張春雷 張 輝 葉佩青 張魯宏

兩相無槽圓筒型永磁同步直線電機電感計算與分析

張春雷1,2張 輝1,2葉佩青1,2張魯宏1,2

（1. 清華大學(xué)機械工程系 北京 100084 2. 清華大學(xué)精密超精密制造設(shè)備與控制北京市重點實驗室 北京 100084）

在電機行程范圍內(nèi)，兩相無槽圓筒型永磁同步直線電機的電感會受到電機繞組斷開與耦合長度變化的影響，使其變化復(fù)雜，無傳感控制算法難以實現(xiàn)。因此，需要對該電機電感進行精確的建模。該文基于軸向磁動勢函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)分別推導(dǎo)得到該電機在全耦合狀態(tài)下和全行程范圍內(nèi)電感解析模型。在此基礎(chǔ)上，利用有限元數(shù)值計算法對電感模型進行參數(shù)計算與驗證分析，并總結(jié)電機全耦合狀態(tài)下電感的特征，給出耦合長度變化對于電感直流分量與2次諧波幅值的影響規(guī)律。最后，對比了樣機電感的實驗測量值與模型計算值。結(jié)果表明，兩者之間誤差僅為0.04mH，證明了電感模型的正確性。

永磁同步直線電機 電感 磁動勢 比磁導(dǎo) 有限元法

0 引言

直線電機由于省去了中間傳動機構(gòu)直接提供直線運動，沒有回程間隙，響應(yīng)速度快，被大量應(yīng)用于數(shù)控機床等工業(yè)自動化領(lǐng)域。圓筒型永磁同步直線電機（Tubular Permanent Magnet Synchronous Linear Motor, TPMSLM）因具有結(jié)構(gòu)簡單、推力密度高，且不存在橫向端部效應(yīng)的特點，具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。

對于永磁同步電機的矢量控制，需要精確的位置反饋信號。直線電機常用的位置傳感器包括線性光柵尺、電位計、線性霍爾傳感器等[3]。但是安裝這些機械傳感器在提升電機制造成本的同時，也降低了電機控制系統(tǒng)的可靠性與魯棒性。為了解決這一問題，無傳感位置檢測算法被提出與應(yīng)用。常用的無傳感算法包括反電動勢辨識法[4]和高頻信號注入法[5]。對于直線電機的高頻信號注入法，由于存在端部效應(yīng)，使電機三相自感和互感存在不對稱性，dq軸電感變化復(fù)雜[6-7]。這使得直線電機高頻注入方法實現(xiàn)困難，其無傳感算法仍然為一個開放性的待解決問題[8]。因此，為了實現(xiàn)TPMSLM的無傳感控制，需要對其運動范圍內(nèi)的電感變化規(guī)律進行研究并得到精確的電感解析模型。

電感的解析計算方法主要包括直接法[9-10]和間接法[11-16]。直接法首先求解磁場的泊松方程得到矢量磁位，再通過磁場儲能計算得到電感的解析表達式。但對于軸向充磁的圓筒型直線電機，該方法存在邊界條件確定困難、方程求解復(fù)雜的問題[17]；間接法是通過對繞組函數(shù)（磁動勢函數(shù)）與氣隙比磁導(dǎo)函數(shù)的乘積積分計算電感的方法。相較于直接法，間接法在計算電機電感時更為簡單直觀，但其求解精度取決于氣隙比磁導(dǎo)函數(shù)的準確性[18]。文獻[11]通過間接法推導(dǎo)得到了磁阻同步電機的電感表達式，并分析了磁場高次諧波對于電機自感和互感的影響。文獻[12]基于間接法計算了分數(shù)槽集中繞組的內(nèi)埋式永磁同步電機的電感，并通過有限元與實驗驗證了解析模型的準確性。文獻[13]針對間接法理論磁路與實際磁路存在偏差的問題，通過修正定子磁動勢函數(shù)的解析表達式，提升了間接法電感計算的準確性。以上的研究主要針對旋轉(zhuǎn)電機，對于兩相無槽TPMSLM，還存在繞組斷開與耦合長度變化的影響。本文在考慮這些影響因素的情況下，采用間接法計算該電機的電感。

本文分析計算了兩相無槽TPMSLM的電感。首先，建立了完全耦合狀態(tài)下電機動子軸向磁動勢函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)，在考慮直線電機繞組不連續(xù)的影響下，通過積分得到完全耦合狀態(tài)下電機的電感解析模型。在擴展軸向比磁導(dǎo)函數(shù)的定義后，將電機耦合長度變化的影響引入到解析模型中，使解析模型適用于全行程范圍內(nèi)的電感計算。然后，基于解析模型與有限元分析結(jié)果，對TPMSLM完全耦合狀態(tài)下與電機行程范圍內(nèi)的電感變化規(guī)律進行了定量分析。最后，將模型計算值與實驗的測量結(jié)果相比較，進一步驗證了解析模型的準確性。

