張 濤，李為民，李 炯，王華吉，雷虎民

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051；2.中國(guó)人民解放軍 94011部隊(duì),和田 848000)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器是以高超聲速飛行器為載體或直接作為武器本體使用，長(zhǎng)時(shí)間在臨近空間飛行的武器，具有作戰(zhàn)空域大、飛行速度快、突防能力強(qiáng)、毀傷范圍廣等特點(diǎn)[1-2]。近年來(lái)美軍先進(jìn)高超聲速武器已進(jìn)入型號(hào)研發(fā)階段，而俄羅斯的空射型高超聲速導(dǎo)彈“匕首”和“鋯石”近日也進(jìn)行飛行試驗(yàn)和戰(zhàn)斗值班任務(wù)。為有效應(yīng)對(duì)臨近空間高超聲速武器構(gòu)成的嚴(yán)峻威脅，發(fā)展反此類目標(biāo)的先進(jìn)攔截技術(shù)和防御手段已迫在眉睫。

攔截彈中制導(dǎo)是防御作戰(zhàn)中飛行距離最長(zhǎng)的一個(gè)階段，中制導(dǎo)彈道的優(yōu)劣將直接決定攔截的成敗。攔截彈中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問(wèn)題屬于非線性、帶有狀態(tài)約束和控制量約束的最優(yōu)控制問(wèn)題[3-4]。文獻(xiàn)[5]考慮彈道過(guò)程約束，以末速最大、終端點(diǎn)距離誤差最小和全程熱量最小為指標(biāo)建立攔截彈彈道規(guī)劃問(wèn)題，為高超聲速目標(biāo)攔截彈中制導(dǎo)問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，然而并未考慮中末制導(dǎo)交接班條件的約束。

零控?cái)r截流型是攔截彈中制導(dǎo)終端時(shí)刻的最優(yōu)攔截幾何，攔截彈可在無(wú)控狀態(tài)下在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。根據(jù)高超聲速目標(biāo)的特性和臨近空間的環(huán)境特點(diǎn)，考慮到攔截彈自身攜帶的燃料以及氣動(dòng)力所提供的過(guò)載有限，攔截彈在中制導(dǎo)階段需要進(jìn)入或者接近這個(gè)最優(yōu)的攔截幾何。

文獻(xiàn)[6]首先完整地描述了零控?cái)r截交班區(qū)域，采用模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃理論設(shè)計(jì)了單枚攔截彈考慮零控交班約束的中制導(dǎo)律，該方法不僅能精確覆蓋交班區(qū)域，還可以滿足位置、角度以及導(dǎo)引頭特性等終端約束；文獻(xiàn)[7]提出一種面向零控交接班區(qū)域的有限時(shí)間一致收斂的協(xié)同中制導(dǎo)方法，能夠保證多枚攔截彈在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)到達(dá)所指定的零控交接班區(qū)域，然而都沒(méi)有考慮攔截彈熱流、動(dòng)壓、過(guò)載等約束條件對(duì)中末制導(dǎo)交接班的影響。

此外，攔截彈飛行速度可達(dá)到馬赫數(shù)10，強(qiáng)烈的氣動(dòng)加熱會(huì)嚴(yán)重影響攔截彈導(dǎo)引頭的探測(cè)精度，因此需要將導(dǎo)引頭安裝在攔截彈的側(cè)面來(lái)避開(kāi)導(dǎo)彈頭部的熱流密集區(qū)，這種側(cè)窗探測(cè)技術(shù)將會(huì)導(dǎo)致視線不對(duì)稱，從而使攔截彈在彈道設(shè)計(jì)和姿態(tài)控制過(guò)程中會(huì)收到一定的約束和限制[8-9]。然而當(dāng)前關(guān)于中制導(dǎo)彈道優(yōu)化及中末制導(dǎo)交接班窗口的描述中，均未考慮側(cè)窗探測(cè)對(duì)中制導(dǎo)彈道優(yōu)化的影響[10-12]。

