周先華 李嶠

摘 ?要：《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的“四翼”，即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性. 應(yīng)用性試題的情境具有真實(shí)性的特點(diǎn)，它包括跨學(xué)科情境、生產(chǎn)實(shí)際情境、現(xiàn)實(shí)生活情境三類. 應(yīng)用性試題的考查內(nèi)容在價(jià)值引領(lǐng)方面，突出健康情感，注重勞動(dòng)精神;在素養(yǎng)培育方面，突出數(shù)學(xué)運(yùn)算，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型;在關(guān)鍵能力提升方面，突出閱讀理解，深化信息處理;在必備知識(shí)方面，突出概率統(tǒng)計(jì)，注重函數(shù)板塊的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：四翼;應(yīng)用性;高考數(shù)學(xué);情境

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《體系》）中構(gòu)建了“一核”“四層”“四翼”的用于指導(dǎo)高考改革與高考命題工作的測(cè)評(píng)體系. 其中，“四翼”是素質(zhì)教育的評(píng)價(jià)維度在高考中的體現(xiàn)，是高考考查的要求，是回答“怎么考”的問題. 它包括四個(gè)方面，即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.

學(xué)以致用是素質(zhì)教育的根本目的. 因?yàn)樗刭|(zhì)教育就是要培育德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人. 在高中數(shù)學(xué)知識(shí)、能力與素養(yǎng)的培育過程中，要關(guān)注與社會(huì)發(fā)展、科技進(jìn)步、生活實(shí)際相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容. 而高考數(shù)學(xué)在命題時(shí)，就會(huì)選取貼近時(shí)代、社會(huì)和生活的情境，針對(duì)生產(chǎn)生活、國(guó)家發(fā)展及社會(huì)進(jìn)步中的實(shí)際問題來考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)與素養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力.

從近幾年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷來看，應(yīng)用性試題所占分值基本上維持在20%左右. 以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科為例，全國(guó)Ⅰ卷中，第3題、第5題和第19題為應(yīng)用性試題，共22分，占總分值的14.7%;全國(guó)Ⅱ卷中，第3題、第4題、第14題和第18題為應(yīng)用性試題，共27分，占總分值的18%;全國(guó)Ⅲ卷中，第4題和第18題為應(yīng)用性試題，共17分，占總分值的11.3%. 而不分文、理科的全國(guó)新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷（分別供山東、海南使用）中，均有4道選擇題和1道解答題為應(yīng)用性試題，共計(jì)32分，占總分值的21.33%.

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例，對(duì)應(yīng)用性試題的特點(diǎn)、情境及考查內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)分析，以期對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)所有啟示.

一、應(yīng)用性試題的特點(diǎn)

應(yīng)用性試題最主要的特點(diǎn)就是活動(dòng)情境的真實(shí)性，即試題的問題情境與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，是來源于生活的真實(shí)問題，以此考查學(xué)生把課堂中所學(xué)的知識(shí)同生活實(shí)際問題相聯(lián)系的能力，即理論聯(lián)系實(shí)際的水平. 在解決貼近生產(chǎn)生活實(shí)際的問題中，學(xué)生能體會(huì)到課內(nèi)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與方法中所蘊(yùn)含的應(yīng)用價(jià)值.

例1 （全國(guó)新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生數(shù)[R0]與世代間隔[T]是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù). 基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間. 在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：[It=ert]描述累計(jì)感染病例數(shù)[It]隨時(shí)間[t]（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率[r]與[R0]，[T]近似滿足[R0=1+rT]. 有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出[R0=3.28，T=6]. 據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ ? ?）.（[ln2≈0.69.]）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

