孫思維，毛雪飛，黃夢(mèng)琦，劉向東，李震

（1.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100081；2.中國農(nóng)業(yè)銀行，北京100005）

壓電陶瓷致動(dòng)器是一種特種電機(jī)，具有輸出力大、速度快、穩(wěn)定性好、位移精度高的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于高精度微納米電氣傳動(dòng)系統(tǒng)中，如超精加工機(jī)床的微動(dòng)定位系統(tǒng)[1]、快速傾斜鏡[2]、高速掃描探針顯微鏡[3]等。但是在實(shí)際應(yīng)用中壓電陶瓷致動(dòng)器存在遲滯非線性的特性會(huì)影響控制精度，所以研究壓電陶瓷控制器的模型和控制方法有重要的意義。

現(xiàn)有對(duì)壓電陶瓷的遲滯模型研究主要有通過遲滯現(xiàn)象解釋的Preisach模型[4]，Prandtl-Ishlinskii（PI）模 型[5]，Bouc-Wen模 型[6]，神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 模型[7]，最小二乘支持向量機(jī)模型[8]，以及段相似模型[9]等。還有基于物理原理進(jìn)行解釋的Maxwell等模型。Presisach等模型通過對(duì)壓電陶瓷的遲滯特性產(chǎn)生的現(xiàn)象進(jìn)行解釋，并且取得了較好的擬合效果，因此被廣泛應(yīng)用。在這些模型的基礎(chǔ)上，可以對(duì)壓電陶瓷致動(dòng)器進(jìn)行遲滯逆補(bǔ)償控制、前饋-反饋逆補(bǔ)償控制[10]等，具有良好的控制效果。然而，在實(shí)際控制中，控制系統(tǒng)會(huì)受到環(huán)境變化和擾動(dòng)等的影響，使用固定的逆模型控制器的控制效果無法達(dá)到預(yù)期，因此文獻(xiàn)[11]提出了FIR濾波器來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)的逆控制，針對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和干擾進(jìn)行自適應(yīng)控制，得到了較好的控制性能。但是直接使用自適應(yīng)濾波器逆控制的效果仍不太理想，所以文獻(xiàn)[12]提出基于Backlash的自適應(yīng)濾波器，通過使用Backlash算子代替延遲算子，由于Backlash算子具有記憶歷史輸入的能力，提高了遲滯建模能力。

但是現(xiàn)有的自適應(yīng)濾波器建模和逆補(bǔ)償控制存在模型復(fù)雜、運(yùn)算速度慢、收斂速度慢的問題，因此本文提出基于Backlash算子的GAJLP濾波器建立自適應(yīng)遲滯模型及逆補(bǔ)償控制器。該濾波器采用正交算法構(gòu)建，綜合了梯度格型濾波器與自適應(yīng)FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)，所以GALJP濾波器不涉及反饋引起的穩(wěn)定性問題。并且相較于經(jīng)典的自適應(yīng)FIR濾波器，該濾波器最突出的優(yōu)勢(shì)是：GALJP濾波器是由多節(jié)相同的正交單元級(jí)聯(lián)，其結(jié)構(gòu)高度模塊化，在實(shí)際工程應(yīng)用中，能夠非常方便地調(diào)整GALJP濾波器的階數(shù)，并能用較低的階數(shù)達(dá)到很好的建模和控制效果。

1 基于Backlash的GALJP濾波器遲滯模型

1.1 Backlash算子

Backlash算子的傳輸特性見圖1。

圖1 Backlash算子的傳輸特性Fig.1 Transmission characteristics of the Backlash operator

Backlash算子在t時(shí)刻的輸出pri[u(t)]滿足下式：

式中：u(t)為t時(shí)間的輸入；ri為第i個(gè)Backlash算子的閾值；pri[u(t-)]表示算子的輸出信號(hào)與之前相同。

可將式（1）寫為離散形式：

式中：Δu(k)為k時(shí)刻與前一時(shí)刻的差。

1.2 基于Backlash算子的自適應(yīng)格型濾波器

梯度格型濾波器的基本正交單元結(jié)構(gòu)如圖2所示?？蓪⑵涫孜泊?lián)組成不同階的梯度格型濾波器。

圖2 梯度格型濾波器的基本正交單元結(jié)構(gòu)Fig.2 Basic unit structure of the gradient lattice filter

在k時(shí)刻的m階梯度格型濾波器的基本正交單元的計(jì)算公式為

梯度格型濾波器正交基本單元有如下性質(zhì)：

1）后向預(yù)測(cè)誤差bm(k)相互正交。即E[ bi(k)·bj(k)]=0,i≠j，說明正交單元的前、后級(jí)不存在耦合關(guān)系。各級(jí)的最優(yōu)化等價(jià)于整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)化。

2）前向預(yù)測(cè)誤差fm(k)與時(shí)移前向誤差fm(k±l)正交，其中1≤l≤m-i,i＜m。

3）前向預(yù)測(cè)誤差fm(k)與輸入的互相關(guān)函數(shù)等于后向預(yù)測(cè)誤差bm(k)與被延時(shí)的輸入互相關(guān)函數(shù)。

