陳華鑫尤晶晶王林康史浩飛葉鵬達

(1.南京林業(yè)大學機械電子工程學院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京 210016)

六維加速度傳感器在汽車安全、機器人、航空航天等領域有著廣泛的應用[1－3]。 隨著科學的進步與發(fā)展，為了獲取物體實時、精確的位姿信息，人們對六維加速度傳感器的靈敏度、精度要求越來越高。目前，六維加速度傳感器仍處于實驗室原理論證階段。 Vladimir Chapsky 等提出了一種彈簧光電型六維加速度傳感器[4]，孫治博等提出了一種基于Gough-Stewart 機構的六維加速度傳感器[5]，他們的不足之處是在解耦過程中忽略了質量塊與基座的相對運動而沒有考慮機構的奇異位形。 然而，由于多維傳感器彈性體結構的自由度數較高，傳感器在工作時可能處于奇異位形。 當彈性體結構的位姿接近于奇異位形時，其靈活度大幅下降，甚至實際自由度不再與理論自由度相等，嚴重影響了傳感器的性能。因此，六維加速度傳感器彈性體結構的奇異性是一個重要的性能指標。

本課題組已設計出四種構型的六維加速度傳感器，包括9－3、9－4、12－4 和12－6 型。 前期研究結果表明，不同構型傳感器的剛度、測量精度、效率等性能指標不同[6]，同一構型的多個性能指標之間也存在矛盾[7]。 為適應不同的工作場合[8－11]，我們提出了“可重構六維加速度傳感器”的概念，即六維加速度傳感器的彈性體結構能夠在多種構型之間自由切換。

本文對一種可重構六維加速度傳感器的四種構型建立了正向動力學方程和正向運動學方程，推導出了由基座加速度分量表達的質量塊相對于基座的位姿解。 進一步地，使用Gosselin 法分析了四種構型的奇異位形。 最后，研究了傳感器四種構型的奇異位形與基座加速度、質量塊的質量之間的關系，從理論上指導了傳感器構型的選擇。

1 傳感器的結構模型及工作原理

可重構六維加速度傳感器由邊長為2n 的質量塊、基座以及數條初始長度為L 的SPS 支鏈組成(S代表球面副，P 代表移動副)。 如圖1 所示，支鏈采用可改變工作狀態(tài)的拉動式結構。 當傳感器重構為某一構型時，拉動該構型對應的所有支鏈，此時支鏈上的彈簧壓縮，彈簧剛度增大。

圖1 可重構六維加速度傳感器的支鏈結構

不同構型的并聯式六維加速度傳感器原理相同，根據傳感器支鏈個數、復合球鉸鏈個數，傳感器可分為9－3、9－4、12－4 及12－6 構型等。 傳感器在實際工作時，外殼剛性固定在待測載體上一起做加速運動，質量塊在慣性力的作用下壓縮或拉伸支鏈。各支鏈上壓電陶瓷受到軸向力的作用，由于正壓電效應，壓電陶瓷的兩端會產生電荷，且電荷量的多少與作用在外殼上六維加速度的大小有關。 實際解耦時，首先，測量出所有壓電陶瓷兩端的電荷量，并運用壓電理論將其換算成支鏈的變形量；然后，運用并聯機構的運動學理論將支鏈的變形量換算成質量塊相對于外殼的運動參量；最后，用外殼相對于慣性參考系以及質量塊相對于外殼的運動參量來表示質量塊相對于慣性參考系的運動參量，通過建立并求解系統的動力學方程得到待測加速度的6 個分量[12]。

六維加速度傳感器能夠在9－3、9－4、12－4 及12－6 這四種構型之間實現重構，如圖2 所示。 分別在質量塊和基座上固聯坐標系{O1}和{O2}。 初始狀態(tài)下兩坐標系重合，其坐標原點位于質量塊的質心處。 本文以12－4 構型傳感器為例，對其建立正向動力學、運動學方程并計算其雅可比矩陣條件數。

圖2 傳感器四種構型的支鏈布局原理圖

2 正向動力學模型

六維加速度傳感器的輸入量為基座的六維加速度，輸出量為所有支鏈的軸向力。 每個輸入量均會引起所有輸出量的變化，因此，六維加速度傳感器屬于多輸入、多輸出的非線性、強耦合系統。 通過構建系統的動力學方程，根據基座的六維加速度求解各個支鏈的軸向力，該過程稱為“正向動力學求解”。

