程 龍，張方華

（南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京211106）

0 引言

由鋰電池和超級電容組成的混合儲能系統(tǒng)（HESS）［1-2］彌補了單一儲能系統(tǒng)特性的不足，被廣泛地用于平抑可再生能源發(fā)電系統(tǒng)［3］、電動汽車電力系統(tǒng)［4］、多電飛機電力系統(tǒng)［5］的功率波動。鋰電池具有高能量密度，被用于響應幅值低、波動慢的低頻功率分量。超級電容具有高功率密度，被用于響應幅值高、波動快的高頻功率分量。因此，只有根據(jù)儲能介質(zhì)自身的特性，才能更合理地分配波動功率。故本文提出量化儲能介質(zhì)頻率特性的方法，將其作為負荷功率頻率劃分的參考。在HESS 中，負荷功率分解后的高、低頻分量要與所對應的儲能介質(zhì)特性相匹配，這樣才能充分發(fā)揮儲能介質(zhì)自身的特性。因此，功率分配方法是平抑功率波動的關鍵因素之一［6］。通常采用濾波的方法將負荷功率根據(jù)儲能介質(zhì)的頻率特性進行高、低頻分解。低通濾波方法因原理簡單、易實現(xiàn)，在能量管理系統(tǒng)中被廣泛應用［7］。但低通濾波器存在相位延遲，容易引起高、低頻功率分量的頻率劃分不清晰，且易造成容量配置冗余度過大等問題［8］。

小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)時域和頻域的相互轉(zhuǎn)換，同時具有局部化和多分辨率特性，適用于非平穩(wěn)信號，因此得到廣泛的關注［9-10］。小波變換的關鍵在于小波基和分解層數(shù)的優(yōu)化，優(yōu)化結果直接影響負荷功率的頻率分配結果。文獻［7］將用于電能質(zhì)量分析的db4 小波基直接用于風電功率波動的分析，但是兩者在時間尺度、波動幅值、能量等因素上存在較大的差異。文獻［11］通過計算風電功率與小波變換濾波器組的低通濾波器系數(shù)之間的互相關系數(shù)，選取db6 為最優(yōu)小波基。在小波變換中濾波系數(shù)長度與負荷功率信號的長度存在差異，且計算復雜。小波變換同時存在高、低頻2 組分量，僅用低通濾波器系數(shù)無法全面評價所選小波基的濾波器組系數(shù)。文獻［12］以收斂性和正則性為依據(jù)選取meyer 為最優(yōu)小波基，但實際上具有這些特性的小波基有很多。文獻［8，12］都是直接給出小波變換的分解層數(shù)，并未說明具體原因。文獻［11］根據(jù)超級電容的響應頻率確定小波變換的分解層數(shù)，但超級電容響應頻率的劃定缺乏客觀理論依據(jù)。

為此，本文提出一種基于小波變換的負荷功率頻域分配方法，主要用于解決小波變換中小波基的選取和分解層數(shù)的優(yōu)化這2 個關鍵問題。要求經(jīng)小波變換后的高、低頻分量與儲能介質(zhì)的特性更接近，以充分發(fā)揮儲能介質(zhì)的自身優(yōu)勢。通過算例分析了儲能介質(zhì)頻率特性與小波變換分解層數(shù)的合理性，同時采用HESS 的配置成本驗證互相關系數(shù)之和的正確性。

1 儲能介質(zhì)頻率特性

儲能介質(zhì)的等效時間TET［5］可表示儲能介質(zhì)單體的額定功率與所存儲能量之間的關系，見式（1）。

其中，Es為儲能介質(zhì)單體的額定能量；Pr為儲能介質(zhì)單體的額定功率。

TET表征了儲能介質(zhì)單體以額定功率充／放額定能量所需要的時間。在儲能介質(zhì)單體的一個完整充放電周期內(nèi)，所需要的時間TT為等效時間的2倍，即TT=2TET。因此，定義儲能介質(zhì)的響應頻率fT為：

