李冬梅　溫盼盼　徐亞靜　Yue+WU

摘要：為了考慮媒體宣傳對傳染病控制的影響，建立了一類具有雙線性接觸率且?guī)в忻襟w引發(fā)的意識累積密度的SISM傳染病模型，利用Liapunov函數(shù)和幾何判別法給出了無病平衡點及地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性條件。并將模型研究結果應用于甲流H1N1疾病中，分析了媒體宣傳對疫情控制的作用，結合實際發(fā)病數(shù)據(jù)檢驗了結果的合理性。

關鍵詞：媒體宣傳；SISM模型；Liapunov函數(shù)；平衡點；應用

中圖分類號：0175.13 文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2015）06-0112-07

0 引言

傳染病的預防和控制一直是衛(wèi)生防疫部門關注的問題之一。人們往往通過電視，網(wǎng)絡等媒體途徑獲得疾病相關的信息，增強了防范意識，減少了感染幾率，有效地預防了傳染病的流行。疾病暴發(fā)初期，根據(jù)疾病傳播嚴重程度，不斷增加媒體報道力度，民眾疾病知曉率逐漸增大，染病者數(shù)量在一定程度出現(xiàn)了緩慢趨勢。如2003年SARS爆發(fā)初期，通過印發(fā)的宣傳單、開展社區(qū)咨詢和媒體報道等多種方法，人們了解了疾病的感染方式及發(fā)病情況。針對某地區(qū)3405人的流行病調(diào)查中發(fā)現(xiàn)有關SARS病的曉率達到了95%以上，從而有效地控制了疾病的發(fā)展。

人們發(fā)現(xiàn)媒體宣傳主要是影響易感者的行為和習慣，宣傳力度會改變疾病傳播的有效接觸率和對疾病的意識積累，應用傳染病動力學模型研究媒體宣傳對疾病控制已取得了諸多結果。媒體宣傳會導致易感者對疾病的意識認知程度不同，易感者劃分為有防范意識的人群和無防范意識的人群，通過分析傳染病模型的無病平衡點的穩(wěn)定性及模型的持久性，給出疾病的控制策略。考慮到媒體宣傳積累程度對疾病預防與控制作用，文闡述和分析了媒體活動引起的意識密度對傳染病傳播的影響，證明了無病平衡點的局部穩(wěn)定性，以及隨著參數(shù)的變化，模型正平衡點會發(fā)生的Hopf分支。通過分析可知，媒體信息傳播雖然不能治療疾病，但可以減少染病者的數(shù)量，從而可以控制疾病的爆發(fā)。

實際上，在傳染病發(fā)病中后期，易感者意識開始淡薄，染病者經(jīng)過治療后也并非全部轉化為有意識的易感者，媒體宣傳的作用不顯著，若是不改變宣傳的方式，長久下去，傳染病可能就轉化為一種常態(tài)疾病。本文考慮了治愈的染病者受媒體的作用部分轉化為具有防范意識的易感者，部分轉化為無防范意識的易感者，建立了SISM傳染病模型，研究了無病平衡點和地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性。針對一類H1N1傳染病，利用模型的研究結果定量分析了在媒體宣傳不同力度下的疾病傳播趨勢。

1 模型建立

許多傳染性疾病如流感、瘧疾等，部分人群感染后通過治療，治愈后仍成為易感者，在媒體宣傳作用下，易感者會產(chǎn)生防控意識，會采取相應的自我保護措施避免再次感染，如文主要考慮了易感者在宣傳作用下成為有防控意識的易感者。但隨時間推移人們的預防意識會淡化，一些采取自我保護措施的易感者逐漸轉化為無防范意識的易感者，因而感染者會增加?？紤]這些因素的影響，在此基礎上研究一類帶有媒體引發(fā)的意識累積密度的SISM傳染病模型。

