易照雄

【摘要】 從小于20的八個已知質(zhì)數(shù)出發(fā)，由數(shù)值計算去嘗試尋找質(zhì)數(shù)（包括孿生質(zhì)數(shù)）的公式與簡便方法;也可結(jié)合混沌理論中的費根鮑姆常數(shù)以及與質(zhì)數(shù)關(guān)系密切的布朗常數(shù)，通過應用自然對數(shù)和常用對數(shù)，再經(jīng)由數(shù)值計算尋找一個估算質(zhì)數(shù)個數(shù)的經(jīng)驗公式.

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù);偽質(zhì)數(shù);贗質(zhì)數(shù);自然對數(shù);常用對數(shù);費根鮑姆常數(shù);布朗常數(shù)

一、關(guān)于質(zhì)數(shù)的公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7

質(zhì)數(shù)（或稱之為素數(shù)）是指只能被1和其自身所整除的自然數(shù).而合數(shù)則是指通過若干個質(zhì)數(shù)相乘所構(gòu)成的、可以被拆分的自然數(shù).正是在這個意義上，人們將質(zhì)數(shù)視為數(shù)學中的“原子”.分析已知的質(zhì)數(shù)不難看出，所有兩位及兩位以上的質(zhì)數(shù)的個位數(shù)只能是1，3，7，9，無一例外.而個位數(shù)為0，2，4，5，6，8的自然數(shù)，也均無一例外為合數(shù).數(shù)值計算表明，所有大于10的質(zhì)數(shù)都可以由公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7給出.只不過該公式在給出所有質(zhì)數(shù)的同時也給出了相當數(shù)量的合數(shù)，并不全都是質(zhì)數(shù)，實際上，質(zhì)數(shù)也僅僅只是其中的一部分甚至是一小部分而已.這里，當我們把自然數(shù)N（n）代入上述公式后，如果得到的n值為整數(shù)，我們就說自然數(shù)N（n）可以通過“6n”測試.而由此得到的自然數(shù)N（n），我們則稱之為 “6n”質(zhì)數(shù).我們也可以將公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7改寫成N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7，這樣的公式包含了10以內(nèi)的四個質(zhì)數(shù)：2，3，5，7.至于2×3重復出現(xiàn)了兩次，牽強的解釋可能是由2，3可以構(gòu)建5和7，因而2，3顯得比5和7更具基礎(chǔ)性一些.

由上面的表2可知，部分個位數(shù)為1，3，7，9的自然數(shù)，實際上并不是質(zhì)數(shù)，而是一大類可以通過 “6n”測試的合數(shù)，如91，143，187，169，我們暫且將這類屬于“6n”質(zhì)數(shù)的自然數(shù)稱為偽質(zhì)數(shù).我們依次并連續(xù)運用上面（1）（2）那樣的方法，就可以去掉所有類似的非質(zhì)數(shù)（包括偽質(zhì)數(shù)）.這里，我們把建立在公式N（n）=2×3n+5和N（n）=2×3n+7的基礎(chǔ)上并進一步“篩掉”所有非質(zhì)數(shù)的方法，暫且稱為“新篩法”.我們通過這樣的“新篩法”，就有可能篩掉公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7所帶來的包括偽質(zhì)數(shù)在內(nèi)的所有的非質(zhì)數(shù)，最終找到我們所要找尋的質(zhì)數(shù).不難看出，隨著n的增大，一方面上述公式給出了真實的質(zhì)數(shù)，同時也給出了越來越多的非質(zhì)數(shù)，從而導致最終實際給出（存在）的質(zhì)數(shù)越來越稀少.

二、贗質(zhì)數(shù)公式 N（n）=2×3n+3，N（n）=2×3n+9

另外一大類不能通過上面所謂 “6n”測試的自然數(shù)，如21，87，117，141，177，561，1023，16383，10234029，其個位數(shù)也是1，3，7，9，這和前面的偽質(zhì)數(shù)相同.因其仍然為合數(shù)，所以我們暫且稱之為贗質(zhì)數(shù).贗質(zhì)數(shù)可從兩個連續(xù)的“6n” 質(zhì)數(shù)的算術(shù)均數(shù)中得到，且所有的贗質(zhì)數(shù)都可以被3整除，即被稱為贗質(zhì)數(shù)的這類合數(shù)都具有最小的質(zhì)因數(shù)3，或者說兩個n值不同但連續(xù)的“6n”質(zhì)數(shù)之和都可以被6整除.即：

這樣的公式N（n）=6n+3和N（n）=6n+9就是由公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7而得到的贗質(zhì)數(shù)的計算公式.有趣的是，同一贗質(zhì)數(shù)可以出現(xiàn)在這樣的兩個公式中，只不過這時n取兩個不同但連續(xù)的值.例如：561，可以同時有： 6×93+3=561，6×92+9=561，但其他類似的公式卻沒有這樣的情形出現(xiàn).很顯然：