4）各階前向預(yù)測(cè)誤差fm(k)不正交。

按照伯格方法，反射系數(shù)的更新公式為

式中：β為更新系數(shù)，一般采用固定的更新系數(shù)對(duì)反射系數(shù)進(jìn)行更新。

將多個(gè)如圖2格型濾波器基本正交單元的延遲算子更換為Backlash算子組成基于Backlash算子的梯度格型濾波器得到圖3所示結(jié)構(gòu)，其中M為基本正交單元的個(gè)數(shù)，wm表示第m階GALJP基本正交單元輸出的權(quán)值。

GALJP濾波器基本單元的計(jì)算公式為

式中：bm(k)為前一階后向預(yù)測(cè)誤差bm-1(k)經(jīng)過Backlash算子所得到的輸出，其計(jì)算公式見式（1）～式（2）。

圖3 基于Backlash算子的GALJP濾波器結(jié)構(gòu)Fig.3 GALJP filter structure based on Backlash operator

在計(jì)算前后向預(yù)測(cè)誤差之后對(duì)反射系數(shù)進(jìn)行更新：

將GALJP濾波器的各級(jí)后向預(yù)測(cè)誤差及權(quán)值組成向量形式：

k時(shí)刻GALJP濾波器的輸出為

式中：b i as為一消除系統(tǒng)在初始時(shí)偏置量，可以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

根據(jù)實(shí)際的輸出位移信號(hào)d（k）可計(jì)算GALJP濾波器的誤差為

在自適應(yīng)建模和控制過程中可使用最小均方（least mean square，LMS）的方法結(jié)合GALJP濾波器的誤差來動(dòng)態(tài)更新權(quán)值，從而來自適應(yīng)系統(tǒng)變化。但是如果使用固定步長更新，需要同時(shí)考慮自適應(yīng)系統(tǒng)的適應(yīng)速度和準(zhǔn)確度，在此可采用歸一化的最小均方（normalized least mean square，NLMS）方法，其步長的計(jì)算公式為

式中：α為控制步長的常數(shù)，通過后向預(yù)測(cè)誤差向量X(k)來自適應(yīng)調(diào)整步長；γ是為了防止系統(tǒng)出現(xiàn)X(k)=0的情況而增加的一個(gè)較小的常量。

最后GALJP濾波器的權(quán)值和偏置更新公式為

2 遲滯模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對(duì)提出的遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，本文采用基于MPT-1JN/RL002型號(hào)的壓電致動(dòng)器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，其輸入電壓范圍為-30～150 V，位移最大為16μm，內(nèi)置分辨率為2.5 nm的電阻式應(yīng)變片傳感器。

實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示，實(shí)驗(yàn)裝置通過使用半實(shí)物仿真平臺(tái)LINKS_RT向驅(qū)動(dòng)電源發(fā)送控制信號(hào)，由驅(qū)動(dòng)電源將驅(qū)動(dòng)電壓作用到壓電致動(dòng)器，最后將壓電致動(dòng)器內(nèi)部電阻應(yīng)變片傳感器的位移信號(hào)返回至半實(shí)物仿真平臺(tái)做進(jìn)一步的信號(hào)處理。

圖4 壓電致動(dòng)器實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Structural block diagram of experimental device for piezoelectric actuator

在對(duì)壓電致動(dòng)器使用GALJP濾波器進(jìn)行建模時(shí)，需要確定濾波器系統(tǒng)的階數(shù)M，所以需要對(duì)比不同階數(shù)的建模性能。本文使用如圖5所示的衰減正弦波信號(hào)作為輸入電壓信號(hào)，通過傳感器得到輸出位移信號(hào)，在線使用輸入輸出信號(hào)在不同階數(shù)GALJP濾波器進(jìn)行遲滯建模。遲滯建模的框圖如圖6所示。

圖5 衰減正弦波輸入電壓信號(hào)Fig.5 Attenuates the sine wave input voltage signal

圖6 GALJP濾波器的壓電致動(dòng)器遲滯特性建?？驁DFig.6 Block diagram for modeling the hysteresis characteristics of piezoelectric actuators based on GALJP filters

實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置Backlash算子的閾值為1，并且將輸入輸出信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化到[-1，1]，初始反射系數(shù)Km(0)=0，前后向預(yù)測(cè)誤差初值fm(0)=bm(0)=0，反射系數(shù)更新步長β=0.001，初始輸出權(quán)重為W（0）=[0.005 0.005…0.005]T，初始偏置bias（0）=-1。使用不同階數(shù)的GALJP濾波器來對(duì)壓電致動(dòng)器遲滯特性進(jìn)行建模，表1為實(shí)驗(yàn)的誤差結(jié)果，圖7為誤差對(duì)比，本文選取平均絕對(duì)誤差eav和均方根誤差RMSE兩個(gè)指標(biāo)對(duì)遲滯模型的性能進(jìn)行定量描述。

