周楊

[摘 ?要] 數學概念是教學的核心，概念教學要在概念發(fā)生和發(fā)展的過程中揭示其“本來面目”，讓學生參與概念本質特征的概括過程，感悟概念形成的必要性、必然性、合理性.

[關鍵詞] 概念教學;概括;形成過程;方差

多次觀摩“方差”的教學，看到的大多是沉悶的課堂，教師往往將方差的概念及計算方式直接告知學生，教師講得乏味，學生學得無趣. 這樣的做法，學生雖然比較容易掌握方差的概念及其計算方法，但是學生難以理解為什么要用方差來描述數據的離散程度. 這樣的做法體現(xiàn)得更多的是一種記憶認識，學生不會真正掌握日后研究其他描述數據的一般方法;這樣的做法生硬、教條，機械的訓練不會讓學生感受到學習的樂趣，不會讓學生認識到探索問題的方法和策略. 概念教學的關鍵就是要讓學生深知建立這個概念的必要性. 方差的教學價值，就是讓學生發(fā)現(xiàn)用方差來描述數據的離散程度的必要性、必然性、合理性.

內容及內容解析

1. 內容

本節(jié)課為蘇科版九年級數學上冊“3.4 方差”的新授課.

2. 內容解析

一組數據主要描述其集中趨勢和離散程度. 離散程度，即觀測變量各個取值之間的差異程度. 通過對隨機變量取值之間離散程度的測定，可以反映各個觀測個體之間的差異大小，從而也就可以反映分布中心的指標對各個觀測變量值代表性的高低;通過對隨機變量取值之間離散程度的測定，可以反映隨機變量次數分布密度曲線的瘦俏或矮胖程度. 學生已學過用平均數、中位數、眾數描述一組數據的集中趨勢，本節(jié)課將學習如何描述一組數據的離散程度. 方差是描述一組數據離散程度的重要特征數，方差越大，數據越不穩(wěn)定;它全面、平均地表示一組數據的離散程度，是最常用的描述數據離散程度的統(tǒng)計量之一，廣泛應用于比較實際事物的整體性、均勻性和過程的穩(wěn)定性、均衡性. 方差對學生統(tǒng)計觀念的形成有著重要的作用.

本節(jié)課的教學重點是理解方差的概念，會計算簡單數據的方差. 為了引導學生學習方差，逐步了解方差產生的必要性與形成過程，理解方差的概念，通過三個層次讓學生不斷產生認知沖突，在認知沖突中理解方差. 當多組數據的平均數、中位數、眾數都相同時，學生會感受到統(tǒng)計量不夠用，從而形成第一次認知沖突，激發(fā)學生猜想到最大值與最小值的差，即極差. 在原有數據的基礎上修改數據，當平均數、中位數、眾數、極差都相同時，形成第二次認知沖突，學生通過畫圖觀察，得到數據波動的大小;為了量化數據波動的大小，計算各個數據與平均數的差，當發(fā)現(xiàn)差的和為零時，學生會進一步修正為差的絕對值的平均數，也就是平均差. 繼續(xù)修改數據，當多組數據的平均差也相同時，形成第三次認知沖突，此時將絕對值修正為平方，也就是各個數據與平均數之差的平方的平均數，這樣方差的公式就自然合理地產生了.

在上述整個方差學習的過程中，學生經歷了觀察、猜測、計算、驗證等活動過程，充分感悟方差的形成過程，深入理解方差的概念，了解方差產生的必要性. 概念教學的關鍵就是要讓學生深知建立這個概念的必要性，讓學生掌握研究其他描述數據的一般方法，認識到探索問題的方法和策略.

目標及目標解析

1. 目標

（1）經歷刻畫數據離散程度的探索過程，體會方差的統(tǒng)計意義;

（2）掌握方差的概念，會計算簡單數據的方差;

（3）了解方差是刻畫數據離散程度的一個常用的統(tǒng)計量，并在具體情境中加以應用.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志是：在經歷畫圖、觀察、探索及量化數據離散程度的過程中，體驗方差可以反映數據的波動狀況，刻畫數據的離散程度，增進對方差意義的了解，體會方差的作用.

達成目標（2）的標志是：會計算一組數據的方差，用方差來描述數據的波動程度，進一步理解方差的概念.

