羅容清

摘 要：國(guó)際象棋大師除了習(xí)得了50000種不同的國(guó)際象棋模式，還學(xué)會(huì)了怎樣應(yīng)對(duì)這些模式。我們教學(xué)生數(shù)學(xué)，也采用模式化的教學(xué)方式，除了可以提高學(xué)生的應(yīng)試能力和數(shù)學(xué)抽象概括能力。抽象概括主要包括兩個(gè)方面。第一，對(duì)知識(shí)的概括;第二，對(duì)方法的概括。

關(guān)鍵字：模式;抽象概括能力;定理和概念教學(xué)程序化;解題模式化

專(zhuān)家們?cè)噲D找出國(guó)際象棋大師和較弱的棋手之間的主要區(qū)別，在德格魯特（De groot，1956，1966）的研究中發(fā)現(xiàn)，國(guó)際象棋大師估計(jì)習(xí)得了50000種不同的國(guó)際象棋模式，并且他們能夠很快的在棋局中識(shí)別這些模式。記憶這么多的模式和在國(guó)際象棋比賽中的優(yōu)異表現(xiàn)之間有什么聯(lián)系？紐厄爾和西蒙（Newell&Simon，1972）推測(cè)，除了學(xué)習(xí)了許多模式以外，大師們還學(xué)會(huì)了怎樣應(yīng)對(duì)這些模式。大師能夠有效地“看到”可能的著法，而不需要思考它們。這就說(shuō)明了為什么國(guó)際象棋大師擅長(zhǎng)于幾秒鐘一步的快棋賽。了解了這個(gè)例子，我陷入了沉思：這給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)以什么啟示？如果我們教學(xué)生數(shù)學(xué)，也采用模式化的教學(xué)方式，除了可以提高學(xué)生的應(yīng)試能力——就像國(guó)際象棋大師一樣，同時(shí)他們的數(shù)學(xué)抽象概括能力應(yīng)該也是可以獲得提高。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究的開(kāi)創(chuàng)者和奠基人曹才翰指出了數(shù)學(xué)概括的兩層含義：其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來(lái);其二，是把被研究對(duì)象的本質(zhì)特性推廣位范圍更廣的包含這個(gè)對(duì)象的同類(lèi)事物的本質(zhì)特性。

數(shù)學(xué)抽象概括能力一般表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)語(yǔ)言意義的概括能力;（2）數(shù)學(xué)概念的概括能力;（3）對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的概括能力;（4）數(shù)學(xué)思想方法的概括。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須通過(guò)解決問(wèn)題去理解和鞏固知識(shí)，而解決問(wèn)題是訓(xùn)練學(xué)生抽象概括能力的一種有效途徑。在解決問(wèn)題中，抽象概括主要包括兩個(gè)方面。第一，對(duì)知識(shí)的概括，也即是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言意義和數(shù)學(xué)概念的概括。第二，對(duì)方法的概括。也即是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的概括。解決問(wèn)題除了要用到某些知識(shí)外，必然要用到某些某些方法，一種方法往往可能具有一般性，它不僅可以用來(lái)解決一個(gè)問(wèn)題，還有可能用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，對(duì)解決當(dāng)前問(wèn)題要對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，把這個(gè)問(wèn)題置于某種數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)領(lǐng)之下，形成一種以方法統(tǒng)攝知識(shí)的體系。

在解題教學(xué)中，教師要訓(xùn)練學(xué)生在知識(shí)和方法兩個(gè)方面的概括意識(shí)和概括能力。具體的做法可以參考如下幾點(diǎn)：

一：定理和概念教學(xué)程序化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)陳述性的知識(shí)和精深加工，最終形成應(yīng)用模式

數(shù)學(xué)程序性知識(shí)是由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的，是陳述性知識(shí)的動(dòng)態(tài)成分。它是以“產(chǎn)生式”這種動(dòng)態(tài)形式來(lái)表征，一個(gè)產(chǎn)生式總是對(duì)某一或某些特定的條件滿足時(shí)才發(fā)生的某種行為的一種程序。當(dāng)一個(gè)產(chǎn)生式的行動(dòng)成為另一個(gè)產(chǎn)生式的條件時(shí)，這兩個(gè)產(chǎn)生式便建立了相互的聯(lián)系。它同時(shí)還是一種雙向產(chǎn)生式?！半p向產(chǎn)生式”是指一種具有雙重功能的指令，它既能指令在具備什么樣的條件下會(huì)有什么動(dòng)作，又能指令在不同的情形中選用不同的產(chǎn)生式。換言之，學(xué)習(xí)者不僅知道一條“如果......那么……”規(guī)則，而且還應(yīng)該知道在什么條件下使用這條規(guī)則。