面向中末制導(dǎo)交接班的攔截彈中制導(dǎo)彈道優(yōu)化屬于非光滑軌跡優(yōu)化問(wèn)題[13]，目前解決該問(wèn)題的優(yōu)化方法有直接法和間接法兩大類。雖然間接法具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，但由于它對(duì)初值敏感且收斂半徑小，求解過(guò)程比較復(fù)雜，不適用與彈道優(yōu)化問(wèn)題的求解。直接法中的配點(diǎn)法由于不需要推導(dǎo)最優(yōu)性必要條件，并且對(duì)優(yōu)化初值的敏感性較低，容易收斂，再加上計(jì)算機(jī)技術(shù)和相關(guān)理論的發(fā)展，直接法逐漸成為彈道優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。直接配點(diǎn)法通過(guò)對(duì)控制變量和狀態(tài)變量都進(jìn)行離散，將軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(Nonlinear programming, NLP)問(wèn)題。

傳統(tǒng)配點(diǎn)法在求解非光滑最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)存在網(wǎng)格和配點(diǎn)數(shù)目多、非線性方程計(jì)算量大、誤差大等問(wèn)題。因此需要根據(jù)最優(yōu)控制問(wèn)題的光滑程度對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行優(yōu)化。網(wǎng)格優(yōu)化主要的問(wèn)題是網(wǎng)格劃分的位置、子網(wǎng)格和網(wǎng)格內(nèi)配點(diǎn)的數(shù)量。文獻(xiàn)[14]提出了一種分段hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法，該方法根據(jù)離散誤差值來(lái)分辨分段點(diǎn)的位置以及網(wǎng)格內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)，然而并未給出網(wǎng)格劃分的理論依據(jù)。文獻(xiàn)[15]針對(duì)高超聲速再入飛行器的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)飛行器軌跡的曲率作為選擇h法或者p法的依據(jù)，通過(guò)增加插值多項(xiàng)式維數(shù)或細(xì)化網(wǎng)格的方式提高解的精度。文獻(xiàn)[16]給出離散誤差的估計(jì)公式來(lái)確定非光滑區(qū)域的位置，構(gòu)造自適應(yīng)網(wǎng)格更新策略，使節(jié)點(diǎn)能夠根據(jù)離散誤差的大小自動(dòng)調(diào)整。文獻(xiàn)[17]研究了自適應(yīng)Radau偽譜法的網(wǎng)格縮減算法，仿真結(jié)果表明采用網(wǎng)格縮減算法能夠降低轉(zhuǎn)化后的NLP問(wèn)題的維度，提高求解效率，利于攔截彈軌跡的高精度、快速優(yōu)化求解。因此，論文將考慮用hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)求解優(yōu)化彈道。

為了能夠適應(yīng)臨近空間防御作戰(zhàn)的特點(diǎn)，本文以高拋再入式迎面攔截高超聲速目標(biāo)為背景，考慮熱流、動(dòng)壓、過(guò)載、側(cè)窗探測(cè)等約束，設(shè)計(jì)了面向中末制導(dǎo)交接班的臨近空間攔截彈彈道。論文的主要?jiǎng)?chuàng)新工作有：1)提出了能量受限的側(cè)窗探測(cè)攔截彈中末制導(dǎo)交接班窗口，為攔截彈提供完備且可靠的中末制導(dǎo)交接班終端約束條件；2)針對(duì)攔截彈交接班過(guò)程會(huì)受到氣動(dòng)熱的影響，文中提出了導(dǎo)引頭側(cè)窗背風(fēng)探測(cè)的交接班方案；3)將中末制導(dǎo)交接班窗口的攔截彈中制導(dǎo)段彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題，設(shè)計(jì)了hp自適應(yīng)網(wǎng)格優(yōu)化算法求解非光滑軌跡優(yōu)化問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

1.1 攔截彈縱向平面運(yùn)動(dòng)模型

本文考慮攔截彈從再入點(diǎn)到交接班點(diǎn)的彈道優(yōu)化問(wèn)題，此過(guò)程推力發(fā)動(dòng)機(jī)已被拋掉，即推力為零。攔截彈縱向平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型為：

(1)

式中:VM與θM分別表示攔截彈速度和彈道傾角，xM，yM分別為導(dǎo)彈在大地慣性坐標(biāo)系下的位置，q表示動(dòng)壓，S表示參考面積，g表示重力加速度，θM為彈道傾角，m為攔截彈質(zhì)量，Cx，Cy分別為阻力系數(shù)以及升力系數(shù)，根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)，它們可以分別表示為攻角的函數(shù)為：