在2020年高考數(shù)學(xué)試卷中，根據(jù)我國(guó)抗擊新冠肺炎疫情的真實(shí)素材設(shè)計(jì)了大量問題情境. 例1用新冠肺炎疫情初始階段的研究設(shè)計(jì)了問題情境，通過統(tǒng)計(jì)模型，描述在疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)與時(shí)間的關(guān)系. 考查對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，以及學(xué)生的信息搜索與整理能力、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，體現(xiàn)應(yīng)用性. 通過對(duì)例1的求解，學(xué)生了解了傳染病的初期傳播規(guī)律，并感受到了黨和國(guó)家為新冠肺炎疫情防控所做出的努力. 這種貼近生活的應(yīng)用性試題，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活且應(yīng)用于生活.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）倡導(dǎo)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 而在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)中，很重要的一個(gè)方面就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí). 它主要包括兩個(gè)方面：一是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的功能;二是感悟數(shù)學(xué)知識(shí)在歷史發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的豐富的情感. 例如，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立集合論、概率論在買彩票中的應(yīng)用、北斗定位系統(tǒng)中應(yīng)用勾股定理測(cè)量距離、回歸方程的預(yù)測(cè)功能等，這些數(shù)學(xué)家的故事或者數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)與科學(xué)研究中的應(yīng)用，都會(huì)指引學(xué)生自覺地走近數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)并熱愛數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)是一類常青的知識(shí)，是一種科學(xué)的語(yǔ)言，是現(xiàn)實(shí)生活中的有力工具，是很多學(xué)科特別是自然科學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是一門關(guān)鍵的技術(shù)和先進(jìn)的文化.

例2 （全國(guó)Ⅰ卷·文 / 理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一（如圖1），它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（ ? ?）.

（A）[5-14] （B）[5-12]

（C）[5+14] （D）[5+12]

例2以人造建筑的世界奇跡——胡夫金字塔為背景，考查正四棱錐的相關(guān)概念，以及直觀想象素養(yǎng). 我們知道，在修建金字塔的過程中，采用了大量的數(shù)學(xué)方法，更重要的是，胡夫金字塔作為人類古建筑的代表，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美. 學(xué)生能通過此題感受到黃金分割之美. 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的美，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)價(jià)值的一種體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的重要呈現(xiàn)方式.

二、應(yīng)用性試題的情境

高考“四翼”考查要求的實(shí)現(xiàn)，通過情境和情境活動(dòng)這兩類載體. 任子朝先生根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，把高考數(shù)學(xué)試題的情境，按照其出處和作用分為三類，即數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境、數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境. 而其中的生活實(shí)踐情境就出自生活中的實(shí)際問題，主要體現(xiàn)為對(duì)應(yīng)用性層次的要求，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象、解決生產(chǎn)實(shí)踐中的問題的能力. 為便于教學(xué)研究，我們把應(yīng)用性試題的情境細(xì)分為跨學(xué)科情境、生產(chǎn)實(shí)際情境、現(xiàn)實(shí)生活情境三類.

1. 跨學(xué)科情境

跨學(xué)科情境是指來源于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)的情境. 例如，在一些學(xué)術(shù)科研問題中，常常通過大量實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以達(dá)到對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的. 在其問題解決過程中，數(shù)學(xué)往往作為一種基本的研究工具得以應(yīng)用.

例3 （全國(guó)Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域. 有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)[It]（[t]的單位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53]，其中[K]為最大確診病例數(shù). 當(dāng)[It*=0.95K]時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則[t*]約為（ ? ?）.（[ln19≈3.]）

（A）60 ? （B）63 ? （C）66 ? （D）69

該題結(jié)合醫(yī)學(xué)中的Logistic模型，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其意義，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，著重體現(xiàn)應(yīng)用性，考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式運(yùn)算和方程的思想，以及學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 流行病學(xué)中的數(shù)學(xué)模型建立是一個(gè)非常嚴(yán)謹(jǐn)而漫長(zhǎng)的過程，對(duì)流行病的防控起著重要的作用. 該題重點(diǎn)關(guān)注利用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋“初步遏制疫情”狀態(tài)下的確診病例數(shù)，即考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象的能力，是比較簡(jiǎn)單的跨學(xué)科情境.

2. 生產(chǎn)實(shí)際情境

生產(chǎn)實(shí)際情境來源于國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步等生產(chǎn)實(shí)際的內(nèi)容與問題.

例4 （全國(guó)Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

（A）10名 （B）18名

（C）24名 （D）32名

同樣是與新冠肺炎疫情防控相關(guān)的試題，與例3不一樣的是，這道試題來源于生產(chǎn)實(shí)際. 根據(jù)新冠肺炎疫情防控期間的超市志愿者人數(shù)的計(jì)算設(shè)置問題，考查學(xué)生從真實(shí)的生產(chǎn)情境中提取重要信息的能力和數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)閱讀理解能力，以及函數(shù)、方程與不等式思想，體現(xiàn)應(yīng)用性層次的要求.

