康國華，張 晗，魏建宇，吳佳奇，張 雷

(1. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院微小衛(wèi)星研究中心，南京 210001；2. 西安衛(wèi)星測控中心，西安 710043)

0 引 言

對于航天器自主交會對接任務(wù)而言，安全軌跡指在相對運(yùn)動的動力學(xué)理論指導(dǎo)下，從任務(wù)需求角度決定的航天器之間接近與逼近的軌跡。在軌跡規(guī)劃任務(wù)中[1]，空間障礙、測控條件等外部因素以及燃料消耗、機(jī)動時間、操作測量器件安全工作范圍等特定需求都是軌跡安全與最優(yōu)規(guī)劃的約束條件。

相對運(yùn)動的動力學(xué)特性研究通常忽略姿態(tài)運(yùn)動，且多基于C-W(Clohessy-Wiltshire)線性相對動力學(xué)方程展開[2]。Luo等[3]提出了包含交會中不同類型脈沖約束、燃料約束以及地面站測控條件約束的相對軌跡優(yōu)化模型，并結(jié)合浮點(diǎn)編碼遺傳和單純形算法的優(yōu)點(diǎn)形成混合優(yōu)化器，有效獲得了全局最優(yōu)解。隨后，Zhang等[4]提出一種非線性的程序設(shè)計方法，該方法以消耗的推進(jìn)劑為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對整數(shù)和實數(shù)的編碼算法結(jié)合獲得最優(yōu)解，使整體規(guī)劃路徑滿足作戰(zhàn)約束，綜合性能較好。針對近圓軌道，朱彥偉等[5]通過綜合C-W方程、脈沖控制和優(yōu)化理論，從C-W方程解析解構(gòu)建航天器自然軌跡與受限軌跡數(shù)學(xué)描述，同時考慮碰撞避免，研究了全局繞飛和局部限制軌跡設(shè)計，并分析軌跡的能量消耗，給出了軌跡設(shè)計參數(shù)。李蒙等[6]在近圓軌道相對運(yùn)動模型上，結(jié)合給定的初始條件，通過初值計算和精確解迭代步驟獲得了變軌控制參數(shù)，實現(xiàn)了航天器的自主變軌規(guī)劃。姚黨鼐等[7]將相對運(yùn)動分解為視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的運(yùn)動與轉(zhuǎn)動，通過確定最佳機(jī)動方向使得航天器具有在空間目標(biāo)距離較近時的自主規(guī)避能力，用于規(guī)避軌跡任務(wù)的基礎(chǔ)。

近年來，隨著電推進(jìn)技術(shù)的發(fā)展，使最優(yōu)控制理論可被用于軌跡規(guī)劃[8-11]，實現(xiàn)最小時間[12]和能量[13]的轉(zhuǎn)移軌跡。潘迅等[9]提出考慮地球扁率J2項攝動影響的小推力燃料最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移方法，分別對動力學(xué)模型、推力大小和性能指標(biāo)同倫；根據(jù)極小值原理推導(dǎo)最優(yōu)控制律，得到小推力燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡，有效解決了J2項攝動引起的系統(tǒng)非線性強(qiáng)、算法不收斂等問題。姚瑋等[10]提出一種基于連續(xù)推力并將貝塞爾曲線與軌道形狀方程相結(jié)合的平面機(jī)動軌道設(shè)計方法，將累計速度增量作為優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)，并利用優(yōu)化算法得到了最優(yōu)機(jī)動軌道，解決了限制時間約束的平面軌道交會問題。Richards等[11]通過優(yōu)化二進(jìn)制變量，將必要邏輯約束附加到燃料優(yōu)化的線性程序中，提出了一種能夠有效躲避空間障礙或其他運(yùn)載工具的航天器燃料最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。上述研究逐步擺脫了早期只考慮算法本身，不考慮推力器實際能力的弊端，更加接近工程實際。