(2)

(3)

1.2 中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問(wèn)題描述

攔截彈中制導(dǎo)彈道優(yōu)化實(shí)際上是求解最優(yōu)攻角α與設(shè)計(jì)終端時(shí)刻tf，同時(shí)使得由彈道方程組確定的系統(tǒng)在滿足攻角、動(dòng)壓、過(guò)載、熱流密度以及終端狀態(tài)等約束條件下性能指標(biāo)最優(yōu)。

為了拓寬攔截彈可行的末制導(dǎo)初始條件以及保證攔截彈的殺傷效果，選擇末端速度最大作為一個(gè)終端優(yōu)化指標(biāo)。即：

J=φ(VM(tf),tf)=-VMf

(4)

式中:tf表示終端時(shí)刻，

攔截彈中制導(dǎo)段彈道的終端約束條件為：

xMf=xMd,yMf=yMd,θMf=θMd

(5)

式中：xMd，yMd和θMd分別為終端期望射程、期望高度和期望彈道傾角，根據(jù)零控交接班條件可以獲得(xMd,yMd,θMd)，通過(guò)控制攔截彈中制導(dǎo)彈道的終端狀態(tài)滿足此期望終端條件來(lái)完成中末制導(dǎo)交接班，而期望終端條件的描述將在下節(jié)介紹。

同時(shí)攔截彈彈道規(guī)劃還需要滿足如下過(guò)程不等式約束條件，為保證攔截彈飛行的穩(wěn)定性，攔截彈攻角大小應(yīng)滿足：

(6)

動(dòng)壓極限值主要取決于熱防護(hù)材料強(qiáng)度與氣動(dòng)控制鉸鏈力矩。其約束設(shè)置為：

(7)

式中:ρ為空氣密度。

在臨近空間范圍內(nèi)，攔截彈所能提供的可用過(guò)載大小有限，故過(guò)載約束設(shè)置為：

(8)

考慮到攔截彈的熱流密度約束，其簡(jiǎn)化計(jì)算公式為[19]：

(9)

2 能量受限的中末制導(dǎo)交接班窗口

2.1 中末制導(dǎo)交接班窗口

在對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截時(shí)，由于目標(biāo)飛行速度高且飛行環(huán)境復(fù)雜，為保證攔截彈正常飛行，需要考滿足以下約束[20-21]：1)較小的能量消耗，為末制導(dǎo)攔截彈機(jī)動(dòng)提供足夠的能源儲(chǔ)備；2)過(guò)載約束，防止結(jié)構(gòu)性破壞；3)動(dòng)壓約束以及駐點(diǎn)熱流約束，防止鉸鏈力矩過(guò)大和熱燒蝕；4)攻角約束，滿足飛行器控制能力。此外，為保證中末交接班順利完成，中末制導(dǎo)交接班還必須滿足：1)特定的攻角與姿態(tài)角，以確保側(cè)窗探測(cè)導(dǎo)引頭對(duì)目標(biāo)的有效捕獲；2)較小的中末交接班誤差，確保進(jìn)入末制導(dǎo)能夠形成較好的攔截流型；3)較大的攔截彈速度以確保末制導(dǎo)過(guò)程中攔截彈的機(jī)動(dòng)性能以及戰(zhàn)斗部的碰撞殺傷性能。文獻(xiàn)[12]給出了攔截彈中末制導(dǎo)交接班窗口的定義，但并未考慮攔截彈能量約束和側(cè)窗探測(cè)的影響。為了更完善地描述交接班約束條件，本文給出如下定義。

定義1.在攔截高超聲速目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交接班窗口為在滿足側(cè)窗探測(cè)導(dǎo)引頭截獲條件的基礎(chǔ)上，同時(shí)滿足末制導(dǎo)捕獲狀態(tài)空間的約束和能量約束，其中捕獲狀態(tài)空間由彈目相對(duì)距離矢量、攔截彈速度矢量以及目標(biāo)速度矢量組成。

