郭建芬

[摘要] 運(yùn)算律是數(shù)學(xué)運(yùn)算的主要性質(zhì)，反映了運(yùn)算的規(guī)律性。學(xué)習(xí)運(yùn)算律不僅是為了計(jì)算簡便，更為重要的是發(fā)展學(xué)生對數(shù)與運(yùn)算意義的理解。通過呈現(xiàn)“乘法分配律”磨課歷程與思考，體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算律教學(xué)應(yīng)厘清運(yùn)算本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)思路。

[關(guān)鍵詞] 知識本質(zhì);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);乘法分配律

“乘法分配律”是蘇教版義務(wù)教育教科書四年級下冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)時(shí)不僅要重視結(jié)論的歸納，拉長探究過程，凸顯兒童立場，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生多角度感悟其中的思維邏輯和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的切實(shí)提升。

一、首次教學(xué)——顯露缺憾? 陷入尷尬

片段一 創(chuàng)設(shè)情境，初步感知

師：（出示班級領(lǐng)取籃球的情境圖）從中你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：四年級有6個(gè)班，五年級有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)5個(gè)籃球。

師：根據(jù)這些條件你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生1：四年級和五年級一共領(lǐng)多少個(gè)籃球？

生2：四年級比五年級多領(lǐng)多少個(gè)籃球？

生3：五年級比四年級少領(lǐng)多少個(gè)籃球？

（教師引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式解決問題）

算法一：（6+4）×5=10×5=50（個(gè)）

算法二：6×5+4×5=30+20=50（個(gè)）

生4：6×5表示四年級6個(gè)班一共領(lǐng)多少個(gè)籃球，4×5表示五年級4個(gè)班領(lǐng)多少個(gè)籃球。

生5：（6+4）表示兩個(gè)年級一共有10個(gè)班，再乘5就表示四、五年級一共領(lǐng)多少個(gè)籃球。

師：（呈現(xiàn)籃球圖）仔細(xì)觀察這兩種方法你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：他們兩個(gè)算式中都有一個(gè)5，結(jié)果相等。

生2：每個(gè)班都領(lǐng)5個(gè)籃球，既可以兩個(gè)年級合起來算，也可以兩個(gè)年級分開來算。兩種方法的結(jié)果相等。

師：兩個(gè)不同的式子，結(jié)果卻相等，你知道其中的道理嗎？

生1：左邊是兩個(gè)年級合起來算，右邊是兩個(gè)年級分開來算，結(jié)果都是50。

師：你能從乘法的意義角度去解釋嗎？

生2：6×5表示6個(gè)5是多少，4×5表示4個(gè)5是多少，合起來就是10個(gè)5。所以結(jié)果相等。

師：還有同學(xué)想說說其他的解釋嗎？（學(xué)生沉默）

思考：運(yùn)算律是伴隨數(shù)學(xué)運(yùn)算的自然存在。教學(xué)中創(chuàng)設(shè)具體生活情境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題，分析兩種方法的解題思路，在解決問題的過程中通過觀察比較，結(jié)合具體的數(shù)量關(guān)系初步發(fā)現(xiàn)兩種方法結(jié)果相等。當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生解釋左右兩邊式子結(jié)果為何相等時(shí)，很少有學(xué)生能夠脫離情境，從乘法的意義等角度進(jìn)行表述，結(jié)果就是方法比較單一，學(xué)生思維受限。

片段二 探究規(guī)律，深入理解

師：（6+4）×5=6×5+4×5，兩種解法運(yùn)算順序不同，但卻得出了一樣的結(jié)果，會不會是巧合呢？

生1：再舉幾個(gè)例子。

師：我們借助點(diǎn)子圖來研究。仔細(xì)觀察你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

生2：每排10個(gè)點(diǎn)子，有這樣的8排。每列有8個(gè)點(diǎn)子，有這樣的10列。

師：下面請小組合作討論分法，可以橫著分，也可以豎著分，然后選擇其中的一種分法寫在導(dǎo)學(xué)單上，通過說理或算一算的方法判斷兩個(gè)式子結(jié)果是否相等。

