何東林,彭康青

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院， 甘肅 隴南 742500)

有限生成模和有限表示模是同調(diào)代數(shù)中的重要模類,也是刻畫模的多種性質(zhì)的有效工具.有限n-表示模作為有限生成模和有限表示模的一個推廣,許多學(xué)者對此進行了研究[1-5].特別地,Bravo等[5]引入了關(guān)于有限n-表示模的內(nèi)射模和平坦摸,即FPn-內(nèi)射模和FPn-平坦模.Wang等[6]討論了關(guān)于有限表示模的內(nèi)射復(fù)形及復(fù)形的內(nèi)射維數(shù).基于以上研究背景,本文主要研究關(guān)于有限n-表示模的內(nèi)射復(fù)形、平坦復(fù)形及投射復(fù)形,并討論FPn-內(nèi)射復(fù)形和FPn-平坦復(fù)形之間的關(guān)系.

1 定義與引理

用FPnP表示所有FPn-投射模組成的類,則FP0P?FP1P?FP2P?…?FPnP?….

定義2 如果X正合且每個圈Zn(X)是FPn-內(nèi)射模，稱左R-復(fù)形X是FPn-內(nèi)射復(fù)形；

如果X正合且每個圈Zn(X)是FPn-投射模，稱左R-復(fù)形X是FPn-投射復(fù)形；

如果X正合且每個圈Zn(X)是FPn-平坦模，稱左R-復(fù)形X是FPn-平坦復(fù)形.

例1內(nèi)射復(fù)形是FPn-內(nèi)射復(fù)形,FP-內(nèi)射復(fù)形[6]是FPn-內(nèi)射復(fù)形,其中n≥1.投射復(fù)形是FPn-投射復(fù)形,平坦復(fù)形是FPn-平坦復(fù)形.

引理1[5]設(shè)n>1,則(FPnF,FPnI)是一個對偶對.

引理2[5]設(shè)R為環(huán),則以下條件等價：

①R是左n-凝聚環(huán)；②FPnI=FPn+1I；③FPnI是內(nèi)射可解的.

定義3[9]設(shè)(x,y)是Abel范疇上的余撓理論,C是復(fù)形：①稱C是x-復(fù)形,如果C正合且對任意整數(shù)n有Zn(C)∈x.②稱C是y-復(fù)形,如果C正合且對任意整數(shù)n有Zn(C)∈y.③稱C是dg-x復(fù)形,如果對任意整數(shù)n有Cn∈x,且對任意y-復(fù)形Y都有Hom(C,Y) =0.④稱C是dg-y復(fù)形,如果對任意整數(shù)n有Cn∈y,且對任意x-復(fù)形X都有Hom(X,C) =0.

2 主要結(jié)論

定理1模類FPnP關(guān)于擴張、直和及直和因子封閉.

證明先證FPnP關(guān)于擴張封閉.設(shè)(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列,其中U,W∈FPnP.對任意M∈FPn,用函子HomR(-，M)作用于(ε)可得正合列

再證FPnP關(guān)于直和封閉.設(shè)(Ui)i∈I是一族FPn-投射模,對任意FPn-模N有同構(gòu)

最后證明FPnP關(guān)于直和因子封閉.設(shè)M是FPn-投射模且M1是M的直和因子.不妨令M=M1⊕M2,則對任意FPn-模F都有

定理2設(shè)R為左n-凝聚環(huán),則(FPnP,FPnI)是一個完全遺傳余撓理論.

證明由定義1知,FPnP=⊥FPn.由引理1得,(FPnP,FPnI)是一個完全余撓理論.又因為R為左n-凝聚環(huán),由引理2知，F(xiàn)Pn-內(nèi)射模類FPnI是內(nèi)射可解的.因此(FPnP,FPnI)是一個完全遺傳余撓理論.

有了以上結(jié)論,可考慮將定義3中余撓理論特殊地取為(FPnP,FPnI),則FPnP復(fù)形與FPn-投射復(fù)形一致,FPnI復(fù)形與FPn-內(nèi)射復(fù)形一致.

定理3設(shè)R為左n-凝聚環(huán),則以下結(jié)論成立：

1)若復(fù)形X下有界且每個Xn∈FPnP,則X是dg-FPnP復(fù)形.

2)若復(fù)形X上有界且每個Xn∈FPnI,則X是dg-FPnI復(fù)形.

證明根據(jù)定理2及文獻[6]中引理2 易證.

定理4設(shè)M是左R-模,則以下條件等價：

①M是FPn-內(nèi)射模； ②Di(M)是FPn-內(nèi)射復(fù)形.

定理5X是左R-模正合復(fù)形,則Zn(X+)?Zn(X)+,其中X+=Hom(X,D1(Q/Z)).

證明設(shè)X=…→Xn+1→Xn→Xn-1→…為左R-模正合復(fù)形,則

X+=…→Hom(X,∑-(n+1)D1(Q/Z))→Hom(X,∑-nD1(Q/Z))→

Hom(X,∑-(n-1)D1(Q/Z))→….

令α-n：Hom(X,∑-nD1(Q/Z))→Hom(X-n,D1(Q/Z))

f=(fm)m∈Z→α-n(f)=f-n,易知α-n為同構(gòu)且下圖可交換,

…→HomR(X-(n+1),Q/Z)→HomR(X-n,Q/Z)→HomR(X-(n-1)，Q/Z)→…

不妨記上圖中下行復(fù)形記為W,因為X是左R-模正合復(fù)形且Q/Z是Z-模內(nèi)射余生成子,所以Zn(X+)?Zn(W)?HomR(Zn(X),Q/Z)=Zn(X)+.

定理6設(shè)R為左n-凝聚環(huán),X是左R-模復(fù)形,則

X是FPn-平坦復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)X+=Hom(X,D1(Q/Z))是FPn-內(nèi)射復(fù)形.

證明根據(jù)引理1得,Zn(X)是FPn-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)Zn(X+)是FPn-內(nèi)射模,從而由定理5可知,Zn(X)是FPn-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)Zn(X)+是FPn-內(nèi)射模.因為Q/Z是Z-模內(nèi)射余生成子,所以X是正合復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)W為正合復(fù)形.又根據(jù)定義2得,X是FPn-平坦復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)X+=Hom(X,D1(Q/Z))是FPn-內(nèi)射復(fù)形.