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關(guān)于圓錐曲線焦點(diǎn)弦的定比分點(diǎn)探究

2021-03-21 13:31唐小東
關(guān)鍵詞:斜率橢圓

唐小東

[摘 ?要] 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)中含有關(guān)于直線斜率、曲線離心率及定比分值三者關(guān)系的結(jié)論,合理利用結(jié)論公式可簡(jiǎn)化處理直線斜率、直線傾斜角、曲線離心率等問(wèn)題. 文章采用知識(shí)探究的方式總結(jié)歸納相關(guān)結(jié)論,并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用強(qiáng)化.

[關(guān)鍵詞] 焦點(diǎn)弦;定比分點(diǎn);橢圓;斜率;離心率

圓錐曲線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可以充分體現(xiàn)其幾何特征,也是高中數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容,總結(jié)焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論可簡(jiǎn)化解題過(guò)程. 通常焦點(diǎn)將弦分為兩部分,實(shí)際上可將焦點(diǎn)視為是焦點(diǎn)弦的定比分點(diǎn),焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角、圓錐曲線離心率和焦點(diǎn)弦的定比分值之間有著一定的關(guān)系,下面對(duì)其深入探究.

評(píng)析:上述是關(guān)于定焦點(diǎn)弦所在直線斜率的取值問(wèn)題,根據(jù)題目條件可確定滿足對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)弦定比分結(jié)論. 結(jié)合向量關(guān)系可確定直線傾斜角為銳角,代入結(jié)論可逐步求解. 實(shí)際上焦點(diǎn)弦直線的傾斜角、直線斜率、定比分值三者之間有著緊密的關(guān)聯(lián),數(shù)形結(jié)合的同時(shí)利用結(jié)論可提高解題效率.

教學(xué)建議

上述深入探究了圓錐曲線焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵結(jié)論,構(gòu)建了過(guò)焦點(diǎn)弦直線的傾斜角、曲線離心率及焦點(diǎn)弦定比分值三者之間的關(guān)系,在實(shí)際問(wèn)題中有著極高的應(yīng)用價(jià)值. 實(shí)際教學(xué)中需把握模型特征,注重過(guò)程探究,倡導(dǎo)應(yīng)用強(qiáng)化,形成結(jié)論探究的閉環(huán)教學(xué),下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 發(fā)掘教材,總結(jié)模型

焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)問(wèn)題涉及了直線過(guò)焦點(diǎn)、直線與曲線相交、弦長(zhǎng)向量關(guān)系等,屬于圓錐曲線典型問(wèn)題,在教材例題、習(xí)題中均有出現(xiàn). 提煉問(wèn)題模型,總結(jié)解析過(guò)程是結(jié)論生成的基礎(chǔ),也是高中數(shù)學(xué)遷移探究所倡導(dǎo)的. 因此教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘原型問(wèn)題的性質(zhì)特征,充分發(fā)揮習(xí)題的解題價(jià)值,提煉數(shù)學(xué)模型. 對(duì)于焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)問(wèn)題,則應(yīng)關(guān)注圖像的兩大特征:一是直線過(guò)曲線焦點(diǎn),二是直線與曲線存在兩個(gè)交點(diǎn).

2. 過(guò)程推理,思維歷練

焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)問(wèn)題的綜合性強(qiáng),位置關(guān)系、向量條件較為復(fù)雜,對(duì)學(xué)生的分析推理能力有著較高的要求. 結(jié)論探究要遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),注重推理過(guò)程,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)歸納結(jié)論. 故建議按照教學(xué)探究的方式,合理設(shè)計(jì)探究環(huán)節(jié),讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、猜想,體驗(yàn)結(jié)論的驗(yàn)證過(guò)程,并結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大膽猜想,探索推論,充分鍛煉學(xué)生的思維,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

3. 應(yīng)用強(qiáng)化,能力提升

結(jié)論探究的目的是提高解題效率,故結(jié)論的應(yīng)用屬性極強(qiáng),從“結(jié)論生成”到“應(yīng)用拓展”需要教師精心引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注結(jié)論的適用題型,掌握應(yīng)用技巧,幫助學(xué)生摒棄傳統(tǒng)的照搬照抄的習(xí)慣,指導(dǎo)學(xué)生自主思維,活學(xué)活用. 上述焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)結(jié)論是關(guān)于三大內(nèi)容的數(shù)式關(guān)系,而在實(shí)際求解時(shí)則需靈活變式,針對(duì)實(shí)際問(wèn)題和條件來(lái)變形關(guān)系式,如求直線斜率則構(gòu)建傾斜角與余弦值的關(guān)系,求離心率則轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的關(guān)系式等. 教學(xué)中教師應(yīng)立足實(shí)際問(wèn)題開展解析探討,強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用,提升學(xué)生的綜合能力.

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