2.2 中末制導(dǎo)交接班窗口定量描述

中制導(dǎo)及交接班過(guò)程中的彈目運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如圖1所示，其中OXY為笛卡爾慣性參考系，R和λ分別表示彈目相對(duì)距離矢量和彈目視線角，VM和aM分別表示攔截彈的速度矢量和加速度矢量，VT和aT分別表示目標(biāo)速度矢量和加速度矢量，ηM和ηT分別表示攔截彈和目標(biāo)的前置角。根據(jù)PIP推導(dǎo)零控交班點(diǎn)(Zero effort handover point, ZEHP)，中制導(dǎo)的目的是控制攔截彈到達(dá)或者盡量接近零控交班點(diǎn)。彈目平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

紅外導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)后可以獲得視線角速率信息，因此假設(shè)末制導(dǎo)段采用純比例導(dǎo)引律(Pure proportional navigation guidance, PPN)控制攔截彈飛行目標(biāo)，其表達(dá)式如下

(17)

式中：N代表導(dǎo)航系數(shù)。

圖1 中制導(dǎo)階段的彈目運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 The relative motion between interceptor and target through midcourse guidance

下面將通過(guò)引入3個(gè)引理來(lái)定量描述能量受限條件下的中末制導(dǎo)交接班窗口，并給出中末制導(dǎo)交接班窗口的計(jì)算步驟。

引理1[22].在不考慮攔截彈能量受限情況下，為順利完成交接班，則交接班時(shí)刻攔截彈速度和目標(biāo)速度與彈目視線的夾角應(yīng)滿足如下約束：

CPPN={(ηT,ηM)|(ηM)min≤ηM≤arcsinkc，

π-arcsin(kc/p)≤ηT≤π+ηc,

ηT≤π-arcsin(sin(ηM)/p),

ηT≥π-(ηM+μmax)/(N-1)}

(18)

則在PPN導(dǎo)引律控制下可以有限時(shí)間內(nèi)使得R→0。其中，μ(k)=arcsink-(N-1)arcsin(k/p)，k為函數(shù)自變量，p=VT/VM，ηc=arcsin(1/p)。通過(guò)對(duì)μ(k)求導(dǎo)來(lái)獲取極值，可得分段函數(shù)μmax如下：

(19)

(20)

攔截彈中末制導(dǎo)交接班窗口計(jì)算步驟如下：

步驟1：根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度和攔截彈自身速度的比值，以及導(dǎo)航比，按照公式計(jì)算捕獲狀態(tài)空間。

步驟2：通過(guò)對(duì)高超聲速目標(biāo)軌跡進(jìn)行跟蹤與預(yù)測(cè)，獲得交接班時(shí)刻目標(biāo)的速度指向和位置，由引理3計(jì)算攔截彈的零控交接班區(qū)域。其中，最優(yōu)速度指向與彈目視線夾角為ηM=arcsin(psinηT)。

步驟3：通過(guò)目標(biāo)與攔截彈的速度比以及導(dǎo)引頭的最大探測(cè)范圍，計(jì)算攔截彈位置與速度指向的允許范圍。

步驟4：判斷攔截彈是否滿足引理2能量的約束，當(dāng)軌跡預(yù)測(cè)誤差超出了攔截彈的攔截能力即不滿足引理2，則交接班失敗。

算例:假設(shè)通過(guò)目標(biāo)軌跡預(yù)測(cè)獲得的目標(biāo)速度為3517.9 m/s；攔截彈在交接班時(shí)刻的速度為3332.5 m/s。通過(guò)計(jì)算可得目標(biāo)與導(dǎo)彈速度比為p=1.0556，選擇PPN比例系數(shù)為4。則針對(duì)該目標(biāo)PPN的捕獲條件如圖2所示。

圖2 當(dāng)p=1.0556, N=4時(shí)PPN對(duì)應(yīng)的捕獲條件Fig.2 The capture region of PPN (p=1.0556, N=4)

2.3 側(cè)窗探測(cè)約束條件分析

紅外側(cè)窗探測(cè)導(dǎo)引頭是高超聲速目標(biāo)攔截彈的關(guān)鍵技術(shù)之一。在交接班過(guò)程中要保證視線被穩(wěn)定地控制在側(cè)窗視場(chǎng)內(nèi)。在側(cè)窗探測(cè)條件下，縱向平面的制導(dǎo)幾何關(guān)系如圖3所示。

