鄧凱 朱立軍

[關鍵詞]圖論及其應用課程;混合式教學;教學改革

一、圖論及其應用課程的特點

圖論以集合元素間某種二元關系生成的拓撲圖形為研究對象，集合中的元素叫作圖的頂點，兩個頂點之間連邊當且僅當它們具有二元關系。任何一個包含了某種二元關系的系統(tǒng)都可以用圖論的方法來分析，而且它具有形象直觀的特點[1]。許多問題常常難以應用傳統(tǒng)的數(shù)學方法解決，然而簡單的圖論模型卻能直觀地解釋這些問題，并由此給出解決問題的方法或途徑。一個著名的例子就是歐拉1736 年解決的哥尼斯堡七橋問題，該問題也被公認為是圖論學科的起源。社會生產對一門學科的需求程度才是這門學科發(fā)展快慢的決定性因素[2]，由生產管理、交通運輸、通信網絡、計算機科學等方面的需要而提出的一系列問題促進了圖論的發(fā)展。特別是20世紀50年代以來，計算機科學的迅速發(fā)展使得大規(guī)模計算成為可能，圖論學科也隨之蓬勃發(fā)展，其標志性事件就是四色猜想的計算機證明。經過200多年的發(fā)展，圖論已經發(fā)展成為一個理論與應用兼有的數(shù)學領域[3]，在自然科學和社會科學研究中有著廣泛的應用，因此許多大學為數(shù)學和計算機等相關專業(yè)本科生開設了圖論及其應用課程。

圖論是離散數(shù)學的一個分支，它有自己特有的理論和研究方法，是其他數(shù)學分支所不能代替的[1]。圖論及其應用課程中需要學習的概念和結論較多，幾乎每節(jié)課都有新的概念引入，教學內容常常被分成獨立的專題形式，例如樹、平面圖、染色、匹配、歐拉圖與Hamilton圖、網絡流等，這也是圖論“離散”的表現(xiàn)。圖論也是基礎數(shù)學當中很抽象的部分[2]，然而圖論問題都有直觀形象的圖形表示，但是必須用嚴謹?shù)臄?shù)學語言進行表述和推導，其中蘊含了深刻的數(shù)學理論和結果，許多問題都是公開的數(shù)學難題，例如同構圖的判定、四色定理的數(shù)學證明、色數(shù)的確定、Hamilton圖的刻畫等。圖論與實際問題的緊密聯(lián)系使得它的另一個特點是交叉融合應用性強，大量算法的出現(xiàn)是這個特點的集中表現(xiàn)，例如最短路算法、深度優(yōu)先算法、廣度優(yōu)先算法、平面性判別算法、最優(yōu)樹算法、最佳匹配算法、網絡流算法等。這些算法是圖論及其應用課程教學中不可忽視的重要內容，對培養(yǎng)學生的應用能力和創(chuàng)新能力大有好處。

由此可見，圖論及其應用課程具有三個顯著的特點：內容多且離散、表象簡單內里復雜、交叉融合應用性強。

二、圖論及其應用課程的教學現(xiàn)狀

圖論及其應用課程的教學目的是使學生理解和掌握圖論的基本概念和思想，會運用圖論方法分析和解決實際或理論問題，基于課程學習培養(yǎng)一定的實踐和創(chuàng)新能力。筆者在教學實踐中有這樣一些體會，內容多且離散的特點使得圖論課上需要介紹的定義或概念較多，解決問題的辦法和定理的證明方法適用范圍小，不能統(tǒng)一概括，上課時需要不斷引入新概念和解釋新問題，留給學生思考和消化的時間較少，師生互動少。課后不少學生反饋課堂的信息量太大不易接受。傳統(tǒng)的改進方式是要求學生在課下完成一些簡單基礎概念和知識點的學習，課上以啟發(fā)式教學和探究式教學為主引導學生完成課程學習，但是由于學生學習基礎差異大、自主學習能力有限以及缺乏有效監(jiān)督和師生互動少等原因，教學效果不佳。

許多圖論問題源于數(shù)學游戲和實際問題，建立圖論模型后變得直觀易懂，不需要大量的預備知識也能理解，這也是圖論最吸引人的地方。這種表象簡單的特點，有利于引入概念或問題，激發(fā)學生的學習興趣。但是解決一般性的問題往往需要深刻的數(shù)學理論支持，因此要用嚴謹?shù)臄?shù)學語言概括或抽象表述成定義、定理或結論，進行嚴格的推理和證明，用數(shù)學的思維方式教數(shù)學比較適合這部分的教學[4]。然而，相應的課程難度也會增加，例如講解染色時，四色問題作為重要且有趣的引入實例能很好地激發(fā)學生的學習興趣，很多學生躍躍欲試，但是后繼學習中染色問題的困難程度及其獨特的思考方式和證明方法，使得學習難度加大，課堂又變成“老師講，學生聽”的模式。課程內容表象簡單內里復雜的特點容易形成反差，打擊學生的學習積極性，影響教學效果，怎樣解決此類問題是值得思考的。

