馮敏

【摘要】在初中數(shù)學函數(shù)教學中，教師要引導學生熟練掌握并靈活應用數(shù)學思想.學生如果能夠巧妙論證并應用數(shù)學思想方法，就可牢牢抓住解題關鍵，以此提高數(shù)學學習能力.基于此，針對數(shù)學思想在初中數(shù)學函數(shù)教學中的應用相關知識，本文進行了簡單分析.

【關鍵詞】數(shù)學思想;初中數(shù)學;函數(shù)教學;應用

引 言

隨著新課標改革的深入，作為初中階段重要學習科目——數(shù)學科目也發(fā)生了一定的改變.在以往的課堂教學中，因為數(shù)學是高考必考科目，所以教師面臨很大的教學壓力.在實際教學中，很多教師一味追求學生成績，在課堂上為學生灌輸知識以此提高學生成績，但課堂教學效率難以提高.初中階段，函數(shù)教學具有重要的意義，其利于闡述地球運動變化規(guī)律，同時也是一種數(shù)學模型.學生學習函數(shù)問題，利于提升其數(shù)學思維水平.教師在函數(shù)教學中引入數(shù)學思想，對提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)具有非常重要的意義.

1 初中階段數(shù)學思想內(nèi)容

1.1 函數(shù)數(shù)學思想

初中數(shù)學中，變量轉(zhuǎn)換問題比較常見，對于此類問題，教師往往通過函數(shù)數(shù)學思想解決.而函數(shù)思想是指具化抽象變量，并利用變量關系重新構(gòu)建函數(shù)關系式，再借助這一函數(shù)關系式解決實際學習中出現(xiàn)的數(shù)學變量轉(zhuǎn)換問題.由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，建立函數(shù)關系式就是具化抽象問題的過程.教師可引導初中學生深入了解數(shù)學知識蘊含的抽象關系，從而從根本上優(yōu)化和提高學生數(shù)學學習效率.

1.2 數(shù)形結(jié)合學習思想

眾所周知，初中數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合思想的應用非常重要，利于提高教師數(shù)學教學質(zhì)量與學生學習效率.初中數(shù)學知識可簡單地劃分成幾何與函數(shù)兩部分，數(shù)形結(jié)合思想可在幾何與函數(shù)知識間構(gòu)建聯(lián)系，可有效融合抽象與具象化知識.學生掌握這一思想后可很容易地解決數(shù)學幾何與函數(shù)問題.

1.3 分類討論數(shù)學思想

數(shù)學中，很多問題有不確定的已知條件，因而其答案也是不確定的.在實際練習中，為了獲得準確答案，學生要結(jié)合數(shù)學題目中的已知條件進行分類討論，解出不同情況下所對應的正確答案.分類思想與其他數(shù)學思想不同，其重視細節(jié)分析.

1.4 其他思想

當前，初中數(shù)學教學中還有其他數(shù)學思想，比如統(tǒng)計、算法、整體及化歸等思想，每種思想對數(shù)學學習都發(fā)揮著一定的作用.初中數(shù)學課堂教學中，教師作為教學組織者與學生學習的引導者，要積極分析教材內(nèi)容，發(fā)掘教材中蘊含的數(shù)學思想，并靈活應用這些思想引導學生學習數(shù)學知識，加強學生數(shù)學思維與修養(yǎng)的培養(yǎng)，從而使學生更好地理解教材中出現(xiàn)的數(shù)學概念，提高數(shù)學學習自信心.

2 初中函數(shù)教學中包含的數(shù)學思想

2.1 函數(shù)部分包含的數(shù)學思想

初中數(shù)學教學中，函數(shù)部分是整個教學的引入部分，旨在引導學生觀察生活現(xiàn)象，結(jié)合圖像、表格填寫與問題分析等方式，導出函數(shù)中存在的兩個變量及對應關系.此單元的學習利于學生對函數(shù)圖像與變量對應關系形成初步了解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)思想，但其體現(xiàn)程度不高，只是簡單點綴了一下.比如，“自變量可取確定值α，函數(shù)對應值是確定且唯一的，這一對應值就是自變量是α的函數(shù)值”這句話中，簡單點綴了函數(shù)思想，以此增強學生動腦思考的能力.再比如，函數(shù)概念中，描述兩個變量間一一對應的關系，這闡述了函數(shù)概念的同時也初步體現(xiàn)了函數(shù)思想.

