溫建紅 鄧宏偉 (西北師范大學(xué)教育學(xué)院 730070)

1 問題提出

數(shù)學(xué)教學(xué)除了要關(guān)注學(xué)生的基本知識和基本技能，還要重視滲透數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動經(jīng)驗．模型思想作為數(shù)學(xué)基本思想之一，是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，其背景往往是來自于現(xiàn)實生活或者跨學(xué)科中的情境，具有跨學(xué)科、綜合性強的特點．如何結(jié)合具體內(nèi)容向?qū)W生滲透模型思想，是數(shù)學(xué)教師面對的重要課題．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了要在日常課堂教學(xué)中滲透模型思想，還要創(chuàng)造機會，讓學(xué)生經(jīng)歷通過建立模型解決問題的數(shù)學(xué)活動，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中感悟模型思想，掌握數(shù)學(xué)建模的方法．

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，“綜合與實踐”是較為獨特的一塊內(nèi)容，它是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主，綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題的學(xué)習(xí)活動，注重學(xué)生自主參與、全過程參與，重視學(xué)生積極動腦、動手、動口；注重數(shù)學(xué)與生活實際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用．[1]“綜合與實踐”綜合性強，問題解決特點明顯，在數(shù)學(xué)教材中有多個專題內(nèi)容供教師選擇，如果教師在教學(xué)中能給予重視，是滲透模型思想很好的素材．下面結(jié)合具體的例子，探討在“綜合與實踐”教學(xué)中滲透模型思想的策略．

2 在“綜合與實踐”教學(xué)中滲透模型思想的策略

數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，要展現(xiàn)建模的過程和主要環(huán)節(jié)．建立和求解模型的過程主要包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．[1]簡單而言，滲透模型思想要凸顯三個方面：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立模型、求出結(jié)果并討論．“設(shè)計遮陽篷”是北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊“綜合與實踐”中的內(nèi)容[2]，下面就以它為例，來說明如何在“綜合與實踐”教學(xué)中滲透模型思想．

2.1 在已有問題基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出更為本質(zhì)的問題

問題是滲透模型思想的起點，在一般的“綜合與實踐”中，已經(jīng)有了較為明確的問題，但對數(shù)學(xué)建模而言，則需要讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題．這就需要教師結(jié)合實際情境，在已有問題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出更為本質(zhì)的問題．

在設(shè)計遮陽篷中，原來的問題是：假設(shè)某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶的高度為h(即圖1的AB)．此地一年中的正午時刻，太陽光與地平面的最小夾角為α(圖1的∠BDC)，最大夾角為β(∠ADC)．請你為該窗戶設(shè)計一個遮陽篷，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．

圖1

結(jié)合情境，通過分析發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵是找到遮陽篷長度CD與h，α，β的關(guān)系，那么如何確定α，β就成為關(guān)鍵．

從問題解決來看，當(dāng)知道居民所在地，能知道的就是所在地的緯度θ．從教材所給的表發(fā)現(xiàn)，只要知道所在地的緯度θ，就能得到α，β的值，如果能找到θ與α，β的關(guān)系，就能得到CD與θ的關(guān)系．這樣，只要給出任意一個北半球的地點，就能根據(jù)所在地的緯度，得到遮陽篷長度CD．為此，可以在原來問題的基礎(chǔ)上提出更為一般的問題：如果要為北半球任意地區(qū)的窗戶設(shè)計遮陽篷，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)，該如何設(shè)計？

2.2 分析問題，建立模型

為了建立北半球任意地區(qū)遮陽篷的模型，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么夏至這一天的正午時刻，太陽光線DA與遮陽篷CD的夾角β能達到最大；冬至這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角α能達到最??？β與α的本質(zhì)是什么？對于β與α的值，有沒有一般的計算公式？從七年級地理教科書可知[3]，β與α分別是夏至日正午太陽高度角和冬至日正午太陽高度角，為了得到正午太陽高度角，需要知道當(dāng)?shù)鼐暥龋c前面問題中角α和β相比，當(dāng)?shù)鼐暥认鄬^為容易查得或測量[4]．因此，為了建立北半球地區(qū)的遮陽篷模型，需要建立北半球地區(qū)夏至日和冬至日的正午太陽高度角的計算公式．正午太陽高度角公式來源于義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)中關(guān)于地球運動的“活動建議”[1]，同時又高于義務(wù)教育地理課程標(biāo)準(zhǔn)．考慮到學(xué)生現(xiàn)階段的知識儲備(學(xué)習(xí)了圓的知識、三角形、平行線及淺顯的地球運動等相關(guān)知識)與接受能力，只探討特定兩日的正午太陽高度角的計算，以降低學(xué)生建模難度．