交叉融合應用性強是圖論學科的重要特點，教學中應該有所體現(xiàn)。僅簡單地介紹交叉應用的大方向，而不深入講解具體內容，給人的感覺是“意猶未盡”，沒有完成教學任務，但是面面俱到地講解應用的各個方面也不可行?，F(xiàn)行的做法是挑選幾個應用專題深入學習，但是講解大都是以實際問題建立圖論模型為基礎的數(shù)學理論學習，而關于其他學科的需求和發(fā)展及其對圖論發(fā)展的影響和推動介紹得較少。例如在匹配問題的教學中，必要的基礎理論學習通常包括Berge 定理、Hall 定理、K?nig定理和Tutte定理，應用方面主要介紹求最大匹配的匈牙利算法、求最佳匹配的KM算法和一般圖上求最大匹配的開花算法等。有關匹配在其他學科中的交叉應用，以及這些學科如何促進圖論的發(fā)展等問題在課堂上沒有體現(xiàn)或僅僅只是泛泛地提及，學生聽完課只知道匹配的應用背景很強，但是不清楚其具體情況，因此感覺很“空洞”。有關圖論算法的講解也多限于理論分析，相關教學常常注重算法正確性的證明和算法復雜性的分析，缺乏應用實踐方面的學習。

綜上所述，“教師+課堂”的傳統(tǒng)教學方式不能有效解決教學實踐中所反映出來的一些問題。下面討論將混合式學習引入圖論及其應用的課程教學中，探索有效的教學方式，以期提升教學質量。

三、基于混合式學習的圖論及其應用課程教學

隨著信息技術的不斷發(fā)展，以“互聯(lián)網+”為基本特征的學習模式使得知識獲取的方式發(fā)生了根本性的變化，教與學不再受時間、地點、人員等條件的限制，教育教學模式正在經歷深刻的變革[5]。大學課程教學改革的中心已經從教學方法的改進轉向教學模式的改變[6]，混合式教學是技術提升教育的必然發(fā)展方向，是有效解決教學難題的最佳選擇[7]。教育過程信息化改革是教育信息化的核心構成，混合式教學成為穩(wěn)步推進教學信息化進程中一個具有現(xiàn)實性和必要性的選擇與過程[8]。何克抗指出，混合式教學就是把傳統(tǒng)學習方式的優(yōu)勢和網絡化學習的優(yōu)勢結合起來，也就是既要發(fā)揮教師引導、啟發(fā)、監(jiān)控教學過程的主導作用，又要充分體現(xiàn)學生作為學習過程的主體的主動性、積極性和創(chuàng)造性[9]。李逢慶認為，混合式教學是在適當?shù)臅r間，通過應用適當?shù)拿襟w技術，提供與適當?shù)膶W習環(huán)境相契合的資源和活動，讓適當?shù)膶W生形成適當?shù)哪芰?，從而取得最?yōu)化教學效果的教學方式[10]。

因此，筆者嘗試將混合式學習引入圖論及其應用課程教學，探索網絡教學與課堂教學有效結合的方式，綜合運用多種教學方法引導學生自主學習，通過多種途徑提高教學質量。

（一）網絡學習

1. 精心準備教學資料，優(yōu)化教學內容

網絡學習的主體是學生，其實施過程是教師依據(jù)教學目標設定學習內容，引導學生開展自主學習。認知科學家的研究表明，主動學習是促進知識由短期記憶轉化為長期記憶的最佳方式[11]。但是，數(shù)學類課程內容并不是全部都適合自主學習[12]，因此要鉆研教學內容，結合學生實際，選擇適合學生自主學習的基礎知識，將教學內容分解成相對獨立的知識點，根據(jù)教學需要制作精簡易懂的短視頻或學習材料。例如學習圖的基本概念時，可以考慮將教學內容分解成三個主要的知識點即圖的定義、度和定理、圖的同構，引導學生圍繞這三個方面展開自主學習。學習資料既要利用圖論形象直觀的特點激發(fā)學生的學習興趣，又要遵循數(shù)學學習的一般規(guī)律注重嚴謹?shù)拿枋龊屯评?。利用視頻資料可視化的優(yōu)點，演示一個畫圖的動態(tài)過程，引起學生的興趣，再展示一些有趣的圖，然后引出圖的嚴格數(shù)學定義。這樣的安排既可以避免用特殊圖示代替嚴格圖定義的學習誤區(qū)，又可以加深學生對由頂點集、邊集和關聯(lián)函數(shù)構成的三元組確定的嚴格的圖定義的理解，從而使學生意識到圖論中的圖僅關注頂點之間的連接關系，對頂點的位置、邊的長短曲直不做要求，為后面學習圖的同構概念做好鋪墊，學生也能感受到知識點之間潛在的聯(lián)系，有利于使學生產生更多的聯(lián)想和思考。