圖3 縱向平面制導(dǎo)幾何關(guān)系Fig.3 Planar engagement geometry in the longitudinal plane

其中，x1表示彈體縱軸，xc表示導(dǎo)引頭的光軸方向，?為俯仰角，α為攻角。攔截彈導(dǎo)引頭采用全捷聯(lián)紅外凝視導(dǎo)引頭，其在彈體坐標(biāo)系下的跟蹤范圍為俯仰方向δT=[5°,55°][27]。

α=ηM-δT>0

(21)

?=λ+δT

(22)

在攔截彈縱向平面交接班過(guò)程中，導(dǎo)引頭側(cè)窗探測(cè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是如何控制α和?滿足上述等式約束。本文將攔截彈視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其姿態(tài)控制問(wèn)題，將攻角的上述約束條件加到中制導(dǎo)終端約束中。

3 hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化的彈道優(yōu)化

3.1 Bolza最優(yōu)控制問(wèn)題

由于中制導(dǎo)彈道規(guī)劃問(wèn)題研究的時(shí)間區(qū)域?yàn)閇t0,tf]，而偽譜法所應(yīng)用的時(shí)間域?yàn)閇-1,1]，所以首先需要通過(guò)引入一個(gè)新的時(shí)間變量τ進(jìn)行時(shí)域變換

(23)

性能指標(biāo)：

(24)

系統(tǒng)方程：

(25)

過(guò)程約束：

Cmin≤C(x(k)(τ),u(k)(τ),t(τ,t0,tf))≤Cmax

(26)

邊界約束：

ψmin≤ψ(x(1)(-1),t0,x(K)(-1),tf))≤ψmax

(27)

3.2 基于Legendre-Gauss-Radau配點(diǎn)離散

將整個(gè)時(shí)間區(qū)間劃分為多個(gè)子區(qū)間后，每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)變量用Nk+1次全局多項(xiàng)式進(jìn)行近似表示為

(28)

(29)

結(jié)合前面離散化的結(jié)果，最優(yōu)控制問(wèn)題在LGR點(diǎn)離散后轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題如下：

利用LGR積分將目標(biāo)函數(shù)近似為

(30)

系統(tǒng)方程在LGR點(diǎn)的離散形式為

(31)

過(guò)程約束(26)在LGR點(diǎn)的離散形式為

(32)

邊界約束(27)在LGR點(diǎn)的離散形式為

(33)

通過(guò)上述一系列的數(shù)值近似方法，最終將連續(xù)的Bolza問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題，即求得每段LGR點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量，在滿足系統(tǒng)方程(31)、過(guò)程約束(32)和邊界約束(33)的情況下，使得性能目標(biāo)函數(shù)(30)最小。本文將利用內(nèi)點(diǎn)法(Interior point optimization, IPOPT)求解NLP問(wèn)題。

3.3 hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法

自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法的目的是通過(guò)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)，提高離散后的計(jì)算精度。每個(gè)子區(qū)間內(nèi)設(shè)定一個(gè)離散狀態(tài)方程和過(guò)程約束的誤差容忍度ε，如果在當(dāng)前網(wǎng)格劃分條件下，每段子區(qū)間內(nèi)的計(jì)算精度大于ε，則對(duì)當(dāng)前的網(wǎng)格進(jìn)行重構(gòu)。能夠在較低運(yùn)算代價(jià)的情況下獲取較高的精度。網(wǎng)格的細(xì)化更新需要離散的誤差信息，由于最優(yōu)控制問(wèn)題的解事先是未知的，因此需要對(duì)離散誤差進(jìn)行估計(jì)。

3.3.1相對(duì)誤差的估計(jì)

(34)

(35)

(36)

(37)

式中:l=1,…,Mk+1，i=1,…,nx，nx表示狀態(tài)變量的數(shù)量。在網(wǎng)格區(qū)間Sk內(nèi)，最大相對(duì)誤差可定義為

(38)

(39)