然而，空間中失效航天器與碎片的動態(tài)變化，給轉(zhuǎn)移軌跡帶來新的威脅和挑戰(zhàn)。上述文獻(xiàn)[3-7,9-11]對基于C-W方程、最優(yōu)控制的轉(zhuǎn)移軌跡規(guī)劃均有一定成果，但未考慮空間障礙物動態(tài)的情況。本文在在軌航天器軌道規(guī)避體系研究的指導(dǎo)下[14]，提出了一種能量最優(yōu)的連續(xù)動態(tài)避障算法，該方法基于有限時間的相對運(yùn)動能量最優(yōu)模型，結(jié)合軌跡偏移和正態(tài)分布概率推導(dǎo)了包含安全距離約束的運(yùn)動軌跡規(guī)劃模型；通過考慮碰撞風(fēng)險，確定了動態(tài)避障點(diǎn)的選取規(guī)則，同時考慮能量約束問題，使航天器在有效規(guī)避動態(tài)障礙的同時盡可能減少燃料的消耗。

1 問題描述

追蹤航天器(Sat)要在有限時間完成軌道轉(zhuǎn)移，追上目標(biāo)航天器(Tar)(如圖1)，要求規(guī)劃的軌跡滿足空間相對運(yùn)動動力學(xué)，能夠躲避空間中帶有一定速度的障礙物，同時實現(xiàn)能量最優(yōu)，減少燃料的消耗。

圖1 追蹤航天器避障軌跡規(guī)劃Fig.1 Obstacle avoidance planning for tracking spacecraft

傳統(tǒng)的軌道躲避機(jī)動通常需要三個脈沖完成[15]，如圖2所示，主要存在如下問題：

1)避障次數(shù)與原軌跡發(fā)生碰撞次數(shù)一致，無法通過避一次障礙消除后續(xù)碰撞風(fēng)險；

2)對控制器瞬時推力要求大，對控制器要求高；

3)在時間固定的轉(zhuǎn)移任務(wù)中，需要消耗大量燃料以完成任務(wù)。

圖2 三脈沖避障策略Fig.2 Three-pulse obstacle avoidance strategy

鑒于燃料的重要性，航天器動態(tài)避障需要考慮能量最優(yōu)、燃料最優(yōu)。同時，為簡化追蹤航天器與目標(biāo)航天器之間的動態(tài)避障軌跡規(guī)劃問題模型，不失一般性，做如下假設(shè)：

1)地球為均質(zhì)球體，完全中心引力場；

2)航天器與空間物體(障礙物)在空間中所占區(qū)域用半徑已知的球體表示；

3)航天器在近地圓軌道上運(yùn)行；

4)追蹤航天器相對目標(biāo)航天器的距離遠(yuǎn)小于目標(biāo)衛(wèi)星軌道半徑；

5)目標(biāo)航天器未施加主動控制，追蹤航天器具有機(jī)動能力(各個方向均安裝推力器，可提供任意矢量方向的推力，施加推力前不需要建立點(diǎn)火姿態(tài))。

2 能量最優(yōu)相對軌跡規(guī)劃

2.1 相對運(yùn)動建模

本文的追蹤航天器與目標(biāo)航天器滿足C-W方程要求，建立以目標(biāo)航天器質(zhì)心Ot為原點(diǎn)的相對坐標(biāo)系：Xt軸與目標(biāo)航天器位置矢量r重合，由地心指向目標(biāo)航天器；Yt軸在目標(biāo)航天器軌道面內(nèi)與Xt軸垂直，沿運(yùn)動方向為正；Zt軸垂直與軌道平面，與Xt軸，Yt軸構(gòu)成右手系。軌道相對運(yùn)動方程為：

(1)

式中：x,y,z為目標(biāo)軌道坐標(biāo)系中追蹤航天器的位置分量；ux,uy,uz為追蹤航天器的軌道控制加速度；n為目標(biāo)航天器軌道角速度。

(2)

2.2 能量最優(yōu)下的相對運(yùn)動規(guī)劃

路徑明確下的軌道機(jī)動通常需要考慮能量、時間等綜合因素對目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，應(yīng)用最優(yōu)控制理論建立如下有限時間能量最優(yōu)性能指標(biāo)[16]，如式(3)。

(3)

式中：t0和tf分別為初始時刻和終端時刻。根據(jù)最優(yōu)控制理論基礎(chǔ)方程[16]，推導(dǎo)出能量最優(yōu)下的位置與速度模型如式(4)所示。

(4)