相較于其他類似的公式，比如上面的N（n）=2n+1，N（n）=2n+3和N（n）=3n+1，N（n）=3n+2以及N（n）=4n+1，N（n）=4n+3而言，公式N（n）=2×3n+5與N（n）=2×3n+7給出的計算值不但不包括任何偶數(shù)，也不包括任何贗質(zhì)數(shù)，且所包含的非質(zhì)數(shù)也是這類公式中最少的.而孿生質(zhì)數(shù)（即雙生質(zhì)數(shù)）在公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7中都具有同一個n值.“篩掉”所有非質(zhì)數(shù)及與非質(zhì)數(shù)取相同n值的質(zhì)數(shù)，如25以及與25取相同n值3的質(zhì)數(shù)23，185以及與185取相同n值30的偽質(zhì)數(shù)187，91以及與91取相同n值14的質(zhì)數(shù)89;再“篩掉”孿生偽質(zhì)數(shù)，如119和121.經(jīng)過這樣的篩選，剩下來的就全都是孿生質(zhì)數(shù)了.

另外，如果我們說質(zhì)數(shù)是一切數(shù)的 “原子”，合數(shù)是由若干個質(zhì)數(shù)相乘得到的，那么公式N（n）=3n+1，N（n）=3n+2似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的質(zhì)數(shù)的“原子”，也即任意一個大于等于5的質(zhì)數(shù)都是由若干個2和3相加來構(gòu)成的.還有，5和7出現(xiàn)在前面去掉非質(zhì)數(shù)的“新篩法”中，也即5和7都參與“6n” 質(zhì)數(shù)中的部分非質(zhì)數(shù)的構(gòu)建，但2和3卻沒有出現(xiàn)在前面去掉非質(zhì)數(shù)的“新篩法”中，這似乎也說明了2和3在質(zhì)數(shù)中的基礎(chǔ)性地位和作用.

我們從上面的討論中不難看出，對于個位數(shù)是1，3，7，9的自然數(shù)，可以分成三大類： 質(zhì)數(shù)、能通過“6n” 測試的偽質(zhì)數(shù)以及不能通過“6n”測試的贗質(zhì)數(shù)，偽質(zhì)數(shù)和贗質(zhì)數(shù)本質(zhì)上都是合數(shù).我們以小于20的八個質(zhì)數(shù)尤其是三對孿生質(zhì)數(shù)（5和7，11和13，17和19）為基礎(chǔ)，應用本文以上所給出的尋找質(zhì)數(shù)的“新篩法”，就可以很容易得到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù).在這個“新篩法”的基礎(chǔ)上似乎可以進一步找到小于任意一個自然數(shù)（比如本文中的200）的所有質(zhì)數(shù)，這似乎至少在原則上來講是可行的和可能的.至于識別任意一個自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)，我們在這里并不能給出類似于費馬小定理的費馬素性測試那種簡單有效的方法.我們只知道個位數(shù)為0，2，4，5，6，8的自然數(shù)及贗質(zhì)數(shù)（其個位數(shù)為1，3，7，9）都不是質(zhì)數(shù).盡管我們在原則上似乎可以“篩掉”所有的偽質(zhì)數(shù)，但這里并沒有給出能判定任意一個個位數(shù)是1，3，7，9的自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)的簡便方法.

三、費根鮑姆常數(shù)α和δ、布朗常數(shù)B2與質(zhì)數(shù)分布可能存在的聯(lián)系

我們上面簡單討論了如何去找尋質(zhì)數(shù)和如何識別偽質(zhì)數(shù)以及怎樣認定贗質(zhì)數(shù).與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的另一個問題就是質(zhì)數(shù)的分布.作者由于對物理學的一些基本問題的關(guān)注和探討，聯(lián)想到混沌理論中的費根鮑姆常數(shù)是否會和質(zhì)數(shù)分布規(guī)律存在一定的關(guān)系.若從長久以來大家一直都知曉的小于給定值N的素數(shù)個數(shù)的估算公式 π（N）≈NlnN 出發(fā)，將上述兩個費根鮑姆常數(shù)以及與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的布朗常數(shù)B2（B2≈1.902160578）聯(lián)系起來進行綜合考量，并經(jīng)過反復的數(shù)值計算，可以得到如下一個小于給定值N的質(zhì)數(shù)個數(shù)的估算公式：

顯而易見，上述估算質(zhì)數(shù)個數(shù)的公式所給出的計算結(jié)果，與相應的真實值是符合得比較好的.這個公式中包含了自然對數(shù)、常用對數(shù)以及混沌理論中的兩個費根鮑姆常數(shù)，還有與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的布朗常數(shù)B2以及圓周率π.不過，用以上這些只涉及初等數(shù)學的想法與方法去探討和對待在自然數(shù)中尋找質(zhì)數(shù)、估算質(zhì)數(shù)個數(shù)這樣的老問題，也許是很有趣的，但是否正確和有意義則只能由相關(guān)的專家學者去評判了.

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