根據(jù)儲能介質(zhì)的相關參數(shù)，其響應頻率范圍如圖1 所示。圖中，fTD、fTC分別為等效時間最大、最小時鋰電池單體的響應頻率；fTB、fTA分別為等效時間最大、最小時超級電容單體的響應頻率。由圖1 可見，鋰電池的響應頻率范圍大于超級電容的響應頻率范圍，即鋰電池能夠響應超級電容所能響應的頻率分量。但響應高頻分量會增加鋰電池的充放電次數(shù)，縮短其使用壽命［4］。同時，超級電容的最低響應頻率要大于鋰電池的最高響應頻率，超級電容無法響應低頻分量。因此，本文利用鋰電池響應低頻分量，利用超級電容響應高頻分量，這樣可以發(fā)揮儲能介質(zhì)自身特性的優(yōu)勢。

圖1 儲能介質(zhì)的響應頻率范圍Fig.1 Response frequency range of energy storage device

2 離散小波變換

2.1 基本原理

小波變換具有多分辨率分析能力，能夠分辨信號中更多的細節(jié)信息，適用于非平穩(wěn)信號。選用小波變換分析負荷功率信息，能夠更好地分解負荷功率中的高、低頻分量。

小波變換通常分為連續(xù)小波變換和離散小波變換［13］。連續(xù)小波變換中的伸縮、平移相互獨立，小波函數(shù)間有一定的相似性，且其計算量大，存在信息冗余，通常用于理論分析。將連續(xù)小波變換中的伸縮系數(shù)、平移系數(shù)進行離散化，可得離散小波變換形式為：

其中，x(t)為待處理信號；j 為伸縮系數(shù)；k 為平移系數(shù)；ψ(t)為母小波；N為待處理信號的長度。

2.2 小波基的選取

小波基的選取直接影響負荷功率分解后的數(shù)據(jù)特征。通常選取與待處理信號波形相似的小波基進行小波變換分析［14］，這樣能夠更好地體現(xiàn)待測信號的特征。通常采用互相關系數(shù)進行小波基的選?。?5］，其計算式為：

其中，ρx，y為互相關系數(shù)；x 為待測信號；y 為原始信號；cov(x，y)為2 個信號的協(xié)方差；δx、δy分別為信號x、y 的標準差；xi、yi分別為信號x、y 第i 個數(shù)據(jù)點的值；分別為信號x、y 的平均值；n 為待測信號數(shù)據(jù)點總數(shù)。

信號經(jīng)小波變換分解后包含高、低頻2 組分量，故負荷功率信號的互相關系數(shù)同樣需要考慮高、低頻2 組功率分量。為了能夠同時體現(xiàn)高、低頻功率分量的互相關系數(shù)與負荷功率的相關性，本文提出了互相關系數(shù)之和的概念，如式（5）所示?；ハ嚓P系數(shù)之和越大，表明小波變換分解后高、低頻功率整體與剩余功率更相似。因互相關系數(shù)的最大值為1，所以互相關系數(shù)之和的最大值為2。

2.3 分解層數(shù)優(yōu)化

小波變換的分解層數(shù)直接影響負荷功率分解后的頻率劃分。對負荷功率進行頻率劃分的主要目的是發(fā)揮儲能介質(zhì)自身的特性。因此，本文基于超級電容的頻率特性提出一種小波變換分解層數(shù)優(yōu)化方法，負荷功率頻率劃分滿足超級電容的頻域特性。