（學(xué)生合作交流后，各組匯報(bào)活動結(jié)果）

生1：1×10+7×10=（1+7）×10

生2：2×10+6×10=（2+6）×10

生3：3×10+5×10=（3+5）×10

生4：4×10+4×10=（4+4）×10

師：等式兩邊的式子結(jié)果為什么相等？

生1：我們是通過計(jì)算的方法判斷的。

生2：點(diǎn)子數(shù)一共就是80個(gè)，所以結(jié)果一定相等。

師：大家還能從別的角度說說嗎？

生3：1個(gè)10加7個(gè)10合起來是8個(gè)10;2個(gè)10加6個(gè)10合起來是8個(gè)10;3個(gè)10加5個(gè)10合起來是8個(gè)10;4個(gè)10加4個(gè)10合起來是8個(gè)10。

師：仔細(xì)觀察你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：不管怎么樣分，左右兩邊合起來都是8個(gè)10。

師：現(xiàn)在沒有點(diǎn)子圖你能獨(dú)立寫出幾個(gè)這樣的式子嗎？然后用自己的方法判斷左右式子兩邊是否相等。

（教師引導(dǎo)學(xué)生寫等式，歸納乘法分配律，并用字母表示這個(gè)運(yùn)算律）

思考：這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師首先讓學(xué)生比較左右兩邊式子的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)特征，關(guān)注結(jié)構(gòu)特征。然而，在利用點(diǎn)子圖進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)卻陷入了窘境：一些學(xué)生能分割點(diǎn)子圖，卻又不能根據(jù)點(diǎn)子圖寫出相應(yīng)的算式;一些學(xué)生糾結(jié)于怎么分割點(diǎn)子圖，卻忽視了對左右兩邊結(jié)果為何相等的解釋;更有一部分學(xué)生不知所措。究其原因，一方面是上述片段學(xué)生說理時(shí)沒有切身體驗(yàn)，理解停留在表面，比較膚淺，同時(shí)在驗(yàn)證環(huán)節(jié)提供了同一幅格點(diǎn)圖，學(xué)生的思維被禁錮，對乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征感知仍然比較模糊，結(jié)論的得出牽強(qiáng)而生硬，教學(xué)陷入尷尬。

總體來看，首次執(zhí)教暴露出諸多缺陷，一是因?yàn)榕R時(shí)借班上課，前面的加法、乘法運(yùn)算律學(xué)生還沒有學(xué)，缺乏對運(yùn)算律的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生似乎一直被拽著走，學(xué)習(xí)的主體性、主動性不夠;二是借助點(diǎn)子圖進(jìn)行舉例驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生過多地把注意力放在“怎么分”上，左右兩邊算式的結(jié)構(gòu)特征得不到凸顯，乘法分配律的模型建構(gòu)與預(yù)設(shè)效果相去甚遠(yuǎn);三是學(xué)生的演繹推理能力等沒能得到歷練和發(fā)展。

二、再次實(shí)踐——無縫對接 水到渠成

針對以上問題進(jìn)行對應(yīng)的調(diào)整：一是學(xué)習(xí)加法、乘法的交換律和結(jié)合律相關(guān)知識，幫助學(xué)生積累相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)方法，同時(shí)課前增設(shè)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，勾連新舊知識，為課堂有效探索和遷移做好鋪墊;二是立足學(xué)生，注重說理，關(guān)注多元表征，增設(shè)讓學(xué)生用自己喜歡的方式去解釋兩邊算式結(jié)果為什么相等這一環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的潛能;三是進(jìn)一步豐富學(xué)習(xí)素材，增加了長方形面積圖，借助幾何直觀，更好地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)特征，為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提供支撐。再次執(zhí)教，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式都做了相應(yīng)的調(diào)整和對接，給足學(xué)生探究的時(shí)間和空間，聚焦知識本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

片段一 激活舊知，產(chǎn)生聯(lián)想

師：（依次出示四張圖片）前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、乘法的運(yùn)算律，看著這些圖你們想到了哪些運(yùn)算律？用字母怎么表示？

