劉剛 王利巖

[基金項(xiàng)目]沈陽(yáng)航空航天大學(xué)2021年校教改研究項(xiàng)目（JG2020125）;沈陽(yáng)航空航天大學(xué)2021年理學(xué)院教改研究項(xiàng)目（JG202004A）

摘 要 “洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容之一，經(jīng)過(guò)課堂的基本講解，留給學(xué)生的是抽象神秘的不定式形象和無(wú)比易行而又刻板教條的洛必達(dá)法則。隨之注入以工程實(shí)際的豐富內(nèi)涵，抽絲剝繭般地給出不定式與平衡點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭掉了罩在不定式頭上的神秘面紗，使不定式變得豐滿鮮活起來(lái)，從而有效地點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣之火，也能夠激發(fā)學(xué)生將數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的強(qiáng)烈欲望，對(duì)于練好學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力都有著極大的意義。

關(guān)鍵詞 不定式;洛必達(dá)法則;平衡點(diǎn);斜率不定。

中圖分類號(hào) O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

一、引言

高等數(shù)學(xué)是高校工科學(xué)生一門重要的公共基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程必須具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更是走上社會(huì)以后配陪伴工程技術(shù)人員走過(guò)一生的“終生伴侶”。善于用數(shù)學(xué)符號(hào)描述復(fù)雜的工程技術(shù)問(wèn)題，這實(shí)在是工程技術(shù)人員必須具備的厚重內(nèi)秀和不可替代的強(qiáng)大能力[1]。所以要求高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)不僅要交待清楚基本的定理定義，而且要引領(lǐng)學(xué)生走出抽象的定理定義的大門，學(xué)會(huì)把定理定義工程化和實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，深入淺出，如此一定能強(qiáng)化學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和創(chuàng)新能力。

咋看，高等數(shù)學(xué)從始至終都是一堆符號(hào)的集合，給人以抽象、玄虛、難以理解的印象，其實(shí)這只是它的表征，實(shí)際上數(shù)學(xué)是對(duì)具有相同共性的一類實(shí)際問(wèn)題的抽象，因此善于還原抽象背后的問(wèn)題原型，是引領(lǐng)學(xué)生走出數(shù)學(xué)抽象大門的唯一途徑。

很多從事工程實(shí)踐的人，之所以寸步難行，就是不善于透過(guò)復(fù)雜的工程現(xiàn)象抽象出實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)核。究其根本原因，在他們的腦海里，從來(lái)都是數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，實(shí)踐是實(shí)踐，不善于把兩者結(jié)合起來(lái)。

造成上述狀態(tài)的原因是多方面的，但作為高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，首先應(yīng)該思考課堂教學(xué)法的改革。對(duì)于大綱要求的基本內(nèi)容要深入淺出，言簡(jiǎn)意賅。定理定義的簡(jiǎn)要證明是需要的是一種能讓學(xué)生的嚴(yán)密邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力得以迅速增長(zhǎng)的短平快的教學(xué)模式[2]。

繁瑣的定理證明，非但不能激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，反倒成了學(xué)生學(xué)習(xí)活力的凝固劑，整個(gè)的證明過(guò)程，伴隨的多是課堂上的學(xué)生一片睡。

本文將以洛必達(dá)法則為例，探討高等數(shù)學(xué)課堂因材施教的教學(xué)方法及其創(chuàng)新。

二、洛必達(dá)法則的基本講解

所謂基本講解，就是滿足教學(xué)大綱要求，面向全體學(xué)生的講解。

三、基本講解后留下的困惑

教材中采用柯西中值定理對(duì)洛必達(dá)法則給出了證明，但仍然顯得非常數(shù)學(xué)，式（4）那樣的書寫過(guò)程意義是什么？[4] 不定式的不定又具有哪些內(nèi)涵？ 總之，多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)學(xué)生課后答疑提出的問(wèn)題，感覺(jué)到學(xué)生聽(tīng)過(guò)上述的基本講解之后，似如囫圇吞棗，又似霧里看花。

四、抽絲剝繭——釋惑

釋惑，就是要抽絲剝繭，剝?nèi)ッ造F，把不定式的內(nèi)核展現(xiàn)給學(xué)生。

1、不定式與系統(tǒng)平衡點(diǎn)

式（1）中的僅僅是個(gè)變量的符號(hào)，可代之以。另外，應(yīng)該是兩個(gè)相關(guān)的變量，否則沒(méi)有實(shí)際意義，不妨設(shè)不定式