如圖2和圖3分別是太陽直射北回歸線和南回歸線時的情況，記B地的緯度為θ(23°26′<θ<90°)，點B的正午太陽高度角為H，當(dāng)太陽垂直照射的點A在23°26′N時(圖2)，點B的正午太陽高度角為H=90°-(θ-23°26′)；當(dāng)太陽垂直照射的點A在23°26′S時(圖3)，B點的正午太陽高度角為H=90°-(θ+23°26′)．

圖2 圖3

2.3 結(jié)果與討論

在得到遮陽篷長度模型后，需要對遮陽篷長度進行誤差分析以改善模型．在建模過程中，始終將地球視為正球體，而實際上地球是一個赤道略鼓、兩極稍扁的橢球體．因此，在地理學(xué)中緯度的類型不止一個，所謂地理緯度(也稱測地緯度)，是指測站的鉛垂線與赤道平面的夾角；而地心緯度，指的是“測站-地心”連線與赤道平面的夾角．由于地表面是扁的旋轉(zhuǎn)橢球面(極半徑a=6 356.755 km，赤道半徑b=6 378.140 km)，所以除了兩極、赤道 ，同一地點的地理緯度與地心緯度都不相等．[5]大地緯度(地理緯度，或測地緯度)與地心緯度的差值隨地心緯度的變化都是先增大后減小，極值點在45°附近，其中大地緯度與地心緯度的差值最大約為11′32.7″．[6]因為本研究假設(shè)地球形狀是正球體，所以夏至日和冬至日的正午太陽高度角模型采用的緯度類型是“球心緯度”．而現(xiàn)今關(guān)于幾種緯度關(guān)系的差異分析大多是基于高等數(shù)學(xué)的方法，隨著對地球形狀認(rèn)識的加深，將逐步逼近地球的真實形狀． 對于誤差的解決，可以采用將遮陽篷設(shè)計成可收縮的，就能較好地解決這個問題．給出遮陽篷模型的適用范圍后，把北回歸線與北極圈的緯度分別代入模型，得到北回歸線以北到北極圈的遮陽篷長度在0 m到1.88 m之間．

在數(shù)學(xué)建模結(jié)束后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生對整個模型建立的過程進行回顧和反思：建模過程用到了什么概念，這些概念起到了什么關(guān)鍵作用？(如遮陽篷模型得以建立的關(guān)鍵概念就是正午太陽高度角)．建模經(jīng)歷了哪些步驟？遇到了哪些困難？(建立夏至日與冬至日的正午太陽高度角公式)建模過程中還用到了其他哪些學(xué)科知識？用到了什么技術(shù)？使用了什么技能？為什么建立的模型需要檢驗和完善？教師還可以在此問題的基礎(chǔ)上，拓展太陽高度角在其他方面的應(yīng)用：確定地方；確定房屋的朝向；確定當(dāng)?shù)氐牡乩砭暥?；確定日期、日影長短及方向；確定樓距、樓高；調(diào)整太陽能熱水器的傾角；判斷山地自然帶在南坡和北坡的分布高度等．

