張瑞兵 付強(qiáng) 王曉慧 曹靜慧

摘 ?要：在數(shù)學(xué)中，求解、證明的過(guò)程離不開(kāi)推理，它貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，在知識(shí)體系的構(gòu)建、能力的提升、核心素養(yǎng)的落實(shí)及知識(shí)之間的聯(lián)系等方面發(fā)揮著重要的作用. 以“平面向量及其應(yīng)用”為例闡釋了推理之間的聯(lián)系及其應(yīng)用的廣泛性.

關(guān)鍵詞：類比推理;歸納推理;演繹推理;特殊;一般

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)有兩種推理模式. 一種是歸納推理，另一種是演繹推理. 事實(shí)上，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)，甚至社會(huì)科學(xué)，以及人們的日常生活中，這兩種推理模式都是最基本的. 正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)，西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出的因果關(guān)系（在文藝復(fù)興期間）. 愛(ài)因斯坦所說(shuō)的兩個(gè)成就，前者指的是演繹推理，后者指的是歸納推理.

歸納推理自古有之，是人們?cè)谏钪邪l(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的重要手段. 例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形數(shù)、正方形數(shù)等均是從特殊的前幾個(gè)數(shù)，尋求規(guī)律，推廣到第[n]個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)，體現(xiàn)了歸納的思想. 因?yàn)橛袣w納猜想，數(shù)學(xué)才會(huì)趣味無(wú)窮，如著名的哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想、四色定理等. 前人發(fā)現(xiàn)、提出了問(wèn)題，自然就會(huì)有后人分析、解決問(wèn)題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力所在，有的數(shù)學(xué)家甚至為它付出了畢生的精力，如我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)是接近哥德巴赫猜想證明的第一人. 證明猜想、命題等用的則是演繹推理. 演繹推理是嚴(yán)格的邏輯推理，一般表現(xiàn)為大前提、小前提、結(jié)論的三段論模式. 亞里士多德是主張進(jìn)行有組織地研究演繹推理的第一人，歐幾里得是第一個(gè)將亞里士多德用三段論形式表述的演繹法用于構(gòu)建實(shí)際知識(shí)體系的人.

歸納推理是指從具體問(wèn)題出發(fā)通過(guò)觀察、猜想、比較、聯(lián)想、歸納、類比提出猜想. 它包括不完全歸納法、類比法、簡(jiǎn)單枚舉法等. 簡(jiǎn)言之，不完全歸納法是部分推出整體，個(gè)別推出一般的推理;類比法是由特殊到特殊的推理. 得到數(shù)學(xué)命題主要依靠歸納和類比，通過(guò)歸納推理得到的結(jié)論是或然成立的. 演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理. 它包括三段論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等. 簡(jiǎn)言之，演繹推理是從一般到特殊的推理. 證明數(shù)學(xué)命題主要依靠演繹推理，在大前提、小前提正確的條件下，通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然成立的. 歸納、類比、演繹三種推理之間的聯(lián)系，如圖1所示.

歸納推理和演繹推理不僅要作為知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)，也是一種數(shù)學(xué)文化的融入，更貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 可以說(shuō)高中數(shù)學(xué)中推理無(wú)處不在，在知識(shí)體系的構(gòu)建、能力的提升、核心素養(yǎng)的落實(shí)及知識(shí)之間的聯(lián)系等方面發(fā)揮了重大的作用.

一、構(gòu)建知識(shí)概念，提升學(xué)生能力

在向量的起始教學(xué)中，我們往往先舉幾個(gè)特殊的實(shí)例，從學(xué)生熟悉的情境入手，建立起向量的概念.

情境1：小船由A地向東南方向航行15 n mile到達(dá)B地（速度大小為10 n mile / h），試問(wèn)小船的位移是什么？速度呢？

情境2：圖2是水平放置的物體，它受到的重力是怎樣的？

先讓學(xué)生回答上述問(wèn)題，回答不完整的其他學(xué)生補(bǔ)充. 位移、速度、力都是物理中的量，這些物理量都是學(xué)生熟悉的知識(shí)，它們不僅有大小，而且有方向，從而為抽象出向量的本質(zhì)特征做好鋪墊，歸納得出向量的概念.