顯然，與互為微積分的關(guān)系。如果代表系統(tǒng)的廣義位移（包括機(jī)械位移、受控系統(tǒng)的溫度、壓力、流量等等），則表明的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度（包括機(jī)械運(yùn)動(dòng)速度、受控系統(tǒng)的溫度變化率、壓力變化率、流量變化率等等）[5]。不定式（5）還表明，系統(tǒng)的速度和加速度皆為零。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，此時(shí)的系統(tǒng)應(yīng)該處于靜止?fàn)顟B(tài)，稱系統(tǒng)速度和加速度都等于零的點(diǎn)為平衡點(diǎn)。

到此，不定式（5）被賦予了實(shí)際內(nèi)涵，因而不再干癟無(wú)華。

應(yīng)該指出，工程實(shí)際當(dāng)中的問(wèn)題嚴(yán)格地講都是非線性的，不存在理想的線性關(guān)系，僅當(dāng)忽略了一些非線性因素，不至于引起原則性錯(cuò)誤的時(shí)候，才可以按照線性問(wèn)題來(lái)處理。所以對(duì)式（7）中的不加線性約束。

2、平面上的運(yùn)動(dòng)規(guī)則

圖1 的上半平面滿足，速度為正，亦即速度在軸上投影指向軸的正向，即向右運(yùn)動(dòng)，如圖1之A。下半平面，速度為負(fù)，亦即速度在軸上投影指向軸的負(fù)向，即向左運(yùn)動(dòng)，如圖1之B。于是穿越軸的運(yùn)動(dòng)必定是垂直穿越，如圖1之C、D。

3、平衡點(diǎn)蘊(yùn)含的特性

如前所述，系統(tǒng)受到擾動(dòng)而發(fā)生運(yùn)動(dòng)而偏離了平衡點(diǎn)，問(wèn)題是當(dāng)擾動(dòng)撤出以后，系統(tǒng)還能回到平衡點(diǎn)嗎？回答是可能回到平衡點(diǎn)，也可能會(huì)不到平衡點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題留待后續(xù)的相關(guān)課程解決。

究竟怎樣回到平衡點(diǎn)和怎樣離開(kāi)平衡點(diǎn)的問(wèn)題可以獲得解決。

由式（9）可知，是函數(shù)在平面上的曲線斜率，而

就是說(shuō)曲線通過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)的斜率不定[6]，

不定就是不確定，或者說(shuō)有多個(gè)可能的斜率， 換言之，通過(guò)平衡點(diǎn)處的曲線有無(wú)窮多條，好似地球無(wú)窮多條磁力線聚于地球南北磁極一樣。原來(lái)看似干癟無(wú)華的不定式原來(lái)卻有這么豐富的內(nèi)涵，如圖2所示。

五、結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)上述對(duì)洛必達(dá)法則兩個(gè)步驟的講解和抽絲剝繭般的釋惑，不定式不再干癟無(wú)華，而是有著豐富的內(nèi)涵。如此可以盡可能的展現(xiàn)給學(xué)生更寬的學(xué)術(shù)視野，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力，有效地點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣之火，也能夠激發(fā)學(xué)生將數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的強(qiáng)烈欲望。若能將深刻的數(shù)學(xué)思想深入淺出地傳授給學(xué)生，同時(shí)加上學(xué)生技能的訓(xùn)練學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)會(huì)得到顯著得高，那么我們的教學(xué)就會(huì)收到事半功倍的成效。

參考文獻(xiàn)

[1] 畢予華。從洛必達(dá)法則求極限教學(xué)探討參與式教學(xué)法[J]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2016，5：48

[2]袁建軍， 歐增奇。 高等數(shù)學(xué)中用洛必達(dá)法則求極限需注意的問(wèn)題[J]。 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，6：40-42

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等數(shù)學(xué)[M]（第7版）。北京：高等教育出版社，2014，132-136

[4] 張國(guó)銘。 改進(jìn)的L'Hospital 法則的證明及其應(yīng)用[J]。 高等數(shù)學(xué)研究， 2010，5：63-65

[5] 平艷茹，張漢林。 工科高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)思考[J]。 高等數(shù)學(xué)研究， 2007，5：55-57

[6] 姬小龍，常方平。二階線性微分方程通解在Riccati方程解下的積分表示[J]。益陽(yáng)師專學(xué)報(bào)，2002，3：30-33

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