2.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)中包含的數(shù)學思想

“一次函數(shù)與正比例函數(shù)”體現(xiàn)了函數(shù)、方程及一般數(shù)學思想，而函數(shù)思想是體現(xiàn)最多的，其在每章節(jié)都有體現(xiàn)，尤其是習題部分最為明顯.比如，一次函數(shù)概念中“如果兩個變量x與y的關系式為y=kx+b（其中k，b為常數(shù)且k≠0），那么就可將y看作x的一次函數(shù)（其中x是自變量，y是因變量）”.y=kx+b是一次函數(shù)的一般形式，而y=kx（b=0）是特殊形式，所以利用概念可直接體會一般與特殊的數(shù)學與函數(shù)思想.

2.3 一次函數(shù)圖像中包含的數(shù)學思想

“一次函數(shù)思想”章節(jié)體現(xiàn)了綜合性數(shù)學思想，包含函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合及分類討論等思想，其中函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)最多.比如，正比例函數(shù)y=kx中，當k>0時，隨著x值的增大y值變大;當k<0時，隨著x值的增大y值變小.此部分中，分類討論k值，以此獲得不同結(jié)果，這是以直觀文字展現(xiàn)數(shù)學思想的分類討論思想.

2.4 一次函數(shù)應用中包含的數(shù)學思想

“一次函數(shù)應用”中充分體現(xiàn)了函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合及化歸等各種思想，而函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想是體現(xiàn)最多的.比如，例題中求兩點連成直線與坐標軸構(gòu)成三角形的面積的問題就是應用函數(shù)圖像來進行解答的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.另外，題目中要求解答圍成圖形面積，要先求出三角形兩條直角邊邊長，此時要明確這條直線與x軸、y軸的交點坐標.所以，整個解答過程中，將求圖形面積變?yōu)榍笾本€與坐標軸交點問題，充分體現(xiàn)了化歸思想.

2.5 反比例函數(shù)中包含的數(shù)學思想

學習反比例函數(shù)是在學習一次函數(shù)的基礎上進行的.初中數(shù)學中，反比例函數(shù)知識包含反比例函數(shù)的定義、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、反比例函數(shù)的應用三部分知識.第一部分是導入，介紹反比例定義，盡管內(nèi)容比較簡單，但蘊含的數(shù)學思想是非常豐富的，因而對解決實際問題至關重要.第二部分圖像與性質(zhì)是利用圖像形式探究函數(shù)性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).第三部分是反比例函數(shù)的應用，旨在考查學生對該函數(shù)知識及數(shù)學思想所掌握的情況與應用意識.

2.6 二次函數(shù)中包含的數(shù)學思想

初中數(shù)學函數(shù)知識中，二次函數(shù)是最后一種函數(shù)類型，也是函數(shù)學習中最難的知識點.二次函數(shù)作為重難點知識，教師必須要重視此部分內(nèi)容的教學.另外，二次函數(shù)知識與后期圓錐曲線與方程根、函數(shù)零點等知識密切相關.初中數(shù)學課本中，二次函數(shù)部分數(shù)學思想以數(shù)形結(jié)合、函數(shù)及方程等各類思想為主，以直觀圖像引導學生深入理解函數(shù)概念，從而使學生更好地掌握函數(shù)性質(zhì).二次函數(shù)中也體現(xiàn)了很多模型思想，以課后練習題最為集中，因而教師要深入發(fā)掘數(shù)學思想并將其與課堂教學融合起來，以此幫助學生學習二次函數(shù)知識，并熟練應用其蘊含的數(shù)學思想解決實際問題.

3 初中數(shù)學函數(shù)教學中數(shù)學思想應用建議

3.1 有效樹立數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是函數(shù)概念深化的重要形式.初中數(shù)學教師要深入了解函數(shù)概念.在日常教學中，初中數(shù)學教師要為學生有效滲透函數(shù)概念.一次函數(shù)圖像表現(xiàn)為一條直線，而二次函數(shù)圖像則表現(xiàn)為一條拋物線，不同函數(shù)其變化趨勢是升降結(jié)合的.反比例函數(shù)圖像為雙曲線，其可向x軸無限延伸.數(shù)學教學中，教師通過應用函數(shù)思想，可為學生帶來直接感官體驗，同時還能引導學生養(yǎng)成直觀的理性思維習慣，這是非常重要的.數(shù)學解析法呈現(xiàn)了自變量與函數(shù)的所有相依關系，因而在理論分析與推導計算中有很強的適用性.與此相比，圖像法能夠直觀地展現(xiàn)函數(shù)變化情況，為研究與記憶創(chuàng)造條件.數(shù)學教學中，教師結(jié)合應用這兩種數(shù)學思想，對學生樹立正確的數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮著重要的作用.