只有在學習者承擔了合適的任務，并知道應該怎么做的時候，有效的學習才會發(fā)生[13]。因此教師要針對學習內容設計難度適當?shù)木毩?。練習不僅可以幫助學生自查學習效果，促進知識的理解和吸收，也可以反映學生的學習情況，為教師后續(xù)的課堂設計提供參考，彌補不足。練習的設計應充分利用圖論的趣味性，吸引學生積極參與練習。例如學習度和定理之后可設計這樣一個問題：在某次宴會上，與奇數(shù)個人握手的人數(shù)必定是偶數(shù)。對初學者來講，理解這樣的問題是有一定難度的，此時可以設計簡單的提示環(huán)節(jié)，引導學生將參加宴會的人抽象成頂點，連邊由握手關系而定，建立圖論模型，再應用度和公式解決問題。由此提出“握手定理”，這種形象的名稱有利于進一步加深學生對度和定理的理解。

針對圖論及其應用課程內容多且離散的特點，通過合理安排網絡學習，利用過程性評價等監(jiān)督方式，引導學生完成基本的定義和概念的學習，認識常用的數(shù)學符號，熟悉基本定理和結論，為后續(xù)的課堂教學打好基礎。

2.利用網絡平臺開展有效的師生互動

利用網絡平臺不受固定時間和地點限制的優(yōu)勢，采取有效的方式鼓勵學生提問或發(fā)表個人見解，通過網絡互動的方式發(fā)揮課堂“面對面”教學模式的優(yōu)勢。通過有效的互動，全面了解學生的學習情況，尊重個體差異，因材施教。利用網絡平臺進行個性化的指導，激發(fā)學生的學習興趣，使學生意識到圖論及其應用課程表象簡單內里復雜的特點，逐步從記定義—證定理—做練習的被動學習模式轉變成發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的主動學習模式。

3. 拓展教學內容范圍，實現(xiàn)深層次學習

傳統(tǒng)的課堂教學難以反映圖論學科動態(tài)發(fā)展的特點，教學內容陳舊跟不上學科的前沿進展，教學大綱設定的專題學習內容較少且多以理論介紹為主，算法應用實踐少，學習層次較淺。網絡學習為拓展教學內容范圍提供了條件，為實現(xiàn)深層次學習提供了資源。拓展教學內容不是簡單把大量學習資料上傳，其目的是豐富學生的知識體系，幫助學生更好地了解圖論的研究背景和發(fā)展狀況，提升學生的學習興趣。在豐富網絡學習資料的基礎上，教師作為教學的主導者，應該引導學生學習與知識點密切相關的學習資料，以便于學生把教學內容與閱讀材料有機地結合起來，提高學生自主學習的積極性，激發(fā)學生閱讀更多文獻資料的興趣。

網絡學習不能僅限于拓展學習內容范圍，不能只是簡單地閱讀資料而停留在淺層次的學習水平。教師可以根據(jù)學生的學習情況進行個性化指導，選擇合適的專業(yè)學習資料推薦給學生，引導學生深入自己感興趣的某個方向繼續(xù)學習，并隨著學習的深入和學習能力的提高，具備自己查閱文獻資料研究科學問題的能力，進而結合畢業(yè)論文、大學生創(chuàng)新項目、參與教師科研項目、算法設計等學習活動，提升學生的創(chuàng)新能力和應用實踐能力，達到培養(yǎng)高素質人才的目的。

（二）課堂教學

1. 將課堂教學與網絡學習有機結合起來，提升教學質量

根據(jù)學生網絡學習情況，教師要設計符合實際的課堂教學環(huán)節(jié)，提前公布課堂教學活動安排和討論主題，讓學生做好充分準備，帶著問題進入課堂。通過網絡學習，學生對課堂教學中涉及的基礎知識已經有所了解，因此課堂教學中可以不展開講這些知識點，但是教學實踐表明學生對一些基礎知識的理解仍然較淺。教師應該根據(jù)自己的教學經驗，進一步強調這些內容，這個過程不是簡單重復網絡學習的內容，而是引導學生加深理解，提升思維的層次，使學生確實意識到自己的不足，激發(fā)學生課堂聽課的興趣和積極性。例如課堂教學要強調圖的數(shù)學定義，因為圖示直觀形象的特點，容易使學生對圖的學習只是限于表面的觀察，而忽略了對圖的數(shù)學定義的思考，導致對圖的拓撲性質缺乏理解。圖論學習中有不少類似的情況，教師要結合自身的教學經驗，將課堂教學和網絡學習有機地結合起來，使學生更好地理解和掌握所學知識。