得到了向量的概念之后，接著學(xué)習(xí)了一些特殊的向量，如零向量、單位向量、相等向量、共線向量（平行向量）. 學(xué)生在這里可能有些疑惑：為什么學(xué)習(xí)這些向量？實(shí)際上，這些向量來(lái)源于向量的要素——大小和方向. 學(xué)完概念后就要學(xué)習(xí)概念的內(nèi)涵與外延，這些向量是特殊的大?。阆蛄?、單位向量）或特殊的方向（共線、垂直）下的產(chǎn)物. 同時(shí)，分類是概念的外延，給出研究對(duì)象的含義后，往往要研究特殊的情形，這是研究問(wèn)題的一般套路，也是概念完備性的體現(xiàn).

有了以上概念的保證，我們可以判斷下列結(jié)論是否正確，以加深對(duì)定義的理解和掌握.

練習(xí)：（1）若[a]與[b]都是單位向量，則[a=b].

（2）直角坐標(biāo)平面上的[x]軸、[y]軸都是向量.

（3）相等向量的起點(diǎn)必定相同.

（4）向量[AB]與向量[BA]共線且長(zhǎng)度相等.

在學(xué)習(xí)上述新課時(shí)，我們從一些熟悉的背景入手，通過(guò)觀察、比較、歸納等方法，提煉其共同的屬性，從而抽象、概括出新的研究對(duì)象的概念，這一過(guò)程恰好體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納推理，也就是從特殊的例子到一般性的概念. 而在后續(xù)的例題講解、習(xí)題訓(xùn)練中，則是用一般性的概念解決問(wèn)題. 因?yàn)閿?shù)學(xué)中的概念或定義本身就是充要條件，既是判定，也是性質(zhì)，這一過(guò)程恰恰體現(xiàn)了從一般到特殊的演繹推理. 由此可以看出，一節(jié)完整的新課的流程大致是這樣的：特殊的例子—一般的概念—特殊的習(xí)題. 正好是先從特殊到一般的歸納抽象，再?gòu)囊话愕教厥獾难堇[應(yīng)用，即特殊實(shí)例[抽象概括]一般概念、結(jié)論[應(yīng)用解決]具體的例題和習(xí)題.

我們常說(shuō)要培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），其實(shí)這一過(guò)程也是從特殊到一般再到特殊的過(guò)程，即特殊[發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題]一般[分析、解決問(wèn)題]特殊.

在向量的線性運(yùn)算的教學(xué)中，我們可以從向量的概念出發(fā)，提出合適的課堂討論問(wèn)題，使學(xué)生經(jīng)歷向量減法的抽象過(guò)程.

問(wèn)題1：類比實(shí)數(shù)[x]的相反數(shù)是[-x]，對(duì)于向量[a]，你能定義它的相反向量嗎？

追問(wèn)：類比相反數(shù)[-x]的性質(zhì)，你能得出相反向量的性質(zhì)嗎？

問(wèn)題2：類比實(shí)數(shù)的減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即[x-y=x+-y]. 你認(rèn)為可以怎樣定義向量的減法？

設(shè)計(jì)問(wèn)題1和追問(wèn)是為了類比相反數(shù)定義相反向量，并得出相反向量的性質(zhì)，為幫助學(xué)生探討向量的減法法則進(jìn)行準(zhǔn)備. 設(shè)計(jì)問(wèn)題2的目的是引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的減法定義向量的減法，并借助向量的加法推導(dǎo)向量的減法.

在上述過(guò)程中，借助類比數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析、歸納、抽象等方法得出新的研究對(duì)象——向量的減法，再一次體現(xiàn)了從特殊到一般的推理過(guò)程. 理清減法概念之后，就可以利用向量的加法推導(dǎo)減法，也就是用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 這又是從一般到特殊的應(yīng)用過(guò)程.