2.1 正向動力學方程

由于傳感器質量塊的質量遠大于支鏈的質量，且各個支鏈兩端均為球面副，因此各條支鏈均可看作二力桿。 記fi為傳感器中第i條支鏈輸出的軸向力。

定義前置矩陣和后置矩陣，其表達式分別為:

式中:子元素s1、s2、s3、s0均為實數，由它們組成的列向量記作S；上標“＋”、“－”分別表示對應向量的前置矩陣和后置矩陣。 當子元素取四元數的虛部λ1、λ2、λ3和實部λ0時，對應的矩陣稱為前置四元數矩陣和后置四元數矩陣。 由此，可用單位四元數(λ1，λ2，λ3，λ0)描述載體系{O2}和慣性系之間的四階旋轉矩陣R:

運用牛頓－歐拉法可分別對傳感器的四種構型建立兩組動力學方程[13－14]。 12－4 構型的兩組動力學方程為:

式中:a、ε分別表示三維線加速度矢量和三維角加速度矢量；m為質量塊的質量；g為重力加速度。

2.2 正向動力學求解

根據所建立的兩組動力學方程(4)、(5)，可得到傳感器輸入、輸出量之間的映射關系:

進一步分析后發(fā)現，四種構型的支鏈數均多于動力學方程的數目。 因此，僅利用式(6)還無法求解出支鏈的軸向力。 本文基于并聯機構的正向運動學理論，挖掘傳感器在四種不同的構型下，輸出量之間的固有約束關系，從而建立補充方程。

在坐標系{O2}中，傳感器支鏈的矢量可表示為

結合式(6)，可得傳感器的支鏈的軸向力與輸入量之間的映射關系。 易證明，所建立的線性方程組系數矩陣的秩恒等于12，故fi具有唯一解。 同理可求得傳感器在9－4、9－3、12－6 構型下支鏈軸向力的解。

3 正向運動學模型

并聯機構的運動學正解指:在已知的支鏈長度的情況下，計算出質量塊相對于基座的位姿正解。本節(jié)通過綜合運用四面體單元法和幾何約束法，計算傳感器四種構型的運動學正解。

如圖3 所示，以9－3 構型四面體B1b1b2b3為例，b1、b2、b3構成四面體底面，li對應于四面體側棱邊的長度，也是傳感器第i條支鏈的長度，且滿足關系式(13)。

圖3 9－3 構型四面體B1b1b2b3

圖4 9－3 構型位姿計算幾何模型

圖5 12－4、9－4 構型位姿計算幾何模型

式中:

如圖6 所示，根據質量塊上點O、B1、B2、B3的幾何位置關系有:

圖6 12－6 構型位姿計算幾何模型

將傳感器各構型由正向動力學求得的支鏈長度代入位置正解，即可得到由基座加速度表達的質量塊相對于基座的位姿解析式。

4 奇異位形分析

4.1 雅可比矩陣的推導

采用Gosselin 奇異分析法分析傳感器的奇異位形。 在已知質量塊在{O2}中的位置和姿態(tài)(x，y，z，α，β，γ)的情況下，求解各個支鏈長度li。 對支鏈長度表達式中的各變量x，y，z，α，β，γ求偏導數即可求得雅可比矩陣中的各個元素[15－16]。

由12－4 構型桿長條件可以得到:

4.2 雅克比矩陣條件數的倒數的計算

由矩陣理論可知，若雅克比矩陣J是一個m×n矩陣，其中m

雅可比矩陣條件數的倒數可用于評價機構的控制精度、靈活性和各向同性[17]。 若該指標值越接近于1，則表明機構中支鏈的分布越對稱，其受力越均衡。 此時，在對應位姿下的并聯機構也越靈活。 當雅可比矩陣條件數的倒數越接近于0，則此時彈性體結構的位姿越接近于奇異位形。

觀察后發(fā)現，雅克比矩陣的前三行是與支鏈方向有關的向量，是無量綱的；后三行元素與支鏈和質量塊質心間的距離有關，具有長度量綱。 因此，矩陣JTJ的六個特征值無法從大到小排序。 為使雅克比矩陣的各行量綱統一，將雅可比矩陣的最后三行同除以特征長度，此時矩陣JTJ中各元素單位是無量綱的[18]。 本文將n視為特征長度。