達成目標（3）的標志是：根據統(tǒng)計的結果，對具體數據的集中趨勢、離散程度做出簡單的判斷，對事例數據的發(fā)展變化做出簡單的預測.

3. 教學問題診斷

由于學生剛剛學習了數據的集中趨勢，學生可能會習慣于用所學的平均數、中位數、眾數去解決生活中的統(tǒng)計問題，所以研究數據波動的必要性需要學生充分體會. 由于方差的計算公式較復雜，學生難以記憶，而且為什么要這么算、方差公式的合理性也使得學生疑惑不解. 正是理解的困難造成記憶、計算和應用的困難，這些都需要教師在遵循學生的認知規(guī)律的基礎上借助典型實例加以說明. 在具體的實例中，若數據較多較大，則會影響學生的探究樂趣，故在選取實例時不宜選用數據較多較大的實例. 在對統(tǒng)計的結果進行解釋時，受以前數學學習結果的是非判斷原則的影響，學生容易將統(tǒng)計的結果以簡單的“對錯”為判斷標準. 因此在實際情境中，不能合理選擇統(tǒng)計量進行分析，對于統(tǒng)計結果不會有合理的解釋. 基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點是了解方差產生的必要性和形成過程，體會方差算法的合理性.

教學過程設計

1. 創(chuàng)設情境，引入極差

甲、乙兩位運動員在射擊選拔比賽中，各射擊了5次，成績如表1所示（單位：環(huán)）.

問題1 ?現(xiàn)在要選派一位運動員去參加比賽，如果你是教練，你準備怎么辦？用數據表達你的觀點.

追問 ?我們發(fā)現(xiàn)平均數、中位數、眾數都一樣，無法選擇. 為了穩(wěn)中求勝，我們要研究兩位運動員的穩(wěn)定性. 你能看出誰更加穩(wěn)定嗎？用數據表達你的觀點.

師生活動 ?教師提出問題并引導學生思考，用數據闡明自己的看法. 學生計算兩組數據的平均數、中位數、眾數后，發(fā)現(xiàn)這三個量都是一樣的，此時產生了認知沖突，由此激發(fā)學生去尋找另一種量來描述甲、乙兩位運動員射擊成績的優(yōu)劣. 學生經過小組合作交流，想到用最大值減去最小值，也就是用極差來描述，由此引出本節(jié)課的主題：描述數據離散程度的量.

設計意圖 ?聯(lián)系生活實際，激發(fā)學生的學習興趣. 以兩名運動員的射擊成績創(chuàng)設情境——兩組數據的平均數、中位數、眾數都相同，設置為5次成績，簡化計算，易于探究. “問題1”復習了平均數、中位數、眾數在生活中的應用，“追問”讓學生理解僅用平均數、中位數、眾數不能解決射擊問題，它需要更多的描述數據的統(tǒng)計量，讓學生感受到研究數據的必要性.

2. 問題探究，引入方差

問題2 ?如果改變數據，平均數、極差都相同，還可以用什么量來描述數據的離散程度？

追問1 ?以射擊次數為橫坐標，對應成績?yōu)榭v坐標，在平面直角坐標系中描點. 觀察圖像，你能發(fā)現(xiàn)什么特征？

追問2 ?每次成績相對于平均數的波動大小是多少？可以用什么量來描述？

追問3 ?兩組數據的個數不一樣，怎么辦？

師生活動 ?教師提出問題并引導學生思考，若還是不能解決問題，再通過追問引導學生思考，既然從數的角度無法研究，可以借助形來研究. 通過“追問1”的引導，學生很容易描出對應的點，實際教學中大多數學生會將這些點連成折線圖. 學生觀察折線圖后會發(fā)現(xiàn)點的上下波動，此時引導學生觀察這些點在幾環(huán)附近波動，并通過“追問2”讓學生用一個統(tǒng)計量量化每個數據波動的大小. 學生由此會想到每個數據波動大小的和. 通過“追問3”——如果兩組數據的個數不同，由此激發(fā)學生想到平均差.

設計意圖 ?改變數據，在平均數、極差都相同的情況下，激發(fā)學生思考描述數據離散程度的其他量. 通過“追問1”引導學生在動手畫圖中集思廣益，用圖直觀研究成績分布情況，為下一步定量的研究做好準備. 通過“追問2”引導學生思考畫圖除了能直觀反映數據的波動外，還能將其量化，體現(xiàn)定性到定量的分析過程.

