A.粒子帶正電

B.粒子在B點受到的電場力大于在C點受到的電場力

C.粒子在B點時電勢能最大

D.粒子從A點運動到C點的過程中動能先增大后減小

圖1

【選項分析】帶電粒子的運動軌跡向左下彎曲，則帶電粒子所受的電場力沿電場線切線向左下方，帶電粒子帶負電，A選項錯誤；電場線的疏密程度表示電場強度大小，由圖1可知B點的電場強度大于C點的場強，所以粒子在B點受到的電場力大于在C點受到的電場力，B選項正確；由沿著電場線方向電勢逐漸降低，可知B點的電勢最低，再根據(jù)負電荷在電勢低的位置電勢能大可知，粒子在B點時電勢能最大，C選項正確；已知帶電粒子僅受電場力，由能量守恒定律可知，動能和電勢能之和保持不變，粒子在B點時電勢能最大，動能最小，因此，粒子從A點運動到C點的過程中動能先減小后增大，D選項錯誤。

【歸納總結】電場線與運動軌跡的綜合問題，可按如下的步驟解答：(1)根據(jù)合力總是指向軌跡的凹側判斷出電場力的方向，本題中的軌跡向左下彎曲，所以電場力的方向沿電場線切線指向左下方；(2)根據(jù)電場強度方向和電場力方向是否相同判斷粒子的帶電性質(zhì)，若方向相同則粒子帶正電，若方向相反則粒子帶負電，口訣為“正同負反”，本題中電場線的方向指向右上方，而電場力的方向指向左下方，電場力的方向與電場強度的方向相反，所以粒子帶負電；(3)在電場線與軌跡線的交點處，通過作切線的方式畫出電場力的方向和速度的方向，根據(jù)兩個方向間的夾角判斷出電場力做功情況，若夾角為銳角則電場力做正功，若夾角為鈍角則電場力做負功，本題中假設帶電粒子從A點運動到C點，運動軌跡在A點的切線指向右上方(即A點速度方向指向右上方)，而A點電場力方向沿電場線在A點的切線指向左下方，此時電場力方向與速度方向之間的夾角為鈍角，電場力做負功，同理可知，在B點電場力方向垂直速度方向，在C點電場力方向與速度方向成銳角，電場力做正功；(4)根據(jù)電場力做功情況判斷出電勢能的變化情況，若電場力做正功則電勢能減小，若電場力做負功則電勢能增加。對于本題而言，帶電粒子從A點運動到B點再運動到C點時，電場力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，即B點電勢能最大；(5)根據(jù)動能定理或能量守恒定律判斷出動能的變化情況，若合力做正功則動能增加，若合力做負功則動能減小。對于本題而言，帶電粒子僅受電場力，動能與電勢能之和保持不變，帶電粒子從A點運動到B點再運動到C點時，電勢能先增大后減小，則動能先減小后增大，即B點動能最小。

【例2】一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖2所示，其中0～x2段是關于直線x=x1對稱的拋物線，x2～x3段是直線，下列說法正確的是

( )

圖2

A.粒子經(jīng)過x1處時，其受到的電場力為零

B.粒子在0～x2段做勻變速運動

C.在0、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ3<φ2=φ0<φ1

D.在x2～x3段，粒子的加速度保持不變

二、點電荷電場中的功能關系

【例3】(2019年全國卷Ⅲ第21題)如圖3所示，在正方體的兩個頂點上分別固定電荷量為q和-q(q>0)的點電荷，關于正方體另外兩個頂點a、b處的電場強度和電勢，下列說法正確的是

( )

圖3

A.a點的電勢大于b點的電勢

B.a、b兩點的電場強度大小相等，方向相同

C.a、b兩點的電場強度大小相等，方向不同

D.將負電荷從a點移到b點，電勢能增加

【選項分析】如圖4所示，取無窮遠處為電勢零點，b點更加靠近正電荷，φb為正值，a點更加靠近負電荷，φa為負值，A選項錯誤；

圖4

( )

圖5

B.b、d兩點電勢和電場強度都相同

C.四個點中c點電勢最高

D.將一個試探電荷+q沿圓周由a點移至c點，+q的電勢能減小

三、勻強電場中的功能關系

1.帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動時，通常用動能定理尋找相應的功能關系；

2.帶電粒子在勻強電場中偏轉時，通常用“運動合成與分解”的方法結合動能定理分析帶電粒子的運動情況和能量轉化情況。

【例5】(2018年全國卷Ⅱ第21題)如圖6所示，a、b、c、d、M、N是勻強電場中的六個點，勻強電場方向與此六點所在的平面平行，M、N分別為ac連線和bd連線的中點。將一電荷量為q的帶正電的粒子從a點移動到b點，其電勢能減小W1；將該粒子從c點移動到d點，其電勢能減小W2。已知c、d之間的距離為L，下列說法正確的是

( )

A.勻強電場的場強方向一定與ab連線平行

D.若W1=W2，則a、M兩點之間的電勢差一定等于b、N兩點之間的電勢差

圖6

【例6】(2020年全國卷Ⅰ第25題)如圖7所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強電場，勻強電場的方向與圓形區(qū)域所在平面平行，現(xiàn)將質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子從圓周上的A點以不同的速率射入電場，入射速度方向均與電場方向垂直，已知粒子的入射速度為零時，粒子將從圓周上的C點以速率v0穿出勻強電場，弦AC與直徑AB間的夾角θ=60°，粒子僅受電場力作用。求：

圖7

(1)電場強度的大??；

(2)為使粒子穿過電場后的動能增加量最大，該粒子進入電場時的速率為多大？

(3)為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進入電場時的速率為多大？

圖8

【點評】(1)要善于把電學問題轉化為力學問題，建立帶電粒子在電場中加速和偏轉的模型，能夠從帶電粒子的受力與運動的關系及功能關系兩條途徑進行分析與研究。對于本題，當帶電粒子從A點由靜止釋放時，粒子在恒定電場力作用下做勻加速直線運動，因為此時粒子從C點射出，這說明AC連線為此時的運動軌跡，同時說明電場力的方向從A點指向C點，對于勻變速直線運動問題，只要用動能定理或牛頓第二定律結合運動學公式便可求解。當帶電粒子從A點以一定的初速度垂直電場射入時，帶電粒子在電場中做類平拋運動，此時采用正交分解法處理，把類平拋運動分解成沿著初速度方向的勻速直線運動和沿著電場力方向的勻加速直線運動，分別列出每個分運動的速度公式、位移公式和加速度公式(用牛頓第二定律求加速度)，最后再結合幾何關系便能求出相應的未知量；(2)第二問中的臨界條件可以采用三角形定則來尋找，粒子的末位置為圓上的某點B，把初位置A和末位置B連起得到合位移，把合位移正交分解成沿著電場力的分位移和垂直電場力的分位移，再把垂直電場力的分位移沿著電場力方向平移，該分位移和圓相切時，電場力做功最大。