3. 現(xiàn)實(shí)生活情境

現(xiàn)實(shí)生活類情境取材于日常生活，讓學(xué)生在對(duì)背景材料的組織過程中，感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)生活問題的抽象，并在現(xiàn)實(shí)生活中大量運(yùn)用. 在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系中，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.

例5 （全國(guó)Ⅲ卷·文 / 理18）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到表1（單位：天）.

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”. 根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成如表2所示的[2×2]列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d].

該題屬于現(xiàn)實(shí)生活情境，試題結(jié)合空氣質(zhì)量與到公園鍛煉的人次關(guān)系設(shè)置數(shù)學(xué)問題情境，考查應(yīng)用性. 針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中人們普遍關(guān)注的空氣質(zhì)量問題和鍛煉問題，在試題中有數(shù)據(jù)、表格等數(shù)學(xué)信息，需要學(xué)生從試題的文字?jǐn)⑹鲋刑崛∮杏玫男畔?，收集和整理?shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，并獲得和解釋結(jié)論，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，以及數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，密切關(guān)注日常生活、工業(yè)生產(chǎn)、國(guó)家發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步中的實(shí)際問題，并在實(shí)際問題的解決過程中，學(xué)習(xí)以數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的方式觀察客觀世界，以邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的方式思考客觀世界，以數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)處理的方式表達(dá)客觀世界，從而真正實(shí)現(xiàn)全面提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo).

三、應(yīng)用性試題的考查內(nèi)容

《體系》中規(guī)定了核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)的“四層”的考查內(nèi)容. 其中，必備知識(shí)關(guān)注的是基本的數(shù)學(xué)知識(shí);關(guān)鍵能力強(qiáng)調(diào)觀察、思考和解決數(shù)學(xué)問題所必備的能力;學(xué)科素養(yǎng)是關(guān)鍵能力和必備知識(shí)的融會(huì)貫通;核心價(jià)值起著價(jià)值引領(lǐng)的作用.

1. 價(jià)值引領(lǐng)層面：突出健康情感，注重勞動(dòng)精神

與近幾年的高考試題相比，2020年的高考數(shù)學(xué)試題在落實(shí)立德樹人、倡導(dǎo)五育并舉方面發(fā)揮了重要的引領(lǐng)作用. 其中，應(yīng)用性試題的表現(xiàn)更為突出.

例6 （全國(guó)新高考Ⅰ / Ⅱ卷·15）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖2所示. [O]為圓孔及輪廓圓弧[AB]所在圓的圓心，[A]是圓弧[AB]與直線[AG]的切點(diǎn)，[B]是圓弧[AB]與直線[BC]的切點(diǎn)，四邊形[DEFG]為矩形，[BC⊥DG]，垂足為[C]，[tan∠ODC=35]，[BH∥DG]，[EF=12 cm]，[DE=2 cm]，[A]到直線[DE]和[EF]的距離均為[7 cm]，圓孔半徑為[1 cm]，則圖5中陰影部分的面積為 ? ? ? ?.

例6以勞動(dòng)實(shí)習(xí)為情境，在考查三角函數(shù)的應(yīng)用、扇形與三角形的面積等必備知識(shí)的同時(shí)，也對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題的能力進(jìn)行了考查，以引導(dǎo)學(xué)生熱愛勞動(dòng)，達(dá)到勞動(dòng)教育的目的.

高考要服務(wù)于德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，特別是在教育部2020年7月印發(fā)的《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》中明確指出，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)教育，要弘揚(yáng)勤儉、奮斗、創(chuàng)新和奉獻(xiàn)的勞動(dòng)精神. 應(yīng)用性試題特別突出對(duì)健康情感和勞動(dòng)精神的考查. 例如，全國(guó)Ⅱ卷文（理）科第18題以治理沙漠為素材，在考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到了我國(guó)在環(huán)境治理方面取得的成就，體現(xiàn)了立德樹人的教育導(dǎo)向