將整個人群分為無防范意識的易感者S₁、有防范意識的易感者S₂和染病者，_兩種易感者的區(qū)分是由于媒體宣傳教育的影響改變了一部分易感者的行為方式。假設疾病的傳播僅通過易感者和染病者的直接接觸，只考慮個體之間直接接觸的信息傳遞方式；由媒體引起的意識活動的累計密度和人群中的染病者有關，且成正比關系；媒體信息對無意識的易感者產(chǎn)生影響后變成有意識的易感者，從而避免和染病者接觸，使其疾病感染的概率減小，易感性降低；忽略因病死亡率，同時也考慮到意識隨時間的消耗。疾病感染傳播過程如圖1所示：建立如下模型其中：S₁、S₂、I、M分別為t時刻無防范意識的易感者人群數(shù)量、有防范意識的易感者人群數(shù)量、已感染人群數(shù)量、某地區(qū)由媒體引發(fā)的意識的累積密度；c為常數(shù)輸入率和自然死亡率；ξ為意識的轉移率；β為易感者與染病者之間的有效接觸率；ζ_n為有意識個體到無意識個體的轉移率；v為染病者的恢復率，以概率p恢復成有意識的易感者；μ₀為媒體宣傳無效的耗散率；μ為媒體項目的貫徹率。所有的參數(shù)均為正。

假設模型（1）的初始條件：

因此，模型（1）的全部解（S₁，I，S₂，M）最終趨向進入或停留在下列區(qū)域D內(nèi)。

2 主要內(nèi)容

模型平衡點滿足

證明：由定理1和區(qū)域D是最大不變集知，當R₀>1時，在D內(nèi)除初值在S₁軸上的軌線都將沿著此軸趨于E₀外，其他從點E₀附近出發(fā)的軌線最終將遠離E₀，記Ω={E₀}，則Ω是D的邊界aD上的唯一最大不變集，且Ω的穩(wěn)定集Ω^S₁在S₁軸上，即在D的邊界aD上，滿足了D的邊界aD上最大的緊不變集是孤立的。因此，由一致持久性定理知，當R₀>1時，系統(tǒng)（3）在域D是一致持久的。證畢。

考慮微分方程

3 數(shù)值模擬

取模型（1）中參數(shù)b=c=0.07，μ=0.8，μ₀=0.4，β=0.2，v=0.2，p=0.6，ξ=0.5，ξ_.=0.3，并取初始值為（0.6，0.1，0.3，0）。經(jīng)過計算，得到，R₀=0.97<1。由定理1知模型（1）無病平衡點E₀（0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的，模擬圖如圖2所示。若取β=0.3，其他參數(shù)取值不變R_.=1.45>1，選取m=0.09且滿足β+μξ/mμ₀<βm+c+2ξm。由定理3知，模型（1）地方病平衡點E^*（0.5，0.1，0.25）是全局漸近穩(wěn)定的，模擬圖如圖3所示。

通過對比圖2和圖3可以得到，通過媒體宣傳，會有效地改變有效接觸率，當減小有效接觸率β時，R₀<1，疾病不流行；當增大有效接觸率β時，R₀>1，使疾病趨于較小的穩(wěn)定值。

4 媒體宣傳模型在甲型H1N1流感中的應用

4.1 問題分析

甲型H1N1流感（簡稱甲流）因感染病毒引發(fā)的急性呼吸道傳染病，主要通過飛沫經(jīng)呼吸道、口腔、鼻腔、眼睛等處黏膜在人群中直接或間接接觸傳播。甲型H1Nl病毒在不同溫度下繁殖的速度快慢不同，疾病易在夏季流行。針對甲型H1N1這一突發(fā)性疾病，起初人們對它不了解，及時對疾病宣傳報道尤為重要，提高人們對疾病的知曉率，有效地預防疾病。早期可持續(xù)利用電視、報紙、印發(fā)宣傳畫、組織專家宣講對大眾普及甲型H1Nl流感相關知識。2009年對2986份問卷調(diào)查分析，人群甲型H1N1流感知識知曉率在95%以上，基本預防措施實踐率在80%以上。在對杭州某高校345名師生進行匿名問卷調(diào)查時；73.9%（255/345）的調(diào)查對象對甲型H1N1流感疫情高度關注或關注較多；90.4%（312/345）認為甲型H1N1流感可防、可控、可治；84.1%（290/345）認為學校宣傳力度應增加。宣傳內(nèi)容以心理、營養(yǎng)和預防為主，大多調(diào)查對象能采取有效的應對行為。建立一個合理的H1N1傳染病模型，考慮媒體宣傳因子影響，致力于消除疫情的流行趨勢。