問題3 ?如果改變數據，平均數、極差、平均差都相同，還可以用什么量來描述數據的離散程度？

追問 ?與絕對值功能類似的是什么量？

師生活動 ?此時學生已經得到描述數據離散程度的一個量（平均差），為了引導學生想到方差，繼續(xù)改變數據，使得平均數、極差、平均差都相同，激發(fā)學生在得到平均差的基礎上再次優(yōu)化描述數據離散程度的表示方法，通過“追問1”引導學生想到平方，由此引出方差的概念.

設計意圖 ?改變數據，在平均數、極差、平均差也都相同的情況下，進一步激發(fā)學生思考描述數據離散程度的其他量，通過“追問”引導學生發(fā)現(xiàn)與絕對值功能類似的平方，進而得到方差. 進一步感受并理解用方差描述數據波動大小的合理性.

3. 回顧反思，形成概念

回顧以上探索過程：①一組數據中每個數據與平均數的差;②差的平方和;③差的平方的平均數. 將上述過程歸納呈現(xiàn)：

用途：方差是描述數據離散程度的一個量. 一組數據方差越小，數據波動越小;方差越大，數據波動越大.

設計意圖 ?讓學生在教師的引導下感受新知，通過合作交流，得到方差的本質特征，獲取新知，體會方差的統(tǒng)計思想.

4. 應用概念，解決問題

例 某市2018年、2019年3月前5日的日最高氣溫（單位：℃）如下（見表4）：

該市這兩年中，哪一年3月前5日的日最高氣溫比較穩(wěn)定？為什么？

師生活動 ?學生獨立思考、計算、判斷，解決問題;教師展示學生的解答過程，引導學生分析題意、規(guī)范書寫. ?重點要理清以下幾個問題：①題目中“穩(wěn)定”的含義是什么？說明在這個題目中要研究一組數據的什么特征？②在求方差之前先要求哪個統(tǒng)計量？總結用方差估計數據離散（波動）程度的步驟.

設計意圖 ?鞏固方差公式，再一次體驗方差在生活中的應用，結合實例理解方差的意義，熟悉公式的計算過程——先計算平均數，再求差，平方后再求平均數，進而規(guī)范解題格式.

練習1 ?某地某日最高氣溫為12 ℃，最低氣溫為-7 ℃，該日氣溫的極差是______.

練習2 ?為了從小明和小剛兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進行了測試，5次打靶命中的環(huán)數如下：小明是7，8，7，8，10;小剛是10，4，10，6，10.

（1）填寫表5：

（2）根據以上信息，若教練選擇小明參加射擊比賽，理由可能是什么？

（3）若小剛再射擊2次，分別命中7環(huán)、9環(huán)，則小剛這7次的射擊成績的方差_________. （填“變大”“不變”或“變小”）

（4）根據以上信息，若教練選擇小剛參加射擊比賽，理由可能是什么？

師生活動 ?教師呈現(xiàn)練習題，學生獨立完成. “練習2”的第（2）問要強調平均數相同，可舉例進一步讓學生理解為什么要平均數相同. 如甲的5次射擊成績是6，6，6，6，6，方差為0;乙的5次射擊成績是6，7，8，9，10，方差為2. 甲的方差小，但成績明顯不如乙. 本節(jié)課主要研究方差這種在統(tǒng)計中常用的刻畫數據離散（波動）程度的統(tǒng)計量，在用方差分析數據的波動程度時，只適用于在平均數相同或相近的情況. “練習2”的第（3）問引導學生思考，除了直接計算小剛7次成績的方差，還可以怎么算;“練習2”的第（4）問引導學生發(fā)現(xiàn)，有的時候并不是數據的方差越小越好，應該根據情況而定，教師可以舉出適當、簡單的例子來說明.

設計意圖 ?“練習1”是鞏固極差;“練習2”的第（1）問是計算平均數與方差，進一步鞏固方差的計算方法;“練習2”的第（2）問是體驗方差在生活中的應用，進一步體會用方差刻畫數據的波動程度;“練習2”的第（3）問結合實例進一步理解方差的本質;“練習2”的第（4）問表示在實際問題中，不一定是數據的波動程度越小越好.