1 電感解析模型

本文的研究對象為兩相無槽軸向充磁的TPMSLM。電機由定子和動子兩部分構(gòu)成，其中，定子包括鐵心、線圈繞組、霍爾傳感器與定子骨架。A、B兩相線圈繞組以90°電角度等間隔纏繞在由聚酰亞胺材料制成的骨架上，因此該電機不存在齒槽效應(yīng)。兩線性霍爾傳感器安裝于定子繞組中部，相距90°電角度，用于測量電機動子位置。電機動子由永磁體和鐵心組成。動子永磁體軸向充磁，其極性沿軸向交替變化并由動子鐵心隔開。這種結(jié)構(gòu)設(shè)計使得在動子移動過程中，定子繞組磁路磁阻會隨著動子位置移動呈周期性變化，即電機呈現(xiàn)出凸極性。圖1為兩相無槽TPMSLM在圓柱坐標系下的結(jié)構(gòu)示意圖，圖中，為圓柱坐標系原點，為圓柱坐標系半徑，1為定子線圈長度，2為動子長度，s為電機半徑，o為線圈繞組外徑，i為線圈繞組內(nèi)徑，h為霍爾傳感器安裝位置，m為永磁體半徑，為電機極距，m為永磁體長度。

表1 TPMLSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 The structural parameters of TPMLSM

1.1 完全耦合狀態(tài)下電感計算

圖2 TPMSLM坐標系示意圖

繞組產(chǎn)生的軸向磁通密度可以表示為軸向磁動勢函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)的乘積形式。為簡化分析，假設(shè)電機的軸向磁動勢函數(shù)和軸向比磁導(dǎo)函數(shù)與無限長直線電機一致。

式中，為A相繞組個數(shù)。

在計算B相繞組的磁鏈時，需要考慮直線電機繞組不連續(xù)產(chǎn)生的影響。如圖1所示，由于繞組不連續(xù)，在電機中部的B-線圈和在電機右側(cè)端部的B+線圈只與單個A相線圈相鄰。采用凍結(jié)磁鏈法得到TPMSLM在A相繞組通入單位電流時產(chǎn)生的磁感線如圖3所示。

1.2 電機行程內(nèi)電感計算

式中，下標h為物理量定義域拓寬至電機動子的行程范圍。

由此可以得到動子行程范圍內(nèi)A相自感為

表2 A相繞組自感系數(shù)表達式

Tab.2 Self-inductance coefficient expression of winding A

忽略軸向磁動勢函數(shù)和軸向比磁導(dǎo)函數(shù)高次諧波后，式（14）的計算結(jié)果可以整理為

2 有限元分析

本節(jié)采用有限元法分析兩相無槽TPMSLM的電感特性并驗證解析模型準確性。有限元分析所用的電機電磁參數(shù)與電機結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

2.1 完全耦合狀態(tài)電感分析

通過有限元分析得到電機在完全耦合狀態(tài)下的自感和互感波形如圖4所示。從圖中可以看到，兩相TPMSLM的電感波形有以下三個特征。

（1）電機的電感波形包含2次諧波，這是由于比磁導(dǎo)函數(shù)中存在2次諧波分量導(dǎo)致的，即電機的凸極性的影響。

表3 互感系數(shù)表達式

Tab.3 Mutual-inductance coefficient expression

圖4 完全耦合下的TPMSLM的電感波形

（2）互感的直流分量不為0。由式（7）可知，這是電機繞組不連續(xù)、磁鏈斷開所產(chǎn)生的影響。

（3）自感的2次諧波幅值是互感2次諧波幅值的兩倍。即式（8）所推導(dǎo)得到的結(jié)果。這是由TPMSLM電機本身的結(jié)構(gòu)特性所導(dǎo)致的。

全耦合狀態(tài)下，dq軸坐標系的電感系數(shù)矩陣可以由Park變換得到

由式（19）可以發(fā)現(xiàn)，對于兩相無槽TPMSLM，其dq軸自感和互感存在2次與4次諧波分量。其中，2次諧波分量是由于AB相繞組互感直流分量不為零產(chǎn)生的，4次諧波則是由于AB相繞組自感與互感的2次諧波幅值不同導(dǎo)致的。所得dq軸下的電感波形如圖5所示。