3 連續(xù)動態(tài)避障軌跡優(yōu)化

3.1 規(guī)避障礙安全距離建模

在上述規(guī)劃路徑上，如存在動態(tài)障礙物，則需進(jìn)一步考慮動態(tài)避障問題。雖然在初始時刻即考慮障礙物位置與速度進(jìn)行軌跡規(guī)劃，但由于空間中存在的各種影響以及C-W方程局限性，最終有可能導(dǎo)致對障礙物軌跡預(yù)測出現(xiàn)誤差累計，從而發(fā)生偏移，導(dǎo)致結(jié)果如圖3所示。本文在能量最優(yōu)規(guī)劃基礎(chǔ)上，融合軌跡偏移誤差模型和正態(tài)分布模型，建立了動態(tài)障礙物軌跡偏移下的規(guī)避障礙安全距離模型。

圖3 累計誤差導(dǎo)致的軌跡偏移Fig.3 Trajectory shift caused by cumulative error

在沒有施加控制量時，可以根據(jù)初始時刻狀態(tài)向量求得任意時刻障礙物的相對狀態(tài)量值，如式(5)所示[3]，即可獲得障礙物隨規(guī)劃時間變化的狀態(tài)量。

X(ti)=Φ(ti,t0)X(t0)

(5)

由于C-W方程的線性化誤差、小偏心率誤差以及攝動誤差主要體現(xiàn)在切向(y向)[17]上，包括位置預(yù)報的長期誤差和周期性誤差；x與z向誤差均為周期項且小于y向，所以本文主要考慮y向的偏移，如式(6)。

(6)

在考慮動態(tài)障礙物軌跡偏移基礎(chǔ)上，基于如下假設(shè)構(gòu)建規(guī)避障礙安全距離模型：障礙物軌跡偏移服從正態(tài)分布模型[18]，障礙物包圍球半徑(期望)μ(t)=ro(t)=ro(t0)+|Δy(t)|，隨時間逐漸變大；時間越長，預(yù)報的準(zhǔn)確性降低，設(shè)規(guī)劃t0～tf時間間隔內(nèi)，期望處概率在f(μ(t))∈[ξ0,ξf]之間(該值相當(dāng)于疊加了擾動，該值越小說明對預(yù)報軌道的信賴度越低)，求解該時間段內(nèi)方差σ(t)范圍。根據(jù)追蹤航天器規(guī)避障礙準(zhǔn)確率，使其軌跡始終保持在障礙中心距離(期望)對應(yīng)的σ(t)之外即可。

圖4 z軸視角下的規(guī)避障礙安全距離模型Fig.4 Obstacle avoidance safety distance model from z-axis perspective

3.2 避障點(diǎn)選取

通過構(gòu)建規(guī)避障礙安全距離模型，可在每一時刻獲得追蹤航天器與障礙物避免發(fā)生碰撞的最小安全距離。若障礙物具有一定速度殘留，為防止碰撞，需對其與追蹤航天器的速度矢量進(jìn)行分析，提高規(guī)避障礙的效率，降低后續(xù)碰撞發(fā)生概率，構(gòu)建動態(tài)避障點(diǎn)選取模型如圖5所示。原軌跡為初始規(guī)劃軌跡，與障礙物O的包絡(luò)相交于A，B點(diǎn)。

圖5 動態(tài)避障點(diǎn)選取Fig.5 Dynamic obstacle avoidance point selection

(7)

令cosφ=

(8)

取e′OC為eOC的最終值，由3.1節(jié)確定障礙物球心到避障點(diǎn)長度為rc=μoi(t)+2σoi(t)，此時避障點(diǎn)C的慣性系位置矢量Pc如式(9)所示：

Pc=(kcrc)eoc+Po

(9)

式中：Po為故障物質(zhì)心慣性系位置矢量，kc為追蹤航天器安全系數(shù)，將其視為質(zhì)點(diǎn)時kc=1；若考慮為有大小的物體時，kc>1。

3.3 連續(xù)動態(tài)修正能量最優(yōu)避障策略

如3.2節(jié)避障點(diǎn)選取，已知唯一確定點(diǎn)C位置矢量，于是構(gòu)建動態(tài)修正避障示意圖如圖6所示。

圖6 動態(tài)修正避障Fig.6 Dynamic correction obstacle avoidance

原軌跡在與第一個障礙物相交產(chǎn)生避障點(diǎn)C1后，將會根據(jù)下一個障礙物情況實時生成新的避障點(diǎn)C2，經(jīng)過這樣多次修正，規(guī)劃的軌跡將始終滿足實時的能量最優(yōu)的要求。于是，結(jié)合3.1節(jié)和3.2節(jié)，構(gòu)建連續(xù)動態(tài)避障點(diǎn)優(yōu)化如圖7所示。