表1 不同階GALJP濾波器的壓電致動(dòng)器遲滯建模誤差Tab.1 Modeling error of piezoelectric actuators with different order GALJP filters

圖7 不同階數(shù)GALJP濾波器的壓電致動(dòng)器遲滯建模誤差Fig.7 Modeling error of piezoelectric actuators with different order GALJP filters

根據(jù)建模得到的結(jié)果，1階的誤差最大，2階的誤差降到最低，之后隨著階數(shù)的增大誤差逐漸增大。綜合自適應(yīng)濾波器的建模性能和計(jì)算時(shí)間，選擇階數(shù)為2的GALJP濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行遲滯建模。

為了對(duì)提出的建模方法性能進(jìn)行更好地說明，使用不同頻率的12μm等幅正弦信號(hào)對(duì)GALJP濾波器遲滯建模和PI遲滯建模方法進(jìn)行對(duì)比。其中PI模型的算子數(shù)為20，通過初載曲線確定算子的權(quán)重。兩種建模方法對(duì)壓電致動(dòng)器遲滯特性的建模誤差可見表2，從結(jié)果可以看出，在各種頻率信號(hào)下，GALJP濾波器有著更高的建模精度。

表2 壓電致動(dòng)器遲滯建模方法均方根誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of root mean square error of hysteresis modeling methods for piezoelectric actuators

3 GALJP濾波器補(bǔ)償控制器

在GALJP濾波器結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建立圖8所示的壓電致動(dòng)器補(bǔ)償控制系統(tǒng)。在設(shè)計(jì)GALJP濾波器補(bǔ)償控制器時(shí)，選用從上一節(jié)中對(duì)比得到的2階GALJP濾波器結(jié)構(gòu)，并且使用相同的初始參數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電致動(dòng)器的自適應(yīng)遲滯補(bǔ)償控制。由于在實(shí)際控制過程中會(huì)存在不同的控制參考信號(hào)，所以采用隨機(jī)正弦波和隨機(jī)三角波作為參考信號(hào)來驗(yàn)證跟蹤性能。圖9、圖10為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖8 基于GALJP濾波器的壓電致動(dòng)器控制系統(tǒng)框圖Fig.8 Block diagram of piezoelectric actuator control system based on GALJP filter

圖9 隨機(jī)三角波信號(hào)作用下GALJP濾波器補(bǔ)償控制壓電致動(dòng)器實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experimental results of GALJP filter compensation control of piezoelectric actuators under random triangle wave signal

圖10 隨機(jī)正弦波信號(hào)作用下GALJP濾波器補(bǔ)償控制壓電致動(dòng)器實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experimental results of GALJP filter compensation control of piezoelectric actuators under random sine wave signal

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，無論是隨機(jī)正弦波信號(hào)還是隨機(jī)三角波信號(hào)作為參考信號(hào)下，均有較好的跟蹤效果，其誤差范圍在±0.02μm以內(nèi)，均方根誤差分別占總行程的0.023 8%和0.026 2%。

為了更好地展示所提出控制方法的性能，使用PID控制器和GALJP濾波器遲滯補(bǔ)償控制器在不同頻率的10μm等幅正弦參考信號(hào)作用下進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。其中PID控制器采用增量式的方法，具體參數(shù)為：Kp=0.5，Ki=0.1，Kd=0。

兩種對(duì)壓電致動(dòng)器跟蹤控制方法的誤差對(duì)比結(jié)果如表3所示。

表3 壓電致動(dòng)器控制方法跟蹤均方根誤差對(duì)比Tab.3 Comparison of tracking RMSE of control methods for piezoelectric actuators

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，GALJP濾波器補(bǔ)償控制方法在不同頻率下均表現(xiàn)出更好的跟蹤性能，并且在50 Hz下的精度約為PID控制器的3倍。但是由于遲滯特性與輸入信號(hào)的速率相關(guān)，所以隨著信號(hào)頻率提高，其誤差也相應(yīng)增大，相應(yīng)的解決方法會(huì)在以后做進(jìn)一步的研究。

4 結(jié)論

為了降低壓電陶瓷致動(dòng)器遲滯特性的不良影響，本文提出了一種基于Backlash算子的GALJP濾波器用于對(duì)壓電致動(dòng)器進(jìn)行建模和遲滯補(bǔ)償控制。首先通過使用不同階數(shù)的GALJP濾波器來對(duì)衰減正弦波信號(hào)進(jìn)行建模，綜合建模精度和計(jì)算時(shí)間，選擇階數(shù)為2的GALJP濾波器進(jìn)行建模，其均方根誤差為0.010 4μm。然后使用階數(shù)為2的GALJP濾波器進(jìn)行遲滯補(bǔ)償控制，在隨機(jī)正弦波信號(hào)和隨機(jī)三角波信號(hào)作用下均有較好的控制效果，并且在不同頻率等幅正弦參考信號(hào)下跟蹤效果均優(yōu)于PID控制器。本文的研究可為高精度微納米電氣傳動(dòng)系統(tǒng)的研究提供參考。