圖5 TPMSLM完全耦合狀態(tài)dq軸下電感波形

2.2 電機行程范圍內(nèi)電感分析

圖6 全行程范圍內(nèi)TPMSLM電感波形

圖6中解析法得到的結(jié)果與有限元法相比最大誤差為0.002mH，相對于自感與互感的直流分量和2次諧波的幅值，估計誤差可以忽略不計。因此，解析法可以很好地描述電機行程范圍內(nèi)電感變化規(guī)律。同時可以觀察到，在不完全耦合狀態(tài)下，隨著耦合長度不斷減小，TPMSLM自感與互感的直流分量和2次諧波幅值也隨之減小。為了更加清楚地描述電感變化規(guī)律，繪制直流分量和2次諧波幅值如圖7所示。

從圖7a和圖7b中可以看到，自感直流分量和2次諧波幅值在電機耦合長度減少時，存在著衰減段和恒定段。以A相繞組自感為例：當電機動子端部穿過A相線圈時，A相繞組自感處于衰減狀態(tài)。其直流分量在電機動子端部穿過單個A相繞組過程中下降0.35mH，2次諧波幅值則會下降0.1mH，即1/的全耦合狀態(tài)下的2次諧波幅值。當電機動子端部穿過B相線圈時，A相線圈自感位于恒定段，其直流分量與2次諧波幅值均不發(fā)生變化。圖7c中，互感的直流分量只在電機動子端部穿過電機繞組左端的A+線圈或者右端部的B+線圈時發(fā)生變化，下降曲線為線性，由0.171mH下降至0.158mH。由圖7d可知，互感2次諧波幅值隨著耦合長度減少持續(xù)降低，每當電機動子端部穿過一個A相或B相線圈時，電機的2次諧波幅值下降全耦合狀態(tài)下2次諧波幅值的6.25%，即1/(2)全耦合狀態(tài)下的互感2次諧波幅值。

圖7 全行程范圍內(nèi)電感系數(shù)曲線

3 實驗驗證

3.1 實驗方法與設(shè)備

樣機電感系數(shù)采用文獻[19]所述方法進行測量。其中，A、B相繞組的自感通過LCR數(shù)字電橋進行直接測量。A、B相繞組的互感通過測量兩相繞組同向連接和反向連接后的等效電感，再經(jīng)過計算得到。測量互感時，A、B相繞組連接如圖8所示。

圖8 繞組連接

當兩繞組同向連接時，等效電感表達式為

當兩繞組反向連接時，等效電感表達式為

基于該方法，在80mm的電機運動范圍內(nèi)，每隔1mm測量一組TPMSLM的電感。實驗所用設(shè)備如圖9所示。

3.2 實驗結(jié)果

4 結(jié)論

本文基于軸向磁動勢函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)推導(dǎo)得到了全行程范圍內(nèi)兩相無槽TPMSLM的電感解析模型。并與有限元計算值和實驗測量值進行了對比分析，證明該解析方法對于電機不完全耦合狀態(tài)下電感計算的準確性。通過分析，該電機電感有如下特點：全耦合狀態(tài)下，A、B相繞組互感直流分量不為零，自感2次諧波幅值為互感2次諧波幅值的兩倍，且dq軸下的自感與互感存在明顯的2次與4次諧波分量。在全行程范圍內(nèi)，A、B相繞組自感與互感的直流分量與2次諧波幅值會隨著電機耦合長度減少而下降。本文所得到的兩相無槽TPMSLM的電感解析式，為該電機后續(xù)無傳感算法研究提供了一準確的數(shù)值模型。

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Inductance Analysis of Two-Phase Slotless Tubular Permanent Magnet Synchronous Linear Motor

1,21,21,21,2

（1. Department of Mechanical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 2. Beijing Key Laboratory of Precision/Ultra-Precision Manufacturing Equipments and Control Tsinghua University Beijing 100084 China）

The inductances of two-phase slotless tubular permanent magnet synchronous linear motor (TPMSLM) are affected by the disconnection of windings and the change of coupling length. This makes the inductance change complicated and difficult to implement sensorless control. Therefore, the inductance of TPMSLM needs to be accurately modeled. Firstly, the axial magnetomotive force function and the axial specific permeance function were utilized to derive the analytical model in the fully coupled state. Then the domain of the axial specific permeance function was extended and the inductance expression in the whole moving range was calculated. The expression was verified by finite element method. And the characteristics of the inductance and the influence of the coupling length were analyzed. Finally, the inductance of a prototype was measured and compared with the analytical result. The maximum error between the two results is 0.04mH, which proves the correctness of the analytical model.

Permanent magnet synchronous linear motor, inductance, magnetomotive force, specific permeability, finite element method

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200461

國家自然科學(xué)基金資助項目（51875312）。

2020-05-07

2020-11-23

張春雷 男，1994年生，博士研究生，研究方向為電機設(shè)計及其控制。E-mail: clzhang13@163.com

張 輝 女，1969年生，博士，副教授，研究方向為先進制造裝備及其自動化。E-mail: wwjj@mail.tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）