覃創(chuàng)

【摘要】數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要部分.本文通過梳理前人對數(shù)學(xué)抽象的研究，從認(rèn)知發(fā)展的角度和認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來分析數(shù)學(xué)抽象，再結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》和PISA理論，提出了數(shù)學(xué)抽象的五個水平層次.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;認(rèn)知發(fā)展理論;認(rèn)知神經(jīng)科學(xué);PISA理論

1 引 言

在核心素養(yǎng)推進(jìn)的過程中，貢獻(xiàn)最大的應(yīng)當(dāng)是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）.OECD對核心素養(yǎng)的研究起步早，參與人員多，代表性強(qiáng).完整的邏輯體系有三年一次的國際學(xué)生評估項目（PISA）調(diào)查檢驗，其科學(xué)性、合理性得到普遍認(rèn)同.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心要素，因此我們想要理清數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得從數(shù)學(xué)素養(yǎng)談起.1956年10月的《數(shù)學(xué)通報》所刊登的蘇聯(lián)文獻(xiàn)譯稿中就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)一詞，這一詞首次出現(xiàn)在我國教育大綱里是1992年頒布實施的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定歷程由一維走向多維因素共同決定.目前，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已發(fā)展為學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的綜合素質(zhì)，是個體、數(shù)學(xué)、社會生活等方面的綜合體.在數(shù)據(jù)互通、資源共享的時代背景下，越來越多國家認(rèn)可數(shù)學(xué)素養(yǎng)是公民眾多綜合素養(yǎng)之一.我國教育部于2014年3月印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)的意見》提出：核心素養(yǎng)體系的概念和明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以此為依據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點而形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程為載體的，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心要素，具有可操作，可測量，可評價的特征.2017年12月中華人民共和國教育部制定頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下稱《課標(biāo)（2017年版）》）明確提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并從內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)三方面描述了六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).美國著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家M·克萊因曾說：“數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生離不開抽象，正是對數(shù)學(xué)的抽象性和演繹法的堅持造就了今日的數(shù)學(xué)體系.”數(shù)學(xué)抽象是對問題情境中的數(shù)量關(guān)系與空間形式進(jìn)行抽象，從而得到數(shù)學(xué)研究對象的思維抽象過程，反映了數(shù)學(xué)的基本思想和數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.數(shù)學(xué)抽象也是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中必須具備的一種思維品質(zhì)，該思維品質(zhì)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中起著重要的基礎(chǔ)性作用.《課標(biāo)（2017年版）》將數(shù)學(xué)抽象看成是學(xué)生必備的一種素養(yǎng)，更突出了數(shù)學(xué)抽象的重要性.數(shù)學(xué)抽象如此重要，那怎樣來衡量數(shù)學(xué)抽象的抽象層次呢？因此，本文從認(rèn)知發(fā)展的角度和認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來分析數(shù)學(xué)抽象，再結(jié)合《課標(biāo)（2017年版）》和PISA理論，研究數(shù)學(xué)抽象的水平層次.

2 從認(rèn)知發(fā)展的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象

認(rèn)知發(fā)展是個體在適應(yīng)環(huán)境的過程中對事物的認(rèn)知及面對問題情境的思維方式和表現(xiàn)能力.認(rèn)知發(fā)展理論在皮亞杰的認(rèn)知理論中主要體現(xiàn)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的形式運算階段，學(xué)生的思維已經(jīng)擺脫了具體事物的束縛，可區(qū)分形式與內(nèi)容，能用符號演算命題，能根據(jù)假設(shè)進(jìn)行邏輯推理.皮亞杰還從認(rèn)知發(fā)展論的角度描述抽象水平概念的投射和反射機(jī)制.數(shù)學(xué)抽象的水平層次由低到高分為5個水平層次，依次是經(jīng)驗抽象、偽經(jīng)驗抽象、反省抽象、再反省抽象及元反省抽象.經(jīng)驗抽象是憑借主體經(jīng)驗從客體中抽取信息，在整個抽象活動中是最簡單、最基礎(chǔ)的抽象;偽經(jīng)驗抽象是抽取出來的客體屬性對主體屬性有所影響的時候，以這些屬性為對象的抽象活動;反省抽象是從低層次抽取出來的內(nèi)容投射到高層次上，在高層次上進(jìn)行重新組織與建構(gòu);再反省抽象即對反省進(jìn)行反省，使之能夠明確意識到操作中的協(xié)調(diào)，能對結(jié)果進(jìn)行明確的形式化;元反省抽象是對再反省抽象的產(chǎn)物的反省，它不僅能夠直接獲取問題間的結(jié)構(gòu)，還能將提取到的結(jié)構(gòu)概括到不同情境中去，這一抽象只有在個體發(fā)展到形式運算階段才能具備.學(xué)生進(jìn)入高中后，思維已從具體思維發(fā)展到抽象思維，且得到了相當(dāng)大的發(fā)展，可根據(jù)命題結(jié)構(gòu)、模型關(guān)系、演繹方式等解決問題.因此，這一時期是學(xué)生智力發(fā)展的質(zhì)變時期，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵時期.