在教學(xué)過(guò)程中，我們培養(yǎng)學(xué)生“四能”的過(guò)程往往都是先給出具體的例子讓學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探討其共同特點(diǎn)，然后進(jìn)一步提出問(wèn)題，能不能把這些共同的特點(diǎn)用文字語(yǔ)言來(lái)統(tǒng)一敘述，或者轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，經(jīng)過(guò)探究和思考（即分析問(wèn)題）就可以得出一般性結(jié)論，最后再用所得的結(jié)論去解決問(wèn)題.

二、在推理中落實(shí)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，直觀想象，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析. 在實(shí)際教學(xué)中，這些素養(yǎng)的發(fā)展和提升與推理也是密不可分的.

從特殊到一般，與數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)密不可分，而從一般到特殊與數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)聯(lián)系緊密. 當(dāng)然，上述過(guò)程中都需要用到數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理. 章建躍博士說(shuō)過(guò)，推理是命根子，運(yùn)算是童子功. 這足以說(shuō)明推理和運(yùn)算在數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心地位，也就是說(shuō)推理與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過(guò)程緊密相連. 推理是核心素養(yǎng)的內(nèi)容，核心素養(yǎng)是緊緊依附于推理的，必須從數(shù)學(xué)推理的邏輯屬性及要求下手，才能真正認(rèn)清素養(yǎng)的內(nèi)涵、把握其本質(zhì)特征，即特殊[數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象]一般[數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析]特殊.

例如，在學(xué)習(xí)向量時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到類似問(wèn)題：已知[a，b]是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足[a=b=a-b]，求[a]與[a+b]的夾角.

解法1：借助向量的運(yùn)算，求兩個(gè)向量的夾角.

將已知式子平方，得[a2=b2=a-b2].

則[a · b=a22]，

故[a · a+b=3a22]，[a+b=a+b2]=[3a].

所以[cosa，a+b=a · a+baa+b=32]，即所求夾角為30°.

解法2：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求夾角.

不妨設(shè)[a=1，0，b=cosθ，sinθ].

則[a-b=1-cosθ，-sinθ].

故[a-b=1-cosθ2+sin2θ=2-2cosθ=1].

推出[cosθ=12].

此時(shí)[a+b=1+cosθ，sinθ=32，±32]，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

解法3：結(jié)合向量運(yùn)算的幾何意義.

作[OA=a]，[OB=b]，則[a-b=BA].

以[OA，OB]為鄰邊作平行四邊形[OACB]，如圖3所示，則有[a+b=OC].

由題意，可知[△OAB]是等邊三角形，即四邊形[OACB]是菱形.

由菱形的性質(zhì)，知對(duì)角線[OC]平分[∠AOB]，

所以[OA]與[OC]的夾角為30°.

該題的解法1借助向量的運(yùn)算——線性運(yùn)算、數(shù)量積，通過(guò)平方先求[a · b]的值，再利用數(shù)量積的夾角公式求解，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng). 解法2突出向量的坐標(biāo)運(yùn)算，也有特殊性的體現(xiàn)，如假設(shè)已知相等向量的模長(zhǎng)為1，且[a=1，0]，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求出[cosθ]，最后再用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解. 當(dāng)然，也可以更一般化地求解. 解法3根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，主要是加、減法在平行四邊形這一模型中都可以表示出來(lái)，聯(lián)系三角形及平行四邊形的知識(shí)求解，提升了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 這一過(guò)程主要是用一般知識(shí)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了我們所說(shuō)的從一般到特殊的推理過(guò)程. 同時(shí)，也體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的不斷提升和發(fā)展的過(guò)程. 在解決該題的過(guò)程中，要先根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算求夾角，再利用數(shù)量積的工具性——求長(zhǎng)度、夾角來(lái)求解這個(gè)特殊的例子，體現(xiàn)從一般到特殊的演繹推理.

三、由推理建立知識(shí)之間的聯(lián)系

高中階段知識(shí)之間的聯(lián)系體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的推理. 利用數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)知水

平. 特別地，在教材中強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，這些思想方法與所學(xué)內(nèi)容融合就形成了如圖4所示的常用的邏輯思考方法.

