劉亞東

[摘 要]自己動手得出的結(jié)論是最有說服力的，也是最有科學(xué)效力的，但是對于一些顯而易見的定理，學(xué)生通過預(yù)習(xí)早已能直接套用其形式，帶著未卜先知的結(jié)論去操作，學(xué)生就會投機取巧，架空操作的效力。教學(xué) “三角形的內(nèi)角和定理”時，教師通過調(diào)研分析的結(jié)果改良教學(xué)，取得了很好的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]操作;三角形的內(nèi)角和;測量

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0021-02

三角形的內(nèi)角和定理是深入研究三角形的理論基礎(chǔ)。課本先讓學(xué)生測量各類三角形的內(nèi)角，分別計算出各類三角形的內(nèi)角和，再自主猜想任意三角形的內(nèi)角和都為180°，接著指引學(xué)生用拼接法來證實猜想，進而得出確切結(jié)論。由于該內(nèi)容非常適宜操作驗證，因此它成了許多教師展示課的首選，然而操作起來卻意外頻發(fā)：如讓學(xué)生用測量角度的方法探尋三角形內(nèi)角和規(guī)律時，學(xué)生都說是180°，鮮有179°或181°等情況出現(xiàn)，導(dǎo)致教師找不到反例，也沒有可以對照辨析的錯誤資源。

一、教學(xué)實錄

師（課件展示3個三角形，形狀分別是鈍角三角形、銳角三角形與直角三角形）：憑肉眼觀察，哪個三角形的內(nèi)角和最大？

生1：我覺得它們3個的內(nèi)角和是相等的。

生2：我也同意這種說法，因為已知四邊形的內(nèi)角和是360°，將四邊形沿對角線切分，得到2個三角形，就能順利得出1個三角形的內(nèi)角和就是四邊形內(nèi)角和的一半，也就是180°。

師：任意1個三角形都能通過分割四邊形得出嗎？每個三角形的3個內(nèi)角都一樣嗎？

生（齊）：不是。

師：那怎么求出其內(nèi)角和呢？

生3：測量。

師：怎樣量呢？

生4：用量角器量。

師：老師有個要求，就是每位組員可以自由發(fā)揮，繪制一個不限形狀的三角形，精確測得各個內(nèi)角的度數(shù)后，如實記錄數(shù)據(jù)。

師：測量要實事求是，不準弄虛作假。4分30秒后開始匯報。

生5：我畫的是1個鈍角三角形，鈍角度數(shù)為170°，其余兩個銳角的度數(shù)各是5°和5°，合計180°。

生6：我畫的是1個直角三角形，毫無疑問，直角當然是90°，其中一個銳角是45°，另一個銳角也是45°，三個角相加為180°。

生7：我畫的是1個銳角三角形，三個角全是銳角，度數(shù)各是80°、34°、66°，三個角相加也是180°。

生8：我畫的也是1個直角三角形，直角當然是90°，剩余兩個是銳角，各是58°和32°，3個角相加也是180°。

師：同學(xué)們真是手腳麻利！通過親自測算，發(fā)現(xiàn)了一個重大秘密，那就是任意一個三角形的內(nèi)角和均為180°，有沒有與180°不同的結(jié)果呢？

生（齊）：沒有！

師：真的沒有嗎？

生（齊）：沒有！

師：我發(fā)現(xiàn)一例。請這位同學(xué)來說說他的讀數(shù)和計算結(jié)果。

生9（慢吞吞地）：我量的3個角的大小各是110°、34°、34°，三個角相加為192°。

師：不對吧！110°+34°+34°=192°嗎？應(yīng)該是178°吧。

師：其他同學(xué)有不同結(jié)果嗎？

生（齊）：沒有！

生10：我懷疑他量錯了。

師：今天我們能將所有三角形全部畫出來檢測嗎？（不能）我們班有多少人？（48人）三角形千千萬萬，不計其數(shù)，各種形狀應(yīng)有盡有，內(nèi)角和是否都是180°呢？有沒有例外？

生（齊）：沒有！

生11：我懷疑生9畫三角形時，一個角沒有連接密實，以前我也犯過這種錯誤，但是量的結(jié)果都是180°。

師（欣喜地）：同學(xué)們，測量誤差在所難免，得到的數(shù)據(jù)和結(jié)果相應(yīng)地就會失實，看來用量角器測量也有缺陷，接下來我們撤除量角器。棄用量角器后，能改用其他方法證實三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

……

二、調(diào)研分析與改良措施

1.調(diào)查分析

學(xué)生測算的結(jié)果出奇地統(tǒng)一，都為180°，當真是“人人得手”嗎？筆者對四年級兩個班110位學(xué)生進行了兩次調(diào)研。

第一次是讓學(xué)生分別測出圖1左端單列的6個角的大?。ㄆ渲小?、∠2、∠3與①號三角形的三個內(nèi)角大小吻合;∠4、∠5、∠6與②號三角形的三個內(nèi)角大小吻合）。