3 從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象

如何評定教育對象的心理素質(zhì)和特征，直到今日還主要是教育家們的經(jīng)驗之談，缺乏系統(tǒng)的科學(xué)基礎(chǔ).腦的認(rèn)知功能包括知覺、注意、記憶、語言和思維以及智能和意識等心理過程.若將認(rèn)知心理學(xué)和神經(jīng)科學(xué)成果用于人腦認(rèn)知功能的研究，可形成認(rèn)知神經(jīng)科學(xué).認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究目的在于闡明認(rèn)知活動的腦機(jī)制，即人類大腦如何調(diào)用其分子、細(xì)胞、腦組織等組件去實現(xiàn)各種認(rèn)知活動.在我國，認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的總體定位是以高級認(rèn)知功能發(fā)展變化為主，以學(xué)習(xí)和腦的可塑性為核心問題，圍繞學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和機(jī)制以及特殊領(lǐng)域?qū)W習(xí)的認(rèn)知與腦機(jī)制開展認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究，為我國基于腦科學(xué)的教育質(zhì)量的提升、人力資源的開發(fā)和認(rèn)知障礙的矯治等提供依據(jù)，從而促進(jìn)兒童、青少年的智力和心理健康發(fā)展，提升我國人民素質(zhì)和綜合國力.從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象就是數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知活動中的腦機(jī)制反應(yīng).大腦對數(shù)學(xué)抽象的第一層是視網(wǎng)膜神經(jīng)元傳遞視覺信息，不同神經(jīng)信號從不同的樹突傳入細(xì)胞體，由細(xì)胞體進(jìn)行選擇性整合，選擇性整合得到最初的抽象信息;大腦對數(shù)學(xué)抽象的第二層是細(xì)胞集群的同步激活擴(kuò)散，具有相似功能的神經(jīng)元聚集成柱狀結(jié)構(gòu)，與其他神經(jīng)元區(qū)分開來;大腦對數(shù)學(xué)抽象的第三層是信息傳遞在不同的皮質(zhì)區(qū)上對不同對象特征進(jìn)行反應(yīng)，構(gòu)建起相互間的聯(lián)系;大腦對數(shù)學(xué)抽象的第四層是神經(jīng)信息的選擇性整體擴(kuò)散，發(fā)生在不同皮質(zhì)區(qū)的聯(lián)系，從而將其要素關(guān)系推廣到一般.

4 數(shù)學(xué)抽象的水平層次分析

PISA已在2003年和2012年以數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為主要測評對象，PISA2021年將再次以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主要測評對象，且在2019年5月公布了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評框架，框架總體上沒有重大變化，但在內(nèi)涵 、建構(gòu)等方面做了適當(dāng)調(diào)整，總體展現(xiàn)出時代發(fā)展的特色和社會發(fā)展需求.PISA的測試量表可將學(xué)生的精熟度劃分為6個等級水平;在考查上注重學(xué)生的主觀性，測評將知識作為理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的手段，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，衡量學(xué)生解決實際問題的過程，操作起來完整性強(qiáng)、目標(biāo)突出、具有較好的可操作性.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對數(shù)學(xué)抽象的闡述：數(shù)學(xué)抽象是對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，從而得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，并將抽象水平進(jìn)行了層次劃分，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象不僅是一種能力更是將其作為一種素養(yǎng)來看待，但說服力不強(qiáng).由此，數(shù)學(xué)抽象的水平層次是從人們普遍認(rèn)可的皮亞杰認(rèn)知論和科學(xué)的認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)入手，借鑒PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)和《課標(biāo)（2017年版）》對數(shù)學(xué)抽象的描述，通過學(xué)習(xí)遷移得出的.

水平一 數(shù)學(xué)抽象的第一個層次為感知.感知就是能在熟悉的情景中了解抽象的數(shù)學(xué)問題，了解命題條件、結(jié)論及數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，可稱為感知層次.這在認(rèn)知論中就是主體在客體中感知提取信息，由以往經(jīng)驗獲得問題的基本信息，屬于認(rèn)知論中的經(jīng)驗抽象;從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)來看就是視網(wǎng)膜神經(jīng)元傳遞情境里的視覺信息，將不同神經(jīng)信號從不同的樹突傳入細(xì)胞體，經(jīng)細(xì)胞體進(jìn)行選擇性整合后得到最初的條件、結(jié)論等信息.

