李珍珍

【摘要】曲線擬合最小二乘法是工程實(shí)踐和統(tǒng)計(jì)研究中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，本文為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果采用案例式教學(xué)法，首先給出一個(gè)教學(xué)案例，通過案例分析，引出曲線擬合最小二乘法的一般原理，再給出練習(xí)題來加強(qiáng)學(xué)生對最小二乘法的理解.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算方法;曲線擬合;最小二乘法;案例教學(xué)

計(jì)算方法又稱數(shù)值分析，是理工類本科和研究生的一門重要課程，主要為工程計(jì)算中出現(xiàn)的各類數(shù)學(xué)問題提供適合計(jì)算機(jī)處理的算法，并進(jìn)行誤差分析.該課程的特點(diǎn)是需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識;內(nèi)容多，理論性強(qiáng);實(shí)踐應(yīng)用性強(qiáng)[1].在傳統(tǒng)的講授型教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不大，學(xué)習(xí)效率不高，學(xué)習(xí)效果不佳，因此需要探索更加有效的教學(xué)方法.案例式教學(xué)模式是基于教學(xué)目標(biāo)的要求，依托案例，由教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究以及提升能力的教學(xué)方法[2].本文以曲線擬合的最小二乘法為例，進(jìn)行案例式教學(xué)探索，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)效果.

一、提出案例

在教學(xué)中教師首先提出給藥案例：假設(shè)向患者靜脈注射某種藥物300 mg劑量，在ti h后測得血藥濃度c（ti）μg/mL如表1（一組虛擬數(shù)據(jù)）所示，i=0，1，2，3，4，5.

為保證藥物的療效，血藥濃度應(yīng)保持在最小有效濃度25 μg/mL以上.請預(yù)測：當(dāng)給藥多久后，血藥濃度會下降到25 μg/mL？

二、案例分析

表1中的血藥濃度c（ti）是通過測量得到的，其本身具有一定的測量誤差，如果用這組數(shù)據(jù)通過插值法得到插值多項(xiàng)式，那么該插值多項(xiàng)式保留了這些誤差，不符合原有規(guī)律，因此考慮尋找一個(gè)簡單函數(shù)，使其曲線不必經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，但盡可能接近每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這類問題稱為曲線擬合問題，這個(gè)簡單函數(shù)稱為擬合函數(shù).

為了找到這個(gè)簡單函數(shù)，將表1中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中標(biāo)出來（見圖1）.根據(jù)圖1數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況，考慮用直線擬合這組數(shù)據(jù)，即選{1，t}作為基函數(shù)，求線性函數(shù)p（t）=a+bt，其中a，b是待定參數(shù).為使p（t）的圖形盡可能接近每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，我們令∑5[]i=0（p（ti）-c（ti））2最小，即尋找a，b使函數(shù)

將上述用直線擬合的思路拓寬，我們也可以選曲線擬合，最簡單的是擬合函數(shù)采用n次多項(xiàng)式，比如多取一個(gè)基函數(shù)t2，則擬合函數(shù)為p=a+bt+ct2.

更一般地，若只知函數(shù)y=f（x）在離散點(diǎn)x0

求解上述線性方程組可得系數(shù)a0，a1，…，an的值.

另外，有時(shí)根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布，選擇的擬合函數(shù)是關(guān)于待定參數(shù)的非線性函數(shù)，比如s（x）=aebx，按照使s（x）與f（x）在各離散點(diǎn)處誤差平方和最小的原則，用極值原理建立的法方程組是關(guān)于待定參數(shù)的非線性方程組，這類數(shù)據(jù)擬合問題稱為非線性最小二乘問題[3].

四、練習(xí)題

某縣水庫上游河段降暴雨，根據(jù)測算在ti h上游流入水庫的流量Q（ti）（102 m3/s）如表2，試用最小二乘法擬合表中數(shù)據(jù).

五、結(jié)束語

與傳統(tǒng)的理論講授相比，課堂上首先提出教學(xué)案例，更能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，案例分析能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，接下來能讓學(xué)生更好地理解曲線擬合的最小二乘法，另外，增加課堂練習(xí)題可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】[1] 江志超，鄧鳳茹，畢曉華，等.案例教學(xué)法在研究生數(shù)值分析課程教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].北華航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（06）.

[2] 錢旭.“計(jì)算方法”課程“案例-任務(wù)驅(qū)動(dòng)”的立體化教學(xué)模式探索[J].新課程研究，2017（06）：105-107.

[3] 同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室.現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算（第2版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.