陳生

【摘要】高中立體幾何是學(xué)生感到困難的知識(shí)點(diǎn)之一.立體幾何是平面幾何的升華，是幾何從二維到三維的轉(zhuǎn)變.學(xué)生認(rèn)為立體幾何比較難的原因是平面幾何我們可以直觀看到，而立體幾何我們不宜直觀看到，如房屋我們一般只能看到它的一個(gè)面，很難去觀察房屋的整體框架，并且平面幾何只有“點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線”這三種關(guān)系，但是立體幾何有“點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面”這六種關(guān)系.雖然立體幾何相對(duì)平面幾何較難，但是在高中數(shù)學(xué)中，立體幾何作為平面幾何的后續(xù)課程，歷年高考中也占有很大的比重，所以學(xué)好立體幾何是高中生提分的關(guān)鍵.故怎樣去學(xué)習(xí)立體幾何是高中數(shù)學(xué)教師所要探究的內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】高中;立體幾何

一、高中立體幾何認(rèn)識(shí)分析

立體幾何有著悠久的歷史，從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶《九章算術(shù)》，到古希臘數(shù)學(xué)家所著的《幾何原本》，我們可以感受到立體幾何問(wèn)題是我們一直以來(lái)不斷研究的問(wèn)題.立體幾何包括：空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，常見(jiàn)的幾何形體的性質(zhì)等.而且立體幾何問(wèn)題也應(yīng)該緊跟時(shí)代的發(fā)展，把理論與實(shí)踐結(jié)合，更充分地運(yùn)用到生產(chǎn)生活中去.

學(xué)生認(rèn)為立體幾何難，主要原因是其空間理解能力不足.因此，在出現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)注意解決空間立體幾何問(wèn)題.在幾何學(xué)中，空間的使用變得越來(lái)越重要，所以在教學(xué)中教師需要予以重視.在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師只是將立體幾何問(wèn)題視為簡(jiǎn)單問(wèn)題，但是立體幾何卻是高中課程的重點(diǎn)，而且立體幾何和向量相結(jié)合擴(kuò)大了幾何問(wèn)題的范圍，因此教師在立體幾何問(wèn)題上更應(yīng)該花更多精力去探究.

二、立體幾何入門(mén)學(xué)習(xí)

1.重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)

基礎(chǔ)知識(shí)是立體幾何入門(mén)學(xué)習(xí)的根基.立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)包括立體幾何相關(guān)的概念、公理、定理和方法.這些基本概念、公理、定理和方法在我們生活中經(jīng)常遇到，但是用數(shù)學(xué)的符號(hào)和概念表示出來(lái)，學(xué)生在理解上就會(huì)有一定困難.例如在學(xué)習(xí)中心投影和平行投影時(shí)，它的定義非常長(zhǎng)，對(duì)想象力不好的學(xué)生會(huì)有一定困難.所以教師應(yīng)該讓學(xué)生在了解知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上觀察直尺在長(zhǎng)LED燈下的成像，并觀察直尺在燈泡下的成像，使立體幾何知識(shí)盡量與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程靠近，借助實(shí)物幫助學(xué)生更直觀地理解立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí).另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定理證明.定理證明包括線與線、線與面、面與面的平行和垂直六種關(guān)系的證明，定理證明的訣竅就是用簡(jiǎn)單的證明復(fù)雜的.例如證明面面平行時(shí)，我們可以先證明線線平行再證明線面平行，最后證面面平行.

2.逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何不能被數(shù)學(xué)中的任何章節(jié)取代，因此，多年來(lái)高考中一直有立體幾何的題目.在證明時(shí)，我們必須首先保持嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，對(duì)任何定義、定理和推理的理解都必須準(zhǔn)確，不要對(duì)不確定的條件下結(jié)論.其次，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)使用分析方法，即逐步找到要建立結(jié)論的充分條件，靠近已知條件，然后以綜合的形式寫(xiě)出.