圖7 連續(xù)動態(tài)避障算法Fig.7 Continuous dynamic obstacle avoidance algorithm

根據(jù)圖7，軌跡修正部分的具體算法步驟如下：

1)根據(jù)原軌跡與各障礙物預(yù)報軌跡在時間間隔t0～tf進(jìn)行碰撞判斷，若發(fā)生碰撞則i=i+1(i的初始值為1)，進(jìn)入步驟2)，否則退出進(jìn)入步驟6)；

2)尋找時間序列中最近的時間toi以及其對應(yīng)A與B點(diǎn)位置矢量；

3)根據(jù)障礙物當(dāng)前速度矢量以及軌跡預(yù)報生成的規(guī)避概率確定唯一修正點(diǎn)C，點(diǎn)C位置矢量與時刻toi確定，速度矢量為原軌跡中toi對應(yīng)速度；

4)根據(jù)時刻toi為界，將規(guī)劃問題分為初始時刻為t0終端時刻為toi以及初始時刻為toi終端時刻為tf的兩段軌跡規(guī)劃，并更新原軌跡；

5)判斷t0～toi間隔輸出的原軌跡(已更新)是否與障礙發(fā)生碰撞：

(1)若發(fā)生碰撞則不改變i的賦值，使原軌跡為t0～toi間隔輸出的原軌跡并進(jìn)入步驟2)；

(2)若未發(fā)生碰撞則使原軌跡為toi～tf間隔輸出的原軌跡，后令t0=toi，進(jìn)入步驟1)。

6)最終將軌跡中每個時間段的性能指標(biāo)按照如式(3)相加用以描述軌跡規(guī)劃性能并輸出軌跡。

4 仿真校驗與分析

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為了對所提出的避障方法進(jìn)行仿真校驗，利用Matlab構(gòu)建算法程序，整個運(yùn)行環(huán)境如表1所示。

467例急性心肌梗死β受體阻滯劑的應(yīng)用狀況及影響因素分析………………………… 陳瑾瑾，劉培延，張 倩（5·371）

表1 仿真環(huán)境參數(shù)Table 1 Simulation environment parameters

本節(jié)以追蹤航天器躲避障礙物且接近目標(biāo)航天器為例進(jìn)行仿真，目標(biāo)航天器為近圓軌道運(yùn)行，其在慣性坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)參數(shù)、以及仿真環(huán)境參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 仿真參數(shù)設(shè)置Table 2 Simulation parameter setting

在本例中，追蹤航天器與目標(biāo)航天器處于異面狀態(tài)，根據(jù)空間近距離路徑規(guī)劃要求，兩航天器之間的相對距離不得超過10 km。于是，設(shè)置兩航天器的初始軌道根數(shù)如表3所示；兩航天器在地心慣性坐標(biāo)系下的初值如表3所示；兩航天器在相對坐標(biāo)系下的初始值如表5所示。同時，設(shè)置空間動態(tài)障礙物的數(shù)量為5個，初始狀態(tài)與誤差如表6，表7所示。

表3 兩航天器的初始軌道根數(shù)Table 3 Number of initial orbits of two spacecraft

表4 兩航天器在地心慣性坐標(biāo)系下的初值Table 4 Initial values of the two spacecraft in the geocentric inertial coordinate system

表5 兩航天器在相對坐標(biāo)系下的初值Table 5 Initial values of two spacecraft in relative coordinate system

表6 障礙物在相對坐標(biāo)系下初始狀態(tài)Table 6 Initial state of obstacles in relative coordinate system

表7 障礙物在相對坐標(biāo)系下初始狀態(tài)誤差Table 7 Initial state error of obstacle in relative coordinate system

4.2 仿真與分析

根據(jù)表1～6進(jìn)行仿真環(huán)境初始化，對能量最優(yōu)的航天器連續(xù)動態(tài)避障軌跡規(guī)劃算法進(jìn)行仿真驗證，并根據(jù)表7與式6獲得了5個動態(tài)障礙物y向誤差偏移量(如圖8)。