計算當基座加速度在一定范圍內時，四種構型的雅可比矩陣條件數的倒數。 將由加速度信息表達的質量塊質心位置O{O2}及歐拉角α、β、γ代入支鏈長度表達式，即可求得用加速度表達的雅可比矩陣。本文將以質心為參考點的反向雅可比矩陣視為標準雅可比矩陣，并將標準雅可比矩陣條件數的倒數小于0.15 的位形定義為奇異位形(奇異臨界值可根據實際計算結果作出調整)。 為計算傳感器在承受大幅值加速度情況下其雅可比矩陣條件數的倒數，設定輸入加速度取值范圍如表1 所示。

表1 輸入加速度取值范圍

為研究傳感器奇異曲面與質量塊的質量之間的關系，本文計算了傳感器的質量塊由5 kg 逐步增加至15 kg 時四種構型的雅可比矩陣條件數的倒數。 傳感器結構參數如表2 所示，重力加速度g取9.8 m/s2。

表2 傳感器結構參數

在設定的輸入加速度范圍內，四種構型雅可比矩陣條件數倒數的最小值隨質量塊質量的變化情況如圖7 所示。 當質量塊的質量越大，質量塊與基座的相對運動越大，雅可比矩陣條件數的倒數的最小值越小，傳感器越有可能出現奇異位形。 對于12－6 與12－4構型而言，在設定的輸入加速度范圍內，隨著質量塊質量逐漸增大，兩種構型傳感器均未出現奇異位形。對于9－3、9－4 構型，在保證傳感器靈敏度的前提下，應盡量減小質量塊的質量以避免傳感器發(fā)生奇異。

圖7 雅可比矩陣條件數的倒數最小值變化圖

由雅可比矩陣條件數的倒數的計算結果可知，隨著雅可比矩陣條件數的倒數的減小，對應的線加速度幅值逐漸增大，而角加速度無明顯的變化規(guī)律。進一步地，分別計算六個加速度變量與雅可比矩陣條件數的倒數之間的spearman 相關系數[19]。 當相關系數越接近于1 或－1，表明兩變量間相關性越大，計算結果如表3 所示。 結果表明:線加速度對雅可比矩陣條件數的倒數計算結果影響較大，而角加速度影響較小。

表3 spearman 相關系數計算結果

當雅可比矩陣條件數的倒數大于0.15 時，在m＝10 kg 情況下，對應的9－3 與9－4 構型的輸入線加速度散點圖如圖8 所示。 由于在設定的加速度范圍內，角加速度對計算結果影響較小，不再列出角加速度散點圖。 由計算結果可知，9－3 構型與9－4 構型適用的輸入加速度范圍存在明顯的差異。 在Z軸方向，9－3 構型可承受較大的正向線加速度，9－4構型則與之相反。

圖8 9－3、9－4 構型適用線加速度范圍

根據雅可比矩陣條件數的倒數的計算結果，9－3 與9－4 構型的位置奇異曲面與姿態(tài)奇異曲面隨質量塊質量的變化如圖9、圖10 所示。 當傳感器質量塊質量越大，傳感器奇異曲面范圍也越大。

圖9 9－3 構型位置奇異曲面、姿態(tài)奇異曲面

圖10 9－4 構型位置奇異曲面、姿態(tài)奇異曲面

5 應用實例

可重構六維加速度傳感器可根據不同的工作環(huán)境重構為不同的構型。 若僅考慮避免使傳感器發(fā)生奇異，根據第4 節(jié)所得到的線加速度對雅可比矩陣條件數的倒數影響較大的結論，角加速度不予考慮。當m＝10 kg 時，表4 列出幾組傳感器在輸入不同的線加速度情況下應避免使用的構型。

表4 可重構六維加速度傳感器構型選擇

6 結論

本文對可重構并聯式加速度傳感器的四種構型建立了正向動力學方程、正向運動學方程，求出了由輸入加速度信息表達的質量塊相對于基座的位姿解。 進一步地，使用Gosselin 法分析了四種構型的奇異位形。 結果表明，傳感器12－4、12－6 構型可承受較大的輸入加速度。 9－3、9－4 構型為避免發(fā)生奇異，其適用的加速度范圍相對較小且范圍存在差異，即在Z 軸方向，9－3 構型可承受較大的正向線加速度，9－4 構型則與之相反。 此外，當質量塊的質量越大，構型奇異曲面范圍也越大。 如若傳感器承受較大的輸入加速度，在保證傳感器靈敏度的前提下，應盡量減小質量塊的質量。