思考：通過四幅圖直觀呈現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合，激活學(xué)生對已經(jīng)學(xué)過的加法、乘法運(yùn)算律的相關(guān)認(rèn)知，同時(shí)引發(fā)猜想“在乘法和加法之間是否存在運(yùn)算律”。如此一來，就激發(fā)了學(xué)習(xí)好奇心，引發(fā)學(xué)生探索欲望。

片段二 聚焦本質(zhì)，深入理解

1.注重對比，質(zhì)疑釋疑

師：同一情境，兩個(gè)不同的式子，它們的結(jié)果為什么會相等呢，你能進(jìn)一步說明其中的道理嗎？想一想我們在說理的時(shí)候通常會采用什么方法？

生1：結(jié)合生活實(shí)際講故事。

生2：畫圖。

生3：舉例子。

師：（引導(dǎo)學(xué)生用喜歡的方法去解釋說明）生活中買衣服、桌椅等經(jīng)常會成套購買，用講故事的形式解釋這個(gè)道理，合情合理。

生1：假如買一條褲子需要6元，一件上衣需要4元，買5套這樣的衣服可以分開買也可以合起來買，都是5件上衣和5條褲子的價(jià)格，所以需要的錢是一樣的。

生2：我是用線段圖表示的，上面表示6個(gè)5，下面表示4個(gè)5，一共有10個(gè)5。

生3：我用的是畫圖的方法。豎著看左邊表示6個(gè)5，右邊表示4個(gè)5，合起來就是10個(gè)5。（6+4）×5就表示10個(gè)5，所以結(jié)果相等。

師：（演示點(diǎn)子圖變成方塊圖，最后變成長方形）這幅圖的意思看懂了嗎？你能解釋一下為什么兩個(gè)算式的結(jié)果相等？

生：6×5表示紅色長方形的面積，4×5表示藍(lán)色長方形的面積，加起來是大長方形的面積，6+4的和表示大長方形的長，再乘以寬就是大長方形的面積。

思考：借助生活經(jīng)驗(yàn)和幾何直觀，是小學(xué)階段學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的兩種輔助手段。學(xué)生對于運(yùn)算律的理解不應(yīng)是膚淺的、表面的，而要用他們自己的方式有創(chuàng)造性地表達(dá)對乘法分配律的理解和描述。引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式去解釋或說明道理，就為學(xué)生個(gè)性化思考和表征提供了舞臺。他們或根據(jù)生活實(shí)際講故事，體會它的合情合理，或根據(jù)乘法的意義給出解釋，或根據(jù)長方形面積計(jì)算去說明理由。從不同角度展開推理與聯(lián)想，加深了學(xué)生對乘法分配律的理解，同時(shí)也向演繹推理跨出了可喜的一步。

2.數(shù)形結(jié)合，探索舉證

師：猜想一下其他算式中是否也具有這樣的特征呢？它們的結(jié)果也相等嗎？

生1：有的，我覺得它們的結(jié)果都相等。

師：能這么快下結(jié)論嗎？接下來我們該怎么辦？

生2：為時(shí)過早，我們可以再舉點(diǎn)例子去驗(yàn)證一下。

師：（借助幾何畫板演示）下面我們借助圖形玩一個(gè)“超級變變變”游戲，同桌兩人合作，選擇下面的菜單按鍵變化圖形，一人報(bào)出算式，另一個(gè)人記錄，同桌交流并判斷兩個(gè)算式結(jié)果是否相等。（學(xué)生借助平板電腦，點(diǎn)擊變化圖形，寫出相應(yīng)算式，驗(yàn)證探究）

師：寫出來的兩個(gè)算式結(jié)果都相等嗎？怎么判斷兩個(gè)式子的結(jié)果是否相等？

生：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，左邊的長方形面積加右邊長方形面積都等于大長方形面積。

師：仔細(xì)觀察這些算式，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：每次的數(shù)都在變化，但它們的結(jié)果都相等。