這種思考問(wèn)題的邏輯方法，不僅是知識(shí)內(nèi)部的一種聯(lián)系，還在各種知識(shí)之間建立了聯(lián)系，有著廣泛的應(yīng)用.

仍然以平面向量及其運(yùn)算為例，先來(lái)看與外部知識(shí)之間的聯(lián)系. 平面向量及其運(yùn)算與空間向量及其運(yùn)算緊密聯(lián)系，與數(shù)及其運(yùn)算直接相關(guān)，在其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用. 這種聯(lián)系如圖5所示.

[復(fù)數(shù)及其運(yùn)算][空間中的向量及其運(yùn)算][直線上的向量及其運(yùn)算] [平面上的向量及其運(yùn)算][力和有向線段][實(shí)數(shù)及其運(yùn)算] [圖5]

平面向量及其運(yùn)算推廣之后可以得到空間向量及其運(yùn)算，它的特殊情形就是直線上的向量及其運(yùn)算（即共線），再特殊就是實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（只有大?。? 我們可以借助物理中的力、位移等矢量和有向線段來(lái)研究向量及其運(yùn)算. 同樣地，類比平面向量及其運(yùn)算的研究方法，我們還可以研究復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，研究思路是一樣的. 向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，既是代數(shù)研究對(duì)象（運(yùn)算），也是幾何研究對(duì)象（幾何意義），它在各種知識(shí)之間起著紐帶的作用.

通過(guò)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生的理性精神. 內(nèi)部聯(lián)系如圖6所示.

我們先學(xué)習(xí)了平面向量的一般概念，在此基礎(chǔ)上類比數(shù)的運(yùn)算（加、減、乘）及矢量（位移、力等）的合成學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算（加、減、數(shù)乘），之后在線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了平面向量基本定理，平面向量基本定理特殊化就是向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 類比物理中的做功研究了數(shù)量積，特殊化后是它的性質(zhì)，也是它的應(yīng)用：如果角特殊，即共線、垂直等，可以判斷兩個(gè)向量是否共線、垂直，兩個(gè)相等向量的數(shù)量積可以求向量的模等;如果角不特殊，可以求任意兩個(gè)向量夾角的余弦，體現(xiàn)一般性. 最后由數(shù)量積的工具性——求長(zhǎng)度、夾角，繼續(xù)研究了三角形的問(wèn)題. 因?yàn)槿切问怯扇吅腿菢?gòu)成的，先借助向量發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理和正弦定理，再利用兩個(gè)定理解決三角形中的邊角問(wèn)題，這也體現(xiàn)了向量的應(yīng)用性. 在本章知識(shí)的學(xué)習(xí)中用到了類比、特殊化、一般化等推理過(guò)程，內(nèi)部結(jié)構(gòu)的框架可以通過(guò)推理來(lái)構(gòu)建，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生仿照上述過(guò)程建立知識(shí)之間的推理體系，將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)連成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以便更好地領(lǐng)會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵.

陳建功先生說(shuō)過(guò)，片斷的推理，不但見(jiàn)諸任何學(xué)科，也可以從日常有條理的談話得之. 但是，推理之成為說(shuō)理的體系者，限于數(shù)學(xué)一科……忽視數(shù)學(xué)教育論理性的原則，無(wú)異于數(shù)學(xué)教育的自殺. 可見(jiàn)推理對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性.

推理體系貫穿于教學(xué)的始終. 推理不但是解決問(wèn)題的工具，而且是體現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的關(guān)鍵要素，是數(shù)學(xué)具有強(qiáng)大生命力的重要保障，更是數(shù)學(xué)的基本思想，是滲透數(shù)學(xué)文化的重要載體. 歸納和演繹不是矛盾的，而是相輔相成、相得益彰的. 通過(guò)歸納預(yù)測(cè)結(jié)果，然后通過(guò)演繹驗(yàn)證結(jié)果. 無(wú)論是知識(shí)的獲得、能力的提升還是素養(yǎng)的發(fā)展，都有推理含在其中，我們利用推理在數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系，可以有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率. 發(fā)揮好推理的作用，就能為教學(xué)助力，使教學(xué)真正落實(shí)育人的功能.

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