Mallat 快速算法的提出使離散小波變換的應用變得簡單且易實現(xiàn)。Mallat 快速算法主要包括分解、重構兩部分，以3 層小波變換為例，其示意圖見附錄中圖A1。圖A1（a）進行3 層分解，其中，x(n)為待處理信號數(shù)據(jù)；g(n)為高通濾波器；h(n)為低通濾波器；↓2 表示下2 采樣；D1為第1 層分解的細節(jié)部分，位于小波空間；A1為第1 層分解的平滑部分，位于尺度空間。第1 層分解的小波空間、尺度空間將待處理信號的頻域f1+f2+f3+f4進行對半劃分，小波空間為高頻部分f1，尺度空間為低頻部分f2+f3+f4。第2層分解對第1層分解后的尺度空間進行進一步分解，得到細節(jié)部分D2和平滑部分A2。第3 層分解對第2 層分解后的尺度空間進行進一步分解，得到細節(jié)部分D3和平滑部分A3。3層分解后小波空間中的細節(jié)部分為D1+D2+D3，尺度空間中的平滑部分為A3。小波空間、尺度空間滿足直和關系。圖A1（b）進行3 層分解的重構，↑2 表示上2 采樣。將每層的細節(jié)部分、平滑部分進行上2 采樣，并進行相應濾波可得到上一層的平滑部分，最終可得到原始信號。

Mallat 快速算法中小波空間、尺度空間的頻率劃分范圍主要由小波變換的分解層數(shù)決定。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，定義負荷功率的采樣頻率為fs，則負荷功率的頻譜不能超過fs/2。離散小波變換的Mallat快速算法的分解層數(shù)與采樣頻率之間的關系見圖2。第1 層分解的尺度空間、小波空間的頻率范圍分別為[0，fs/4]、( fs/4，fs/2]；第2 層分解是對第1 層的尺度空間頻率進行劃分，第2 層的尺度空間、小波空間的頻率范圍分別為[0，fs/8]、( fs/8，fs/4]。每層分解都是對上一層尺度空間的頻率范圍進行平均劃分。

圖2 分解層數(shù)與采樣頻率的關系Fig.2 Relationship between decomposition level and sampling frequency

超級電容用于響應負荷功率的高頻分量，根據(jù)圖1 可以確定超級電容響應負荷功率高頻分量的最低頻率。因此，以超級電容單體等效時間最大時的響應頻率fTB為基準，與圖2 中小波空間的頻率進行匹配。第l 層分解的小波空間頻率范圍為( fs/2l+1，fs/2l]，實際分配的負荷功率頻率不能小于超級電容的最低響應頻率，即：

3 算例分析

以某一段飛機負荷功率Pload數(shù)據(jù)為例［5］進行算例仿真分析，具體相關參數(shù)見附錄中表A1。發(fā)電機響應平均功率Pavg，HESS 響應剩余功率Pre。采用小波變換方法對負荷的剩余功率進行高、低頻功率分配。小波變換的2個關鍵參數(shù)的優(yōu)化流程見圖3，主要包括基于互相關系數(shù)的小波基選取和基于儲能介質(zhì)頻率特性的分解層數(shù)優(yōu)化。

圖3 小波變換關鍵參數(shù)的優(yōu)化流程圖Fig.3 Optimization flowchart of key parameters for wavelet transform

3.1 小波基和分解層數(shù)驗證

圖4 典型小波基與負荷功率的互相關系數(shù)Fig.4 Cross correlation coefficient between typical wavelet base and load power

負荷功率的采樣頻率fs=1 kHz，超級電容的最低響應頻率fTB=0.021 Hz，最高響應頻率fTA=0.045 Hz；鋰電池的最低響應頻率fTD=1.37×10?4Hz，最高響應頻率fTC=6.71×10?4Hz［5］。根據(jù)式（6）可計算得到小波變換的分解層數(shù)l ≤14.5，故選取最優(yōu)分解層數(shù)為14層。

3.2 仿真分析

3.2.1 頻率特性

根據(jù)圖1 所示儲能介質(zhì)的響應頻率范圍，分析不同分解層數(shù)下高、低頻功率分量的頻率特性是否符合儲能介質(zhì)的頻率特性。為了充分發(fā)揮儲能介質(zhì)的自身優(yōu)勢，高頻功率分量的頻率主要位于超級電容的最低響應頻率fTB以上，低頻功率的頻率要小于鋰電池的最高響應頻率fTC。