4.2 模型建立及參數(shù)選取

選用2012年中國統(tǒng)計年鑒年“人口出生率、死亡率和自然增長率”中的數(shù)據(jù)，可得常數(shù)輸入率和自然死亡率c=0.007。采用文中的v值，v=0.29。其他參數(shù)依次設為β=0.3，p=0.6，ξ_.=0.5，μ₀=0.7，主要考慮媒體作用參數(shù)意識的傳播率ξ和媒體項目的貫徹率μ和有效接觸率β對傳染病H1N1控制的影響。

考慮下列模型：

4.3 數(shù)值模擬

在一年中，1月與2月之間的溫度偏低不適合甲流病毒生長，染病者人數(shù)數(shù)量較?。辉?月與4月之間，隨著天氣變暖病毒繁殖速度加快，人們感染幾率增大，染病者人數(shù)呈上升趨勢；在4月和7月之間通過媒體宣傳減少感染者的人數(shù)；進人夏季7月與10月階段，病毒繁殖速度迅速，加大媒體宣傳力度，提高人們防范意識，避免甲流的流行可能，最后疾病趨于消失。結合實際情況，針對不同情況的意識傳播率ξ和媒體項目的貫徹率μ，利用模型（12）的分析結果，模擬4個時間段[1，2]、（2，4]、（4，7]、（7，10]染病者的變化情況，了解疾病的變化規(guī)律。若取第一區(qū)間的初值為（0.5，0.4，0.1，0），根據(jù)時間的分段情況可以確定不同的區(qū)間初值，繪出各種情況下地方病平衡點性態(tài)圖，如圖4至圖7。計算結果參見表1。

通過圖4可以看出：甲流暴發(fā)后媒體作用開始發(fā)生，染病者數(shù)量急劇減少，甲流得到了很好的控制，此時媒體便減少了對傳染病預防的宣傳力度，由于受到氣候、溫度的影響，病毒急速發(fā)展，致使染病者比例又呈增大趨勢，染病者人數(shù)增多，如圖5所示。當出現(xiàn)這種情況后，媒體宣傳力度勢必再次加大，通過圖6、圖7發(fā)現(xiàn)：當再次加大媒體宣傳力度時，疾病得到了較好的控制，最終趨于消失。由此得出結論：媒體宣傳確實對具體疾病H1N1有影響。

4.4 媒體宣傳模型在甲型H1N1流感中的驗證

選取“《中國疾病預防控制中心》全國法定傳染病疫情概況”中2013年1月～10月全國甲型H1N1流感的染病者的比例，運用Excle先將數(shù)據(jù)繪制成染病者比例折線如圖8所示。

上述4幅圖分別和圖8進行比較，發(fā)現(xiàn)：圖4中的染病者比例變化趨勢與圖6中2013年1月至2月份染病者比例變化趨勢相同。圖5中的染病者比例變化趨勢與圖8中2013年2月至4月份染病者比例變化趨勢完全相同。圖6中的染病者比例變化趨勢與圖8中2013年4月至7月份染病者比例變化趨勢完全相同。圖7中的染病者比例變化趨勢與圖8中2013年7月至10月份染病者比例變化趨勢完全相同。

利用模型（12）可求出染病者比例在不同時段的數(shù)值，將其與實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行比較，比較結果見表2。

通過比較染病者比例的預測值與實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，對應月份中預測值和實際值之間的相對誤差較小，說明媒體宣傳確實對具體疾病H1N1有重要作用。

（編輯：溫澤宇）