師：想一想結(jié)果為什么會相等呢？

生2：因?yàn)樽筮叺拈L方形面積加右邊長方形面積都等于大長方形面積。

師：誰還能從兩個(gè)算式的聯(lián)系來解釋一下呢？

生3：我發(fā)現(xiàn)右邊的加起來就是左邊括號里的和。

師：你的意思就是幾個(gè)相加合起來就是相乘之積，為你的發(fā)現(xiàn)點(diǎn)贊！現(xiàn)在不看圖，你能獨(dú)立再舉出這樣的幾個(gè)例子嗎？想一想舉例時(shí)注意些什么？

生4：舉的例子要有代表性。

生5：（3+0）×3=3×3+3×0。

師：想象一下這個(gè)例子是怎樣的一幅圖？

生6：只有一個(gè)長方形。

師：那兩邊的計(jì)算結(jié)果相等嗎？

生：（齊）相等。

師：這是一個(gè)特例，但同樣能說明兩邊結(jié)果相等。

生7：我發(fā)現(xiàn)（2×5）×2不等于2×2+5×2。

師：這個(gè)例子有問題嗎？

生8：這個(gè)例子不符合算式的特征，括號里應(yīng)該改成2+5，兩邊就相等了。

師：現(xiàn)在你們覺得還需要再舉例嗎？你找到其中的規(guī)律了嗎？怎么說明這個(gè)規(guī)律？

生9：用字母表示。

……

片段三 串聯(lián)整合，內(nèi)化提升

師：想一想我們以前接觸過乘法分配律嗎？（出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算圖的周長，找出其中蘊(yùn)含的乘法分配律）

師：在計(jì)算中我們曾遇到過乘法分配律，你還想到了哪些運(yùn)算中蘊(yùn)含著乘法分配律？

……

三、磨課思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。[1]教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，同時(shí)通過溝通實(shí)際問題，感知數(shù)學(xué)模型;把握規(guī)律內(nèi)涵，理解數(shù)學(xué)模型;探究結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型;串聯(lián)知識體系，內(nèi)化數(shù)學(xué)模型，層層遞進(jìn)，讓乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)一步清晰，知識本質(zhì)得以凸顯。

1.多元表征，深化知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，必須對教學(xué)內(nèi)容所經(jīng)歷的過程以及使用的方法作一定的闡述。在認(rèn)識抽象的數(shù)學(xué)原理或規(guī)律時(shí)，仍需以具體形象的事物或圖片作為載體，借助幾何直觀來完成向抽象思維的過渡。[2]因此，在學(xué)生結(jié)合具體數(shù)量關(guān)系得出算式兩邊相等后，教師直擊知識本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生深入探尋知識背后的道理。激發(fā)學(xué)生創(chuàng)意，激活數(shù)學(xué)思維，用生活實(shí)例、電子圖、線段圖等輔助手段，用數(shù)、形、事、理相結(jié)合的形式解釋說理，用多元表征解釋乘法分配律。同時(shí)，巧妙引入幾何模型長方形面積圖，構(gòu)建“面積模型”。最后，通過“創(chuàng)意變變變”，超越表面形式的模仿，引領(lǐng)學(xué)生觸及數(shù)學(xué)規(guī)律最核心的內(nèi)在結(jié)構(gòu)——數(shù)形結(jié)合，達(dá)成不同表征系統(tǒng)的相互轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展。

2.有效勾連，內(nèi)化知識本質(zhì)

“要理解事物就要用聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待它”，而“要對知識形成深刻的、真正的理解，意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的，是相互關(guān)聯(lián)的”。[3]學(xué)生認(rèn)識的乘法分配律其實(shí)在以前的學(xué)習(xí)中早已有了孕伏。教師在教學(xué)中和學(xué)生邊回憶、邊解釋、邊聯(lián)想，讓新舊知識得以勾連，知識體系得以建構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解從零碎走向結(jié)構(gòu)化，進(jìn)一步體會乘法分配律應(yīng)用的廣泛性、普遍性，積累活動經(jīng)驗(yàn)，感悟思想方法，內(nèi)化知識本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：46.

[2]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)[M].上海：上海教育出版社，2018：17-19.

[3]李艷.聚焦本質(zhì) 深度理解——“3的倍數(shù)的特征”教學(xué)實(shí)踐與探索[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018，280（22）：71-72.