何金旅，吳金蓮，張 佳

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院，四川 南充 637009)

1 引言

本文所有的群皆為有限群，所用術(shù)語和符號以文獻[1-3]為標準．特別地，|G|表示G的階，π(G)表示|G|的全體素因子的集合.當T≤G時，TG表示T在G中的柱心，即它是包含在T中G的極大正規(guī)子群.M<·G表示M是G的一個極大子群.

可解群是有限群論的重要研究對象之一，國內(nèi)外很多群論學者探討過與可解群相關(guān)的課題. 例如，1937年，Hall[4]證明了G是可解的當且僅當G的每個Sylow子群在G中是可補的.通過減少素因子的個數(shù)，1982年，Arad 和 Ward[5]證明了G是可解的當且僅當G的每個Sylow 2-子群和Sylow 3-子群在G中是可補的.利用減弱可補性質(zhì)，2014年，Heliel[6]證明了G是可解的當且僅當G的每個奇階的Sylow子群在G中是c-可補充的. 將Sylow子群換成極大子群，1996年，王燕鳴[7]證明了G是可解的當且僅當G的c-極大子群在G中是c-正規(guī)的.2014年，郭文彬等[8]得到了G是可解的當且僅當每個極大子群有冪零的跡(或者次正規(guī)的跡).

繼續(xù)以上的研究，減少文獻[8]中的定理3.1和定理3.4極大子群的個數(shù)，將考察c-極大子群的跡的冪零性質(zhì)和次正規(guī)性質(zhì)對可解群的影響.

2 基本概念

為了方便，我們在此先列出后面要用到的一些概念和結(jié)果.

定義1[8]設A是群G的真子群.稱任意的G的主因子H/AG是A的一個G-邊界因子或者一個邊界因子.對于A的任意G-邊界因子H/AG，稱子群(A∩H)/AG為A的一個G-跡或者一個跡.這里，AG是A在G中的柱心.

定義2[9]令Fc={M<·G||G:M|是合數(shù)},稱Fc中的每個元素是G的一個c-極大子群.

定義3[3]令π是一個素數(shù)集.稱群G是π-冪零的，對于每個素數(shù)p∈π，若G是p-冪零的.

引理1[10]假設G是非可解群且具有一個冪零的極大子群M.如果S(G)=1，那么M是G的一個Sylow 2-子群.這里S(G)表示G的最大可解正規(guī)群.

引理2[1]設T≤G，且Ω為T在G中的右陪集，那么G/TG同構(gòu)于Sym(Ω)的一個子群.特別地，如果

|G:T|=n，那么G/TG同構(gòu)于Sn的一個子群.

引理3[3]G是超可解群當且僅當每個極大子群在G中的指數(shù)是素數(shù).

引理4[11]設P是群G的一個Sylow p-子群，p≥5.如果NG(P)/CG(P)是一個p-群，那么Op(G)

引理5[7]G是可解群當且僅當每個c-極大子群在G中是c-正規(guī)的.

引理6[12]如果U是群G的一個次正規(guī)子群，那么Soc(G)≤NG(U).

3 主要定理

定理1G是可解群當且僅當Fe中的每個元素滿足下列條件之一

(1) 具有一個冪零的跡； (2) 具有一個次正規(guī)的跡.

證明(1)必要性:因為G是可解群，所以G的每個主因子是交換的，進而，每個極大子群的跡都是冪零的.因此，每個c-極大子群的跡也是冪零的.

充分性：根據(jù)已知條件，每個c-極大子群M有一個冪零的跡，所以，存在主因子H/MG滿足H∩M/MG是冪零的.

假設G是非交換單群，可推得，MG=1,H/MG=G,H∩M/MG=M.因此，每個c-極大子群M是冪零的.進而，根據(jù)引理1，每個c-極大子群M是Sylow 2-子群.顯然，|π(G)|≥3.因此，可選取極大素因子p∈π(G)使得p≥5.令P是G的一個Sylow p-子群，且T是G的一個極大子群滿足P≤T.由前面分析，|G:M|是素數(shù)r，r

假設G不是非交換單群，可選取G的一個極小正規(guī)子群L.考慮商群G/L.如果G/L的每個極大子群都具有素數(shù)指數(shù)，那么根據(jù)引理3，G/L是可解的.如果G/L存在c-極大子群，那么對于G/L的每個c-極大子群A/L，可推得A是G的一個c-極大子群.根據(jù)已知條件，存在G的主因子R/AG滿足R∩A/AG是冪零的.進而，(R/L/AG/L)∩(A/L/AG/L)=(R/L/(A/L)G/L)∩(A/L/(A/L)G/L)是冪零的，這里，R/L/(A/L)G/L是G/L的主因子.因此，對|G|進行歸納，可知G/L是可解的.因為可解群系是飽和群系，所以，L是G的唯一極小正規(guī)子群，且LФ(G).如果L是可解的，那么G是可解的.因此，下面假設L不是可解的.

取極大素因子q∈π(N).令Q是L的一個Sylow q-子群，K是G的一個極大子群滿足NG(Q)≤K.進而，根據(jù)Frattini論斷，G=LNG(Q)=LK,KG=1.斷言|G:K|=1+kq是合數(shù)，k是非負整數(shù).顯然

因為|G:K|是合數(shù)，所以，根據(jù)已知條件，K有一個冪零的跡.由前面過程知KG=1，L是G的唯一極小正規(guī)子群.進而，L∩K就是K的冪零的跡，即L∩K是冪零的.因為NL(Q)=L∩NG(Q)≤L∩K，所以，NL(Q)是冪零的，NL(Q)/CL(Q)是一個q-群.根據(jù)引理4，可推得OP(L)

(2)必要性：因為G是可解群，所以G的每個主因子是交換的，進而，每個極大子群的跡都是次正規(guī)的.因此，每個c-極大子群的跡也是的.

充分性：根據(jù)已知條件，每個c-極大子群M有一個次正規(guī)的跡，所以，存在主因子H/MG滿足H∩M/MG是次正規(guī)的.

假設G是非交換單群，可推得，MG=1，H/MG=G，H∩M/MG=M.因此，每個c-極大子群M是次正規(guī)的，進而，每個c-極大子群M是正規(guī)的.根據(jù)引理5，G是可解的，這與假設矛盾.

綜上，定理1得證.

定理2G是可解群當且僅當Fc中的每個元素具有一個π(G/E)-冪零的跡，這里E=S(G)或者U(G)或者F(G)，S(G)，U(G)，F(xiàn)(G)分別表示G的最大的可解正規(guī)子群，最大的超可解正規(guī)子群，最大的冪零正規(guī)子群.

證明必要性:根據(jù)定理1，每個c-極大子群有冪零的跡，進而，有一個π(G/E)-冪零的跡.

充分性:如果E=1，那么π(G/E)=π(G).根據(jù)已知條件，每個c-極大子群有一個π(G/E)-冪零的跡，進而，每個c-極大子群有一個冪零的跡.根據(jù)定理1，G是可解群.

綜上，定理2得證.

4 結(jié)束語

本文主要有兩個定理.定理1利用c-極大子群的跡的冪零性質(zhì)和次正規(guī)性質(zhì)得到了刻畫可解群的充分必要條件.定理2利用c-極大子群的跡的π(G/E)-冪零性質(zhì)也得到了刻畫可解群的充分必要條件.定理1和定理2推廣了文獻[8]中的相關(guān)結(jié)果.