5. 小結思考，深化認識

（1）什么是方差？

（2）方差有什么作用？

（3）如果兩組數據的平均數、極差、平均差、方差都一樣，又用什么量來描述數據的離散程度？

設計意圖 ?“問題（1）”引導學生回顧方差的計算公式;“問題（2）”引導學生思考方差的統(tǒng)計意義;“問題（3）”激發(fā)學生繼續(xù)探索描述數據離散程度的統(tǒng)計量.

教學反思

概念教學要在概念發(fā)生和發(fā)展的過程中揭示它的“本來面目”，讓學生參與概念本質特征的概括過程，感悟概念形成的必要性、必然性、合理性. 本節(jié)課似乎沒什么內容可講，也沒什么難點，很容易完成教學任務，但這只是知識目標的實現(xiàn). 方差概念的重要性不言而喻，要讓學生感受到數學概念產生和發(fā)展的基本過程，體會到研究數學問題的基本套路，進而提高提出問題、研究問題的能力，才算體現(xiàn)方差概念的教學價值.

1. 讓概念在沖突中產生

概念的形成過程充滿了矛盾和沖突，這是激發(fā)學生學習興趣與熱情的內在條件. 本節(jié)課中，刻畫數據波動程度的統(tǒng)計量常有極差、方差、標準差、平均差、四分位差等. 方差是描述一組數據離散程度的重要特征數，而學生已經學習過描述集中趨勢的特征數有平均數、中位數、眾數，這些都是統(tǒng)計分析中重要的參考數據，所以學生在分析一組數據時會很自然地以上述三個特征數作為切入點. 在初始階段，教師給出兩組平均數、中位數、眾數都相同的數據，讓學生分析數據并做出合理決策，此時學生會產生第一次認知沖突. 在問題分析階段，教師通過改變數據，使得兩組數據的平均數、極差都相同，營造第二次認知沖突. 在問題解決階段，教師繼續(xù)改變數據，使得兩組數據的平均數、極差、平均差也都相同，營造第三次認知沖突. 每次認知沖突使得尋找另一種統(tǒng)計量成為進一步研究的方向，由此自然地引入方差，這是一種無聲的數學交流. 學生在層層深入的問題的引領下，很快會對問題理解得更加透徹. 在這三個階段中，不斷營造認知沖突，讓概念在解決問題的有沖突的過程中產生.

2. 讓概念在概括中形成

使概念課生動活潑、優(yōu) 質高效的關鍵之一是讓學生參與概念本質特征的概括過程. 這就要求我們充分利用新舊知識蘊含的矛盾，激發(fā)認知沖突，把學生卷入其中，讓學生有參與的時間和機會，特別是要有實質性思維的參與. 讓概念在沖突中產生，目的是給學生參與概括概念本質特征的機會，實實在在地經歷概念的形成過程. 如本節(jié)課的探究過程，必然要從數和形兩個方面展開思考，于是差就很容易被概括了出來，平均差、方差等概念的產生也比較自然. 教師適時介入，強化本質特征，規(guī)范概念的表達，與學生一起完成概念的定義. 課堂小結構建了一個新的問題，學生可以從中學習如何獲得研究的對象、如何提出研究的問題、如何找到研究的方法. 這些都是課本中找不到的，需要學生具有一定的概括能力.

3. 讓概念形成過程自然

概念課就應該使概念形成得自然、應然、必然. 本節(jié)課的教學，力求使學生了解方差概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的課題. 從課堂教學的要求來看，概念教學的自然、應然、必然包括兩方面：一是知識的邏輯順序，二是學生的心理邏輯，主要是思維過程. 在引導學生展開對相關概念進行學習的過程中，要讓學生參與概念的概括活動，不輕易打斷學生的思維和行動，恰時恰點地以問題引導學生在“追問—反思”的過程中深化對概念的理解，使學生對概念的理解成為他們主動思維的結果. 因此，本節(jié)課對方差概念的教學，為學生勾勒了研究框架和總體思路，使學生知道往哪里走，引導學生在不斷的認知沖突中理解方差的定義、方差的表示. 概念教學要返璞歸真，在概念發(fā)生和發(fā)展的過程中要揭示它的“本來面目”;要讓學生參與概念本質特征的概括過程，這是概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的必由之路.

3123501908212