3.培養(yǎng)空間想象力

高中教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力進(jìn)行培養(yǎng).那該如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力呢？首先，教師可以讓學(xué)生模仿課本畫(huà)圖.數(shù)學(xué)課本上有許多立體幾何相關(guān)的圖畫(huà)，對(duì)比著模仿主要是讓學(xué)生提前了解自己可以畫(huà)到哪一步，讓學(xué)生帶著問(wèn)題有針對(duì)性地去聽(tīng)講，這樣學(xué)生對(duì)立體幾何的空間想象能力會(huì)更好.其次，教師在黑板上畫(huà)圖向?qū)W生講解.教師講解時(shí)要有順序，講清先畫(huà)哪一步再畫(huà)哪一步，使學(xué)生掌握畫(huà)圖的規(guī)律.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去理解空間圖形，有的時(shí)候角度不同，最終表達(dá)的結(jié)果也不同.最后，教師須要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)看圖說(shuō)話的能力，讓學(xué)生通過(guò)直觀圖挖掘其中的有用信息.例如讓學(xué)生用語(yǔ)言文字形容構(gòu)成直觀圖的基本圖都有哪些、相等關(guān)系如何等，也可以讓學(xué)生根據(jù)圖形自己編出一些問(wèn)題去解答，這樣不僅可以復(fù)習(xí)幾何知識(shí)，還可以幫助學(xué)生形成空間想象能力和思維發(fā)散能力.

4.“轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

在立體幾何的證明中，“轉(zhuǎn)化”是經(jīng)常用到的一種思想.轉(zhuǎn)化思想也就是把問(wèn)題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力.所以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵是要清楚這兩種形式分別是什么，兩種形式之間的關(guān)系是什么.

（1）點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換.線和線、線和面、面和面的平行和垂直關(guān)系是相互依賴(lài)的，可以在某些條件下相互轉(zhuǎn)換.例如在線面垂直判定定理中，可由線和線的垂直推斷出線和面的垂直，在面面垂直定理中，可由線和面的垂直推斷出面和面的垂直等.數(shù)學(xué)思想的滲透和轉(zhuǎn)化可以加深學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的理解，提高教學(xué)效率.

（2）體積問(wèn)題的轉(zhuǎn)換.在推導(dǎo)金字塔體積公式的過(guò)程中，“補(bǔ)體法”和“切割法”是常用的方法.可利用四面體和平行六面體之間的關(guān)系，以體積為媒介來(lái)傳達(dá)相關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而解決問(wèn)題.

（3）空間幾何問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)變.將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)換為平面幾何問(wèn)題是學(xué)習(xí)立體幾何最重要的問(wèn)題解決方法之一.例如，將線和面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線和線垂直的平面幾何問(wèn)題，將關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成關(guān)于軸截面的平面幾何問(wèn)題等.

5.善于總結(jié)規(guī)律和規(guī)范作答

立體幾何相關(guān)的定理多、亂、雜，因此需要教師去探索總結(jié)其中的規(guī)律，從而更好地幫助學(xué)生記憶和運(yùn)用這些規(guī)律.但是立體幾何相關(guān)的知識(shí)有其內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，例如線和線平行（或垂直）、線和面平行（或垂直）、面和面平行（或垂直）.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們必須繼續(xù)總結(jié)并且不斷提高.筆者認(rèn)為可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行總結(jié).

（1）數(shù)學(xué)知識(shí)方面.高考試題對(duì)能力要求越來(lái)越明顯，比如垂直和平行的判定和性質(zhì)（即線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直）在各類(lèi)試卷中頻繁出現(xiàn).而向量又是高中數(shù)學(xué)的新增重要內(nèi)容，故向量和垂直、平行的判定和性質(zhì)就更受命題者的青睞.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果能夠巧妙地解決該知識(shí)點(diǎn)的核心問(wèn)題，將會(huì)取得事半功倍的效果.

（2）數(shù)學(xué)題型和解題技巧方面.在高考中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)有關(guān)立體幾何的平行、垂直位置關(guān)系的論證題型，這就須要我們先由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找思路，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線.

① 求點(diǎn)到直線的距離：可以先作點(diǎn)到直線的垂線，再在三角形中求解.

② 求兩條異面直線間的距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長(zhǎng).