3 在“綜合與實踐”教學(xué)中滲透模型思想的建議

3.1 選擇適當(dāng)?shù)摹熬C合與實踐”內(nèi)容開展數(shù)學(xué)建模

義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書中“綜合與實踐”內(nèi)容豐富多彩，形式多樣，但并不是所有內(nèi)容都適合通過數(shù)學(xué)建模來組織．這就要求教師在教學(xué)時除了要有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的意識，還要對“綜合與實踐”的內(nèi)容進行深入研究，將比較適合數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容挑選出來．首先，教師要通過對“綜合與實踐”內(nèi)容的研究，判斷其中是否包含某種數(shù)學(xué)模型，這種模型是否具有典型性和廣泛的應(yīng)用性，然后結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平，考慮能否通過數(shù)學(xué)建模的方式來開展教學(xué)．例如，在北師大版初中數(shù)學(xué)教材“綜合與實踐”中，除了“設(shè)計遮陽篷”，還有“哪個城市夏天更熱”“池塘里有多少魚”“哪種方式更合算”“制作視力表”“哪一款手機資費套餐更合適”等，它們都比較適合通過數(shù)學(xué)建模來學(xué)習(xí)．其次，數(shù)學(xué)建模除了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，還能應(yīng)用它來解決其他數(shù)學(xué)問題．教師在組織數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中，既要看到問題的特殊性，又要看到模型應(yīng)用的普遍性．如“設(shè)計遮陽篷”問題，表面看只是關(guān)于遮陽篷的問題，問題情境較為特殊，但當(dāng)構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，會發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何圖形結(jié)構(gòu)與函數(shù)模型卻在三角函數(shù)有關(guān)計算、測量物體的高度等很多問題中有廣泛的應(yīng)用．

3.2 開展數(shù)學(xué)建?；顒右蠸TEAM教育理念

隨著國際上STEAM教育的興起，加強科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，通過不同學(xué)科相互關(guān)聯(lián)的知識解決問題，實現(xiàn)跨越學(xué)科界限、從多學(xué)科知識綜合應(yīng)用的角度，提高學(xué)生解決實際問題的能力已成為國際教育界的共識．[7]“綜合與實踐”內(nèi)容的最大特點是綜合性強，很多問題的解決不僅僅涉及數(shù)學(xué)學(xué)科知識，還可能包含物理、地理、工程、技術(shù)、藝術(shù)等很多其他學(xué)科知識．這就要求數(shù)學(xué)教師在組織數(shù)學(xué)建?；顒訒r，必須有STEAM教育理念，引導(dǎo)學(xué)生打破學(xué)科壁壘，運用跨學(xué)科知識解決問題的意識．同時，還要有與其他學(xué)科教師合作，一起探索解決問題的意識．回顧遮陽篷模型的建立過程，其中不僅用到了數(shù)學(xué)知識，還有很多地理學(xué)科的知識；而遮陽篷的外形到底設(shè)計成直線形、圓弧形還是拋物線形？這既要考慮設(shè)計的藝術(shù)性，還要兼顧遮陽篷能否伸縮等實用性問題；在此過程中，更離不開測量、動手操作等各種工程與技術(shù)方面的知識，整個數(shù)學(xué)建模過程幾乎包含了STEAM教育的所有元素．

3.3 要重視數(shù)學(xué)建模的過程

在“綜合與實踐”中開展數(shù)學(xué)建模，教師可以將課內(nèi)與課外學(xué)習(xí)結(jié)合起來，給學(xué)生較為充分的時間和空間，采取小組合作學(xué)習(xí)等靈活多樣的教學(xué)方式，讓學(xué)生在不斷探索中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程．發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點，教師要以此為契機，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的能力；分析問題、建立模型是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到數(shù)學(xué)模型；[8]當(dāng)模型構(gòu)建起來后，教師還要讓學(xué)生對其做檢驗，進一步修正和完善所建立的數(shù)學(xué)模型．學(xué)生只有經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，才能切身感受到數(shù)學(xué)建模的好處，體會到數(shù)學(xué)建模的特點，學(xué)會運用數(shù)學(xué)建模解決問題的方法，使數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到提高．

3.4 建模過程中教師要適當(dāng)引導(dǎo)

數(shù)學(xué)建模過程涉及到現(xiàn)實生活的問題或者跨學(xué)科的問題，對于學(xué)生具有挑戰(zhàn)性，正因為如此，對培養(yǎng)學(xué)生的資料收集能力、自學(xué)能力、問題提出能力、創(chuàng)新能力具有重要作用．但考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力和實際能力，教師需要在適當(dāng)時機進行引導(dǎo)．如夏至日和冬至日全球正午太陽高度角的計算，既是一個跨學(xué)科問題，又是一個數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的綜合問題(圓、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識的綜合)；在最后得出遮陽篷長度模型，求解最大值最小值時，需要教師來幫助完成，最簡便的方式是通過幾何畫板作出圖象，學(xué)生大概估計出一個范圍；同時在誤差分析上教師需要從感性分析過渡到理性分析，簡要介紹人類認(rèn)識地球形狀的不同階段．總之，整個建模過程要在教師不失時機的引導(dǎo)下完成．