其中，c是常量，V表示網(wǎng)格配點(diǎn)數(shù)，h表示網(wǎng)格區(qū)間的寬度，υ的取值與配點(diǎn)個(gè)數(shù)V有關(guān)。式(39)給出了[-1,+1]區(qū)域內(nèi)誤差的上界，能夠?yàn)檠芯烤W(wǎng)格細(xì)化和配點(diǎn)優(yōu)化提供了依據(jù)。

3.3.2自適應(yīng)網(wǎng)格更新方法

面向中末制導(dǎo)交接班攔截彈多約束彈道優(yōu)化往往是一種非光滑的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，文中引入自適應(yīng)網(wǎng)格更新方法解決此問(wèn)題。下面采用狀態(tài)和控制變量的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷網(wǎng)格內(nèi)軌跡的光滑程度。

(40)

假設(shè)式(40)成立，且在第M+1次迭代中最大相對(duì)誤差等于容許誤差，由式(40)可得

(41)

其中，區(qū)間細(xì)分個(gè)數(shù)D可以表示為

(42)

區(qū)間細(xì)分個(gè)數(shù)不宜過(guò)大，其取值范圍為

D≤Hmax=[logNk(e(k)/ε)]

(43)

其中，[·]表示向上取整，Hmax表示子網(wǎng)格區(qū)間數(shù)量的上界，當(dāng)e(k)ε時(shí)，Hmax大約取15～25，當(dāng)e(k)→ε時(shí)，Hmax趨近于0。

4 仿真校驗(yàn)

本文以攔截臨近空間高超聲速目標(biāo)中末制導(dǎo)交接班為研究背景，為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法的有效性以及驗(yàn)證中末制導(dǎo)交接班窗口的合理性。設(shè)定了3組仿真場(chǎng)景，仿真1和2主要是驗(yàn)證hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法的求解效率和求解精度以及判斷攔截彈終端約束可變化范圍。其中，仿真1中攔截彈中制導(dǎo)端點(diǎn)狀態(tài)及約束條件的設(shè)置見(jiàn)表1。論文中所有仿真都是在MATLAB?2014a軟件上運(yùn)行，計(jì)算機(jī)的配置為：聯(lián)想CPU 3.4 GHz Intel Core i7。NLP問(wèn)題由IPOPT軟件包來(lái)求解。取初始網(wǎng)格為10段，最大和最小配點(diǎn)數(shù)分別為4和26，容許誤差為ε=10-6。

仿真1：為驗(yàn)證文中所設(shè)計(jì)算法的優(yōu)越性，將其與傳統(tǒng)的高斯偽譜法進(jìn)行對(duì)比。仿真發(fā)現(xiàn)hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化的彈道優(yōu)化過(guò)程共進(jìn)行了4次網(wǎng)格重構(gòu)，最終求解優(yōu)化結(jié)果所需配點(diǎn)為21個(gè)，求解時(shí)間為1.257 s，最大相對(duì)誤差為8.0912×10-7。而高斯偽譜法的求解時(shí)間為21.5 s，hp網(wǎng)格優(yōu)化方法求解效率明顯優(yōu)于高斯偽譜法。究其深層原因，hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法在迭代的過(guò)程中能夠較好的探測(cè)到軌跡的非光滑區(qū)域，并對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加密處理，這一措施可以有效地提高求解精度，也大大提高傳統(tǒng)偽譜法解決NLP問(wèn)題的能力。

表1 攔截彈再入飛行的端點(diǎn)狀態(tài)及約束條件Table 1 Initial and terminal constraints of the optimal trajectory

仿真2：為了適應(yīng)預(yù)測(cè)命中點(diǎn)地變化，攔截彈需適應(yīng)在不同終端彈道傾角約束下，滿足多約束條件進(jìn)行正常飛行。下面將驗(yàn)證在單純?cè)跉鈩?dòng)力控制下攔截彈彈道優(yōu)化結(jié)果。設(shè)定θMf分別取值為-8°,-5°,-2°,1°,4°,7°,10°，則仿真結(jié)果如圖4～6所示。

圖4 終端彈道傾角變化下攔截彈彈道曲線Fig.4 Curves of the interceptor trajectories with different terminal flight path angles