水平二 數(shù)學(xué)抽象的第二個層次為顯現(xiàn).從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)來看數(shù)學(xué)抽象的顯現(xiàn)水平，就是感知階段得到的最初信息促使細(xì)胞集群的同步激活擴(kuò)散，使具有相似功能的神經(jīng)元聚集成柱狀結(jié)構(gòu)來區(qū)分其他神經(jīng)元，顯示出與其他神經(jīng)元的不同，在認(rèn)知發(fā)展論中顯現(xiàn)就是抽取出來的客體對主體影響時所表現(xiàn)出來的特定屬性抽象活動，可看作顯現(xiàn)層次.顯現(xiàn)就是數(shù)學(xué)抽象對具體情境、問題的初步表現(xiàn)形式，具體表現(xiàn)有：用恰當(dāng)例子解釋簡單數(shù)學(xué)命題，理解命題條件和結(jié)論，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行簡單數(shù)學(xué)運算，抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等.

水平三 數(shù)學(xué)抽象的第三個層次為聯(lián)系.這一層次是在關(guān)聯(lián)情景中抽象出一般數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，構(gòu)建相關(guān)知識間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識體系，可運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)、推理和論證，可稱聯(lián)系層次.對應(yīng)在認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)中就是信息傳遞在大腦不同皮質(zhì)區(qū)上對不同對象特征做出的反應(yīng)，由不同抽象特征建立起相互間的聯(lián)系;認(rèn)知發(fā)生論可將數(shù)學(xué)抽象的聯(lián)系層次看成是由低層次抽取出來的內(nèi)容投射到高層次，在高層次上進(jìn)行組織與建構(gòu)，促進(jìn)相互聯(lián)系.

水平四 數(shù)學(xué)抽象的第四個層次為整合.這一層次的抽象可稱為整合層次，整合從字面上看是把不同類型、不同性質(zhì)的事物組合在一起，使它們成為一個整體.數(shù)學(xué)抽象的整合層次是運用數(shù)學(xué)語言表征抽象出綜合情景中的數(shù)學(xué)問題，然后提煉出一類問題的通性通法及表達(dá)出問題所蘊(yùn)含的思想，從而使得數(shù)學(xué)抽象能夠明確地意識到操作中的協(xié)調(diào)關(guān)系，能將結(jié)果進(jìn)行明確的形式化.其在認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)中就是神經(jīng)元信號有選擇性整體擴(kuò)張，形成不同皮質(zhì)區(qū)的聯(lián)系，從而將其各要素關(guān)系推廣到一般.由此，數(shù)學(xué)抽象的整合層次為數(shù)學(xué)抽象形成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)思想方法、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、語言表征等要素的整合.

水平五 數(shù)學(xué)抽象的第五個層次為反饋.這一層次是在復(fù)雜情景中運用數(shù)學(xué)原理解決問題，認(rèn)知具體現(xiàn)象、表達(dá)自然對象和社會現(xiàn)象，可稱為反饋層次.上面四個層次得到數(shù)學(xué)抽象的四個基本操作步驟，抽象后需要從理論的高度來分析問題和深化問題，使問題本身的意義得到拓展和延伸，還有抽象結(jié)果需要應(yīng)用于社會解決復(fù)雜問題，解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，促使數(shù)學(xué)抽象得到進(jìn)一步提升，這就體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象在現(xiàn)實生活中的研究價值.其在認(rèn)知發(fā)展理論中就是抽象產(chǎn)物的反省思維.反饋不僅能夠獲得問題之間的結(jié)構(gòu)，還需將提取到的結(jié)構(gòu)概括到不同情境中去.

5 總結(jié)

此研究借鑒前人的理論、國際學(xué)生評估項目和《課標(biāo)（2017年版）》中對數(shù)學(xué)抽象的描述，通過對數(shù)學(xué)抽象過程的分析，得到數(shù)學(xué)抽象的5個水平層次，具體為：感知層：能在熟悉的情景中了解抽象的數(shù)學(xué)問題，了解命題條件、結(jié)論及數(shù)學(xué)語言的表達(dá);顯現(xiàn)層：是數(shù)學(xué)抽象對具體情境、問題的初步表現(xiàn)形式，如用恰當(dāng)例子解釋簡單數(shù)學(xué)命題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行簡單數(shù)學(xué)運算，抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等;聯(lián)系層：在關(guān)聯(lián)情景中抽象出一般數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，構(gòu)建相關(guān)知識間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識體系，可運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)、推理和論證;整合層：運用數(shù)學(xué)語言表征抽象出綜合情景中的數(shù)學(xué)問題，能提煉出一類問題的通性通法及表達(dá)出問題所蘊(yùn)含的思想;反饋層：在復(fù)雜情景中，運用數(shù)學(xué)原理解決問題，認(rèn)知具體現(xiàn)象、表達(dá)自然對象和社會現(xiàn)象.前四個層次完成了某一具體數(shù)學(xué)抽象過程，但抽象之后需要從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展和延伸，這就體現(xiàn)出了反饋這一層次.總之，這一數(shù)學(xué)抽象思維水平層次，有利于衡量學(xué)生數(shù)學(xué)抽象狀況，結(jié)合其可設(shè)計有針對性的教育教學(xué)活動，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).