由此學(xué)生不再依賴于逐字的回憶定理內(nèi)容，而是把定理的應(yīng)用抽象概括成了一個(gè)模式。模式識(shí)別是技能程序化的一個(gè)重要部分。我們不必再思考下一步做什么，我們只要識(shí)別什么事適合于當(dāng)前情境的做法。

二：解題模式化

解決問(wèn)題重在對(duì)問(wèn)題的表征，深入理解題意，尋找解決當(dāng)前問(wèn)題的遷移源，而不是盲目地“試誤”;重在對(duì)問(wèn)題解決后的反思，重在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)模式和方法的概括能力，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中概括出具體的數(shù)學(xué)題型的模型。

所以，樣例的教學(xué)中，為了讓學(xué)生能夠模仿樣例進(jìn)而超越樣例去解決問(wèn)題，老師可以引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出解這一類(lèi)型題的解題模式。也就是把一些相同相似的同類(lèi)的題例放在一起，找出規(guī)律，尋找相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，概括總結(jié)出共性，進(jìn)而撒下探究的“種子”。讓 同學(xué)們總結(jié)歸納同類(lèi)型題的解決方法，并注意探究和發(fā)掘變化的事物中蘊(yùn)含的一般規(guī)律。主動(dòng)嘗試變化的過(guò)程，探求其中的奧妙，最終抽象概括出解題模式。

例如，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有，若令，則x=a+b，y=a-b。這個(gè)二元代換可以用于解決一類(lèi)問(wèn)題。

例 實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，

分析? 令x=a+b，y=a-b，代入已知等式化簡(jiǎn)，得

。

由于，得從而

由此，容易求得Smax和Smin值.

又如七年級(jí)學(xué)了平行線的性質(zhì)后，有如下類(lèi)似的題：

（1）如圖AB∥CD，試判斷∠BEF、∠EFG、∠FGD之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.

（2）如圖AB∥CD，∠AEF=150°，∠DGF=60°.試判斷EF和GF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

本題的解答需要先過(guò)點(diǎn)F做輔助線l平行于AB，然后才能運(yùn)用平行線的性質(zhì)來(lái)求解。這對(duì)于七年級(jí)的大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的數(shù)學(xué)抽象概括能力，主要還停留在小學(xué)的水平，對(duì)于添加輔助線還沒(méi)有任何的概念，所以這就需要老師利用多個(gè)類(lèi)似的樣題和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出這種題型作輔助線的條件，從而總結(jié)出解題模式。

三：課后反思?xì)w納分類(lèi)總結(jié)題型的解題模式

除了樣例的教學(xué)中，老師要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出解這一類(lèi)型題的解題模式。平時(shí)的作業(yè)，或階段復(fù)習(xí)時(shí)也可以布置學(xué)生去收集同類(lèi)型題，然后逐步讓學(xué)生半獨(dú)立，獨(dú)立地概括總結(jié)出其解題模式，老師進(jìn)行評(píng)價(jià)和總結(jié)。經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，學(xué)生就能夠識(shí)別在很多問(wèn)題中重復(fù)出現(xiàn)的各種要素及其模式，當(dāng)這些模式出現(xiàn)時(shí)，不假思索就知道該怎么做。通過(guò)一個(gè)個(gè)解題模式，掌握問(wèn)題解決規(guī)則和適當(dāng)?shù)膯?wèn)題解決組織方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，觸類(lèi)旁通，以不變應(yīng)萬(wàn)變。使學(xué)生在變化的多個(gè)習(xí)題中，發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，從而提高解決問(wèn)題的能力，抽象概括能力也隨之獲得提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]張英伯，曹一鳴《數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社

[2]約翰.安德森《認(rèn)知心理學(xué)及其啟示》第七版，人民郵電出版社

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