圖5 攔截彈彈道傾角變化曲線Fig.5 Curves of the interceptor flight path angles

從圖4可以看出，通過(guò)hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法優(yōu)化所得的攔截彈中制導(dǎo)段彈道能夠很好地滿足不同的終端彈道傾角約束，彈道能夠收斂到了預(yù)定的終端落點(diǎn)位置，同時(shí)能夠很好的滿足動(dòng)壓、熱流和過(guò)載等過(guò)程約束條件。由圖5和圖6可知，要使攻角為正值，終端彈道傾角不宜過(guò)大。另外，在臨近空間稀薄大氣下，攔截彈的氣動(dòng)力非常有限，從而終端彈道傾角可變化范圍嚴(yán)重依賴攔截彈飛行高度。

圖6 終端彈道傾角變化下控制量曲線Fig.6 Curves of the interceptor control commands with different terminal flight path angles

仿真3：為了證明考慮中末制導(dǎo)交接班窗口約束的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的合理性，分別對(duì)比導(dǎo)引頭迎風(fēng)和背風(fēng)兩種典型的中末制導(dǎo)交接班情景下導(dǎo)引頭的有效覆蓋范圍。由于高超聲速目標(biāo)滑翔段的飛行高度在20～60km之間。側(cè)窗探測(cè)的紅外凝視成像導(dǎo)引頭的最大探測(cè)距離為100km，通過(guò)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤和軌跡預(yù)測(cè)能夠獲得目標(biāo)軌跡信息，目標(biāo)軌跡滑翔段的軌跡信息如表2所示。

表2 目標(biāo)預(yù)測(cè)軌跡的端點(diǎn)狀態(tài)Table 2 The endpoint state of target prediction trajectory

攔截彈的終端彈道傾角可變范圍將直接影響影響導(dǎo)引頭對(duì)目標(biāo)的搜索，為了使攔截彈終端彈道傾角具有較大的變化范圍，結(jié)合目標(biāo)探測(cè)信息，將攔截彈的交接班高度設(shè)定為30 km，然而此時(shí)導(dǎo)引頭熱流會(huì)影響其對(duì)目標(biāo)的探測(cè)。為了驗(yàn)證背風(fēng)探測(cè)的合理性，下面將對(duì)迎風(fēng)和背風(fēng)探測(cè)導(dǎo)引頭的有效覆蓋范圍進(jìn)行對(duì)比。

設(shè)定攔截彈中制導(dǎo)終端狀態(tài)為xMf=750 km，yMf=30 km，θMf=-12°。通過(guò)彈道優(yōu)化得到αf=-2.61°，此時(shí)導(dǎo)引頭視線角范圍為-9.61°～40.39°，其結(jié)果如圖7所示。

設(shè)定攔截彈中制導(dǎo)終端狀態(tài)為xMf=750 km，yMf=30 km，θMf=-10°。通過(guò)彈道優(yōu)化得到αf=1.44°，此時(shí)導(dǎo)引頭視線角范圍為-3.56°～46.44°，其結(jié)果如圖8所示。

圖7 迎風(fēng)探測(cè)時(shí)導(dǎo)引頭的視場(chǎng)覆蓋范圍Fig.7 The covering range of seeker field of view under wind detection

圖8 背風(fēng)探測(cè)時(shí)導(dǎo)引頭的視場(chǎng)覆蓋范圍Fig.8 The covering range of seeker field of view out of wind detection

由圖7～8可以看出，迎風(fēng)探測(cè)時(shí)導(dǎo)引頭視場(chǎng)對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)覆蓋范圍更廣，但導(dǎo)引頭背風(fēng)探測(cè)可以減輕氣動(dòng)加熱對(duì)導(dǎo)引頭探測(cè)目標(biāo)的影響，同時(shí)背風(fēng)探測(cè)的視場(chǎng)覆蓋范圍也基本可以滿足交接班時(shí)的需求。