3.2 應用函數(shù)模型思想解決函數(shù)問題

函數(shù)模型思想是指利用運動變化觀點對實際問題中兩個變量間的關系進行研究和分析，構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決實際問題的方法.

比如，某報亭從報社買進某種日報的價格為每份0.30元，而以每份0.50元的價格賣出，如果報紙賣不出去可以每份0.10元退給報社.實際上，一個月（30天）中，有20天每天報紙只能賣出150份，剩余10天每天則能夠賣出200份.假設每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同，那么該報亭每天要買進多少份報紙方可確保本月獲得最大利潤？最大利潤為多少？

分析：本題目包含很多數(shù)據(jù)信息，閱讀理解題意搞清楚各變量間的關系，同時明確自變量取值范圍是解決本題的重點.

解答：假設報亭從報社每日買進報紙x份，其每月賣出獲得的利潤是y元，根據(jù)題意可以得到y(tǒng)=（0.50-0.30）x·10+（0.50-0.30）·150·20-（0.30-0.10）（x-150）·20（150≤x≤200），經(jīng)過簡化可以得到y(tǒng)=-2x+1200（150≤x≤200）.

因該函數(shù)在150≤x≤200時，隨著x值變大y值逐漸減小，因而當x=150時，利潤y取最大值，其最大值是-2×150+1200=900（元）.根據(jù)這一結(jié)果就可得出報亭每日從報社買進150份報紙，當月所獲利潤最大且最大值為900元.

3.3 應用轉(zhuǎn)化思想解答函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化思想是基于某種轉(zhuǎn)化過程，把要解決的問題歸納為容易解決或已經(jīng)解決兩種類型，以此解決原有問題.比如復雜問題的簡化、陌生問題熟悉化以及數(shù)學化問題等，都可應用轉(zhuǎn)化思想解決.

例如：在A，B，C三棟樓間設取奶站，A，B，C三棟樓在同一直線上順次為A樓、B樓、C樓.其中A，B兩棟樓間相距40 m，而B，C兩棟樓間相距60 m.已知A，B，C三棟樓每天取奶人數(shù)分別是20人，70人與60人.問取奶站設在哪個位置可使每天所有取奶的人數(shù)到取奶站的距離總和最小？

解析：假設取奶站設在距A樓x m處，所有取奶的人到取奶站距離總和是y m.如果取奶站在A，B兩樓之間，即0≤x≤40時，那么y=20x+70（40-x）+60（100-x），化簡可得y=8800-110x.因隨著x值變大y值不斷變小，所以當x為40時，y取最小值，是4400;如果取奶站設在B，C兩樓之間，即404400.因此在B樓設立取奶站，每天所有取奶的人到取奶站距離總和是最小的.

3.4 通過探究問題應用數(shù)學思想

數(shù)學思想的應用旨在引導學生有效解決遇到的數(shù)學問題.實際教學中，營造氣氛良好的探究教學氛圍，是應用數(shù)學思想引導學生深入探究數(shù)學問題的重要契機.比如，在二次函數(shù)表達式的教學中，教師可提出以下問題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0），該函數(shù)圖像經(jīng)過（2，6）與（-1，3）兩點，求二次函數(shù)表達式.將（2，6）與（-1，3）兩點坐標分別代入二次函數(shù)表達式，解方程組，進而可得函數(shù)表達式.因此對于上面這種形式的二次函數(shù)，我們只要知道兩個點的坐標就可將其表達式求出來.

結(jié)束語

綜上所述，在初中數(shù)學函數(shù)教學中，作為一名數(shù)學教師要深入了解數(shù)學思想對課堂教學的意義以及發(fā)揮的作用.教師講解函數(shù)問題時，應該應用數(shù)學思想，這樣不僅有利于全面提升教學質(zhì)量，還可以強化學生知識汲取能力.教師在課堂教學中應用數(shù)學思想，可有效啟發(fā)學生數(shù)學思維，提高學生創(chuàng)新水平.因此，優(yōu)秀的初中數(shù)學教師在教學中要有效引入數(shù)學思想，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化以及分類探討等方法，引導學生靈活應用數(shù)學思想解決實際中遇到的數(shù)學問題，以此全面提高學生數(shù)學綜合素養(yǎng).

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