2. 選講學習的重難點，注重學生專業(yè)思維培養(yǎng)

通過網絡學習，學生已經熟悉了課程學習的基本內容、數(shù)學符號、主要結論和證明。因此在課堂教學中主要強調學習重點，解決學習中的難點，引導學生理解知識以及發(fā)現(xiàn)知識點之間的內在聯(lián)系，勤思考，多總結，以期達到融會貫通的效果。

一些定理的證明是學習的難點也是重點，是培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)新能力的有效途徑。教學實踐表明，數(shù)學證明的自主學習效果往往不佳，因此必須結合學生的學習情況，在課堂教學中選講一些重要的和難學的證明。學生常常直接閱讀定理的證明，忽略發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的環(huán)節(jié)，直接跳到解決問題的環(huán)節(jié)。學生雖然知道了定理證明的具體內容，感覺似乎明白了，但是由于沒有經歷探索和思考的過程，一旦獨自處理問題就會不知所措。教師在課堂教學中要講明白一個定理的來龍去脈，即講清楚該定理是怎么發(fā)現(xiàn)的，有什么實際背景，如何把實際觀察到的規(guī)律抽象表述成定理，深入分析可以應用哪些公理、定義或已知結果進行邏輯推理嚴格證明，最后說明該定理的意義及應用。教師通過這樣的方式，引導學生體會發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的完整的探索過程，從而提升邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。需要注意的是，圖論的一些結論的證明有很強的技巧性，難度大，不易理解，教師要認真梳理證明思路，將問題轉化成有邏輯聯(lián)系的若干小結論，按照一定的證明主線，應用恰當?shù)慕虒W方法逐步進行講解，并板書證明的過程。

3. 高效組織課堂，重視師生交流

課堂組織是教學的一個重要方面，混合教學模式下教師作為教學的主導者，除了要合理安排課堂學習內容，更重要的是要組織引導學生積極主動地參與學習，增強學生自主學習的意識。分組學習是一種簡單有效的課堂組織形式，不僅便于教師組織教學，而且有利于學生之間進行協(xié)作與交流，開展現(xiàn)場教學。例如學到“握手定理”時，可以設計現(xiàn)場實踐活動，請每個學習小組內的學生之間隨意握手，并將握手結果轉化成相應的圖示。因為學生已經知道握手定理的結論，所以自然會觀察到奇度頂點的個數(shù)總是偶數(shù)。教師可以參與到每一組中與若干學生握手，有意識地與奇數(shù)個或偶數(shù)個學生握手，讓學生得到新的圖示，教師再進一步引導學生將實際觀察到的規(guī)律凝練成數(shù)學結論，利用度和定理給出嚴格的數(shù)學證明。這樣的實踐過程既可以鍛煉學生的邏輯思維能力和實踐創(chuàng)新能力，可以增進學生與學生之間、學生與老師之間的情感交流，拉近師生距離，營造良好的學習氛圍，有利于很好地激發(fā)學生的學習興趣，同時提升教學效果。

網絡學習不能完全替代教師的課堂教學[10]，面對面課堂教學中學生與學生、教師與學生之間的情感交流是網絡學習所不具有的優(yōu)勢。課堂教學活動中教師所表現(xiàn)出來的個人魅力、學術能力、情感表達等方面都對學生的學習有著很大影響，正所謂言傳身教。教師與學生之間的討論、對話以及學習經驗和方法上的交流，包括教學管理與監(jiān)督等各個方面都有情感交流。隨著教學的深入，師生之間會產生一些思想上的共鳴，有利于提升學生的學習興趣和積極性，激發(fā)教師的教學熱情，形成教學相長的良好氛圍。

四、結束語

筆者結合自身的教學體會，總結了圖論及其應用課程的突出特點及教學現(xiàn)狀，指出了教學實踐中遇到的一些問題。在遵循圖論學科規(guī)律的前提下，將混合式學習引入圖論及其應用課程教學中，結合實際提出了解決一些教學問題的有效方法?；旌蠈W習模式的選擇要兼顧教師施教和學生學習的具體需要，找到混合學習介入的合理依據(jù)，體現(xiàn)傳統(tǒng)課堂講授與在線學習的優(yōu)勢互補[14]。作為一線教師，我們既是教育改革的實踐者，也是教學模式創(chuàng)新的探索者，探索采取有效的教學方式來提升教育質量和人才培養(yǎng)質量是永遠不變的追求。