分解層數(shù)l為12—16層時小波變換后低頻功率的頻譜見圖5。由圖可見，分解層數(shù)越少，低頻功率的高頻分量越多，分解層數(shù)為12、13 層時低頻功率中含有較多的高頻分量。此時鋰電池會響應較多的高頻分量，不符合鋰電池的頻率特性。當分解層數(shù)越多時，低頻功率分量的頻率特性就越接近鋰電池的頻率特性。進行15、16 層分解時，低頻功率頻率特性更加符合鋰電池的頻率特性，可充分發(fā)揮鋰電池的自身優(yōu)勢。

圖5 不同分解層數(shù)的低頻功率頻譜Fig.5 Frequency spectrum of low frequency power with different decomposition levels

分解層數(shù)l為12—16層時小波變換后高頻功率的頻譜見圖6。由圖可知，分解層數(shù)越多，高頻功率中含有較多的低頻分量，分解層數(shù)為15、16 層時分解的高頻功率中含有較多的低頻分量，而頻率小于fTB的分量越多，超級電容則需要響應更多的低頻分量；分解層數(shù)為12、13 層時高頻功率中含有少量的低頻分量，高頻功率特性與超級電容的頻率特性更加一致，能夠更好地發(fā)揮超級電容的頻率特性。

圖6 不同分解層數(shù)的高頻功率頻譜Fig.6 Frequency spectrum of high frequency power with different decomposition levels

對比圖5 和圖6 可知，分解層數(shù)為12、13 層時分解的高頻功率中含有少量的低頻分量，但在低頻功率中含有較多的高頻分量，這符合超級電容的頻率特性，卻不符合鋰電池的頻率特性；分解層數(shù)為15、16 層時分解的低頻功率中含有較少的高頻分量，但在高頻功率中含有較多的低頻分量，這符合鋰電池的頻率特性，卻不符合超級電容的頻率特性。綜合上述分析，14層分解同時兼顧了高、低頻功率分量與儲能介質(zhì)的頻率特性，14 層分解的低頻功率與鋰電池頻率特性一致，高頻功率與超級電容頻率特性一致。

3.2.2 互相關系數(shù)

3.3 配置成本驗證

表1 HESS的配置結果Table 1 Configuration results of HESS

小波變換分解后高、低頻功率分量的峰值功率和平均能量如表1所示，其結果直接影響儲能介質(zhì)的配置容量。HESS需同時考慮高、低頻分量所需要儲能介質(zhì)的配置容量，而容量配置需同時滿足功率約束和能量約束，以確定儲能介質(zhì)最終配置的容量大小。

對比表1 中不同小波基的小波變換功率和能量可發(fā)現(xiàn)，haar 小波基的峰值功率和平均能量均小于dmey 小波基的峰值功率和平均能量。因此，基于haar小波基的配置功率和能量也會小于基于dmey小波基的配置功率和能量。雖然rbio3.1小波基的高頻需求能量最小，但由于需求功率非常大，在進行容量配置時，受功率約束限制，對應的超級電容配置能量也會隨之增加。結合文獻［1］中給出的鋰電池單位能量成本為0.273$／（W·h），超級電容的單位功率成本為0.3$／W，可得表1 所示儲能的配置成本，可見haar小波基下HESS的配置總成本最小，rbio3.1小波基下HESS 的配置總成本最高。上述結果驗證了基于互相關系數(shù)之和選取小波基的有效性和正確性。

4 結論

（1）基于儲能介質(zhì)的等效時間，量化了儲能介質(zhì)的頻率特性，解決了傳統(tǒng)方法對儲能介質(zhì)頻率特性主觀判斷不足的問題。

（2）根據(jù)Mallat 快速算法，建立了儲能介質(zhì)頻率與離散小波變換分解層數(shù)之間的關系，實現(xiàn)了對儲能介質(zhì)響應功率頻率的合理劃分。

（3）互相關系數(shù)之和同時考慮了小波變換后高頻功率、低頻功率與原始負荷功率的相關性，為負荷功率選取合適的小波基提供了依據(jù)；通過比較HESS的配置成本，驗證了基于互相關系數(shù)之和選取小波基的正確性。

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