第二次是讓學(xué)生測出圖1右端的①和②號兩個三角形的三個內(nèi)角的大小。

度量結(jié)果如下表：

由此分析，第一次測量結(jié)果科學(xué)可靠，有18位學(xué)生量得①號三角形對應(yīng)內(nèi)角的和為180°;有23位學(xué)生量得②號三角形對應(yīng)內(nèi)角的和為180°，得出兩個都是180°的有6位學(xué)生。有些學(xué)生盡管測算得到180°的角度總和，但是具體到每個角的度數(shù)還是存在微小誤差。第二次測量的結(jié)果可信度很低。有些學(xué)生投機取巧，只量出兩個內(nèi)角的度數(shù)，再用預(yù)知的總和180°作差，推算出第三個角的度數(shù)。這種因果顛倒、循環(huán)論證的做法，歸咎于學(xué)生測量前預(yù)先知道三角形內(nèi)角和為180°的定理。如果操作得出的與這個理論的結(jié)果有出入，為了掩蓋失誤，逃脫責(zé)罰，學(xué)生就會偷偷篡改實驗數(shù)據(jù)。因此，在課堂教學(xué)中，尤其是公開課上，很少有學(xué)生愿意丟丑露拙，會極力否認自己測的不是180°。有些學(xué)生則為了迎合老師，也會違心地說出自己測量的結(jié)果是180°。

2.改進策略

師：請大家完成課堂練習(xí)第1題（量出圖1中的6個角）。認真測量，不得有誤，測量后匯報（先匯報∠1、∠2、∠3三個角的度數(shù)，再匯報∠4、∠5、∠6三個角的度數(shù)）。

生1：∠1=54°，∠2=80°，∠3=48°。

生2：∠1=52°，∠2=79°，∠3=50°。

生3：∠1=50°，∠2=80°，∠3=50°。

生4：∠1=55°，∠2=80°，∠3=79°。

生5：∠4=40°，∠5=110°，∠6=35°。

生6：∠4=40°，∠5=106°，∠6=35°。

師：方才我們測量的∠1、∠2、∠3的大小與①號三角形的三個內(nèi)角相吻合;∠4、∠5、∠6與②號三角形的三個內(nèi)角相吻合（課件動態(tài)演示），請大家再次測算它們的內(nèi)角和是多少？

（學(xué)生計算后匯報;全班約有75%的學(xué)生沒有得到180°，但是基本都在175°與180°之間;個別學(xué)生讀數(shù)時，張冠李戴，得到200多度的結(jié)果）

師 （指著課件上的兩個三角形） ：為什么我們測算的結(jié)果五花八門呢？

生7：可能是讀數(shù)失誤。

生8：也可能“兩點”（量角器的中心點與角的頂點）未能嚴格對準，“兩線”（量角器的0刻度線與角的邊線）沒有重合……

師：在度量的時候，微小的誤差在所難免。那么，除了測算，你還有別的方法來證實三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

……

三、讓動手操作成為一種心甘情愿之舉

學(xué)生已經(jīng)提前獲知三角形的內(nèi)角和是180°這個結(jié)論，再讓學(xué)生去測算三角形的內(nèi)角和，只會使學(xué)生喪失操作的興趣和動機，就會有一些學(xué)生投機取巧，違規(guī)操作，量出兩個角的度數(shù)后，推算出第三個內(nèi)角的度數(shù)，假冒是測量的結(jié)果;一些學(xué)生眼見得不到180°，于是進行重新測量，東拼西湊，削足適履，勉強得出180°。這樣一來，動手操作就形同虛設(shè)。因此，筆者在兩次調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，調(diào)整思路，改進教學(xué)設(shè)計：沒有固執(zhí)地要求學(xué)生量三角形的三個內(nèi)角，而是先把三角形的三個內(nèi)角分割出來，讓學(xué)生盡興“盲測”，再揭曉真相——它們分別對應(yīng)三角形的三個內(nèi)角，這樣的操作迫使學(xué)生只能老老實實測量度數(shù)，按部就班計算角度和，并且意識到不認真操作得不出180°這個結(jié)論，斷了他們弄虛作假的后路，從而激發(fā)了他們另辟蹊徑的決心，調(diào)動他們尋覓其他驗證方法的積極性與主動性，操作的必要性呼之欲出。

有的學(xué)生把矩形分割成兩個全等的直角三角形，推知內(nèi)角和是180°;有的學(xué)生利用三角板的固有度數(shù)，計算內(nèi)角和;有的學(xué)生分別在鈍角三角形、銳角三角形內(nèi)作高，分割成兩個直角三角形，推理出其內(nèi)角和也是180°……在此基礎(chǔ)上，只需要引導(dǎo)學(xué)生大膽想象：如果把三角形的三個內(nèi)角剪切下來，拼接在一起，會得到什么角呢？這樣，師生自然配合默契，合作愉快。

因此，操作材料要精耕細作，只有打造精品，才能讓“動手”成為“甘心情愿”，甚至“求之不得”之舉。

（責(zé)編 金 鈴）