在攔截彈對(duì)目標(biāo)背風(fēng)探測(cè)的背景下，考慮到高超聲速目標(biāo)預(yù)測(cè)所得軌跡在較大的誤差，下面將分析目標(biāo)軌跡預(yù)測(cè)誤差對(duì)攔截彈中末制導(dǎo)交接班的影響以驗(yàn)證中末制導(dǎo)交接班窗口的有效性和合理性。為分析目標(biāo)的位置預(yù)測(cè)誤差對(duì)中末制導(dǎo)交接班的影響，假設(shè)其他條件保持不變，設(shè)定ytf=28，29，…,37 km，則形成了10條終端位置間隔為1km的目標(biāo)彈道簇，可表征不同的目標(biāo)位置預(yù)測(cè)誤差(ytf=30 km為目標(biāo)基準(zhǔn)彈道)。則目標(biāo)位置預(yù)測(cè)誤差對(duì)交接班的影響如圖9所示。

圖9 目標(biāo)的位置預(yù)測(cè)誤差對(duì)中末制導(dǎo)交接班的影響Fig.9 The effect of predicted position errors on interceptor midcourse and terminal guidance handover

為分析目標(biāo)的速度預(yù)測(cè)誤差對(duì)中末制導(dǎo)交接班的影響，假設(shè)其他條件保持不變，設(shè)定θtf=-177°,-176°,…,-168°，則形成了10條終端彈道傾角間隔為1°的目標(biāo)彈道簇，可表征不同的目標(biāo)速度預(yù)測(cè)誤差(θtf=-170°為目標(biāo)基準(zhǔn)彈道)。則目標(biāo)速度指向預(yù)測(cè)誤差對(duì)交接班的影響如圖10所示。

圖10 目標(biāo)的速度預(yù)測(cè)誤差對(duì)交接班的影響Fig.10 The effect of predicted velocity errors on interceptor midcourse and terminal guidance handover

從圖9和圖10中可以看出，攔截彈導(dǎo)引頭能夠有效覆蓋目標(biāo)的預(yù)測(cè)軌跡。在交接班時(shí)刻當(dāng)彈目運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足引理3的約束時(shí)，攔截彈則可以實(shí)現(xiàn)零控中末制導(dǎo)交接班，如圖9中加粗線條所示。當(dāng)目標(biāo)軌跡的位置預(yù)測(cè)誤差過(guò)大而超過(guò)攔截彈的修正能力，即無(wú)法滿足引理2的約束時(shí)，則會(huì)導(dǎo)致攔截彈交接班失敗，如圖9中加粗點(diǎn)線所示。而當(dāng)目標(biāo)軌跡的速度指向誤差過(guò)大也超過(guò)攔截彈的修正能力時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致攔截彈交接班失敗。

5 結(jié) 論

針對(duì)臨近空間防御作戰(zhàn)攔截彈因中末制導(dǎo)交接班約束條件復(fù)雜而難以實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了考慮中末制導(dǎo)交接班條件約束的高超聲速目標(biāo)攔截彈中制導(dǎo)段彈道優(yōu)化方案。得到如下結(jié)論。

1) 利用3個(gè)重要引理定量描述了臨近空間防御作戰(zhàn)攔截彈中末制導(dǎo)交接班窗口，并將其作為攔截彈中制導(dǎo)終端約束條件。在目標(biāo)軌跡預(yù)測(cè)誤差的影響下而不能滿足零控交接班條件時(shí)，只要能滿足捕獲區(qū)約束條件，仍能夠通過(guò)末制導(dǎo)的修正最終實(shí)現(xiàn)彈目直接碰撞;

2)將考慮中末制導(dǎo)交接班窗口的攔截彈中制導(dǎo)段彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題，設(shè)計(jì)hp自適應(yīng)網(wǎng)格優(yōu)化算法求解該非光滑軌跡優(yōu)化問(wèn)題。所設(shè)計(jì)的算法不僅求解精度高，而且算法效率高，具有在彈上在線解算彈道的潛力;

3)迎風(fēng)探測(cè)時(shí)導(dǎo)引頭視場(chǎng)對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)覆蓋范圍更廣，但導(dǎo)引頭將面臨劇烈的氣動(dòng)熱的影響。導(dǎo)引頭背風(fēng)探測(cè)可以有效減輕氣動(dòng)加熱對(duì)導(dǎo)引頭探測(cè)目標(biāo)的影響，同時(shí)背風(fēng)探測(cè)的視場(chǎng)覆蓋范圍也基本可以滿足交接班時(shí)的需求，臨近空間側(cè)窗探測(cè)攔截彈宜采用背風(fēng)探測(cè)的交接班方案。