③ 求點(diǎn)到平面的距離：一般找出過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算.如果利用已知點(diǎn)求解距離困難時(shí)，我們可以把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)上去求點(diǎn)到平面的距離.求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解.高考是按照步驟和關(guān)鍵點(diǎn)給分，因此教師在引導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)要步驟清楚，書(shū)寫(xiě)規(guī)范.

三、教師引導(dǎo)學(xué)生入門(mén)學(xué)習(xí)的方法

1.重視圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的教學(xué)

教師有必要從最基本的平面圖形和幾何圖形開(kāi)始，做好示范和嚴(yán)格的要求，引導(dǎo)學(xué)生制作出精美的三維直觀圖片，幫助學(xué)生建立空間的想象力和直覺(jué).

（1）在幾何教學(xué)中，教師逐步總結(jié)空間圖形的繪制方法.教師應(yīng)盡量利用空間圖形進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)繪圖，讓學(xué)生看到畫(huà)圖的全過(guò)程.

（2）在解決問(wèn)題的實(shí)踐中，讓學(xué)生以練習(xí)和運(yùn)用為主.在證明幾何試題時(shí)，學(xué)生應(yīng)盡量自己畫(huà)出圖形.當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師應(yīng)該及時(shí)幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，告訴學(xué)生正確的方法.

（3）觀察是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步，因此教師應(yīng)該讓學(xué)生多觀察，多模仿.觀察是一種有目的且循序漸進(jìn)的感知活動(dòng).在教學(xué)中，教師在講授概念、公理和定理時(shí)，可讓學(xué)生觀察周?chē)沫h(huán)境，回憶生活經(jīng)驗(yàn)并獲得事物的感知，這能幫助學(xué)生更好地理解圖形.在此基礎(chǔ)上，教師還要善于指導(dǎo)和幫助學(xué)生使用鋼筆、尺子、書(shū)桌、書(shū)籍等理解平面的概念以及空間中線與面之間的位置關(guān)系.在幾何教學(xué)中，用直觀的實(shí)物解釋抽象概念非常有用，有助于學(xué)生理解和記住抽象概念.

2.建立和諧的師生關(guān)系

良好的師生關(guān)系不僅能提高課堂的教學(xué)效率，還能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣.教師不僅僅是學(xué)生的教導(dǎo)者，還應(yīng)該是學(xué)生的指引者，指引學(xué)生入門(mén)立體幾何，指引學(xué)生提高邏輯論證能力和空間想象力，指引學(xué)生掌握學(xué)習(xí)立體幾何的規(guī)律和立體幾何典型題目的解題方法.

3.開(kāi)展合作討論教學(xué)

首先，制造問(wèn)題.問(wèn)題情境的設(shè)置可以激發(fā)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，并激發(fā)他們的思維差異.利用問(wèn)題的多種解決方案的特點(diǎn)，在解釋“你能想出多少方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題”之前，先提出問(wèn)題讓學(xué)生的探究熱情迸發(fā)出來(lái).其次，小組討論.鑒于一些學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何缺乏信心，因此筆者更喜歡使用小組討論的形式來(lái)探索問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程中，教師要尊重學(xué)生的個(gè)體差異，提出和討論個(gè)性化的觀點(diǎn)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)他人的教育和自我教育.每個(gè)學(xué)生都可以在現(xiàn)有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上獲得一定程度的提高，并得到全面發(fā)展.

四、總結(jié)

通過(guò)以上學(xué)習(xí)方法和教學(xué)方法的探討，希望能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到立體幾何問(wèn)題既有靈活性又有規(guī)律性，幫助學(xué)生更好更快地進(jìn)入立體幾何的入門(mén)學(xué)習(xí)中.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張俊利.新課標(biāo)立體幾何教學(xué)的策略和方法[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2013（16）：131-132.

[2]馬成瑞.高中立體幾何的起步教學(xué)[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，8（3）：28-31.

[3]張培培.淺談高中立體幾何的入門(mén)學(xué)習(xí)[J].學(xué)周刊c版，2014（12）：162-163.