圖8 動態(tài)障礙物軌跡偏移量Fig.8 Dynamic obstacle trajectory offset

根據(jù)圖7算法流程構(gòu)造的連續(xù)動態(tài)避障軌跡規(guī)劃算法，輸出的動態(tài)避障軌跡的哈密頓函數(shù)曲線與軌跡如圖9～10所示。從圖9中可以看出，追蹤航天器每段成功避障后的軌跡均通過哈密頓曲線能量最優(yōu)的驗證，且在時刻t1=192s和t2=638 s時進(jìn)行了有效的避碰操作，累計規(guī)避兩次障礙。

圖9 動態(tài)障礙規(guī)避中的哈密頓函數(shù)Fig.9 Hamiltonian function in dynamic obstacle avoidance

從圖10可以看出，原軌跡(未設(shè)置動態(tài)障礙的軌跡，虛線)會與3個障礙物(障礙物1、3、4)前后發(fā)生碰撞；而經(jīng)連續(xù)動態(tài)避障算法優(yōu)化后的轉(zhuǎn)移軌跡(實線)，能夠根據(jù)避障點(diǎn)選取規(guī)則確定的避障點(diǎn)(圖中五角星標(biāo)記)有效地規(guī)避空間動態(tài)障礙，并且成功排除1次原有的碰撞風(fēng)險。同時，為完整呈現(xiàn)整個動態(tài)仿真過程，對追蹤航天器與每個障礙物的實時距離與安全距離進(jìn)行模擬，如圖11所示。

圖10 連續(xù)動態(tài)避障軌跡Fig.10 Continuous dynamic obstacle avoidance trajectory

圖11 航天器與障礙物距離曲線Fig.11 Distance curve between spacecraft and obstacles

為描述直觀，將圖11中3個有碰撞風(fēng)險的障礙物包絡(luò)與追蹤航天器質(zhì)心之間的距離曲線放大，如小圖所示：3個障礙物與追蹤航天器之間的距離在動態(tài)過程中始終保持在安全距離(0標(biāo)準(zhǔn)距離)之外，有效地躲避了碰撞的發(fā)生。

考慮工程實際，根據(jù)工質(zhì)燃料消耗公式，假設(shè)追蹤航天器推進(jìn)器比沖Isp=3000 s(現(xiàn)有的推進(jìn)系統(tǒng)很容易達(dá)到[20-21])，可獲得避障過程中消耗的實際工質(zhì),基于此得出如表8的統(tǒng)計分析。

表8 有無動態(tài)避障的速度增量與工質(zhì)消耗對比Table 8 Comparison of speed increase and working fluid consumption with or without dynamic obstacle avoidance

從表6看出，追蹤航天器通過規(guī)避2個障礙物得出的軌跡，其性能指標(biāo)增加了3.77%，速度增量增加0.65%，工質(zhì)消耗增加了0.77%。因此，動態(tài)避障軌跡規(guī)劃算法能夠通過增加微量燃料消耗，來滿足規(guī)避動態(tài)障礙的任務(wù)要求。

5 結(jié) 論

本文提出的能量最優(yōu)實時動態(tài)避障算法，能夠?qū)崿F(xiàn)障礙物具有動態(tài)不確定性下的能量最優(yōu)軌跡轉(zhuǎn)移。根據(jù)空間相對運(yùn)動特殊性，本文融合線性相對運(yùn)動方程與有限時間的能量最優(yōu)模型，推導(dǎo)了相對運(yùn)動能量最優(yōu)模型。考慮空間障礙物動態(tài)變化，將其y向誤差偏移與中心正態(tài)分布概率引入規(guī)避障礙安全距離模型中，確定追蹤航天器的軌跡禁區(qū)，給出最小安全距離。同時，提出一種動態(tài)避障點(diǎn)的選取規(guī)則，對避障點(diǎn)的具體位置進(jìn)行了幾何約束，有效減小后續(xù)碰撞發(fā)生概率的同時使燃料的消耗盡可能最少。仿真驗證表明，連續(xù)動態(tài)避障算法符合能量最優(yōu)性，具有較高的安全性和可靠性。