朱用文 陳傳軍

（煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 山東·煙臺 264005）

0 引言以及一般討論

在我們數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院大學(xué)高年級以及研究生代數(shù)課程——如《高等代數(shù)》、《抽象代數(shù)》、《群論》、《半群論基礎(chǔ)》、《逆半群》、《拓撲半群》、《矩陣半群》等等的教學(xué)中，都會碰到有關(guān)商的概念，例如商空間、商半群、商群、商環(huán)、商域、拓撲商半群，等等。這些分散于不同學(xué)科中的有關(guān)商的概念非常重要，但是在具體的教材中都是各自獨立定義的，具有相對的獨特性。然而，從泛代數(shù)的觀點看，它們都是統(tǒng)一的。本文就是要通過一般的商代數(shù)的概念，將所有有關(guān)商的概念都統(tǒng)一起來，從而讓學(xué)生對于各個具體學(xué)科中商的概念有一個更深入的理解。

以上是關(guān)于代數(shù)的商、同余、同態(tài)等概念的一般討論，所有這些概念和結(jié)論當(dāng)然普遍適用于群論、半群理論、環(huán)論、線性代數(shù)等各種領(lǐng)域。

1 同余與商空間

2 同余與商群

在群論中，商群通常通過正規(guī)子群來定義。在這一節(jié)中，我們來說明，也可以通過同余來定義商群，而且兩種定義方式實際上是等價的。

3 同余與商環(huán)

在環(huán)論中，商環(huán)通常通過子環(huán)來定義。在這一節(jié)中，我們來說明，也可以通過同余來定義商環(huán)，而且兩種定義方式本質(zhì)上是等價的。

4 同余與商半群

在半群理論中，商半群通常是通過同余來定義的，但是Rees商半群是通過理想來定義的，后者本質(zhì)上還是通過同余來定義的。我們來說明這個問題。

半群的概念在抽象代數(shù)中具有基礎(chǔ)的重要性，隨著計算機的興起與發(fā)展，半群的理論也越來越豐富。在大學(xué)階段的抽象代數(shù)課程中，學(xué)生對于半群理論的了解很少；而在研究生階段，可以開設(shè)的半群課程有《半群理論導(dǎo)引》、《逆半群》、《拓撲半群》、《矩陣半群》，等等。有關(guān)方面的研究還可以參看文獻。

總之，一般的同余概念可以將所有商代數(shù)的概念統(tǒng)一起來，而且同余概念就是商概念的本質(zhì)要求。按照這樣的理解來進行教學(xué)，可以提高教學(xué)效率，并讓學(xué)生加深對于有關(guān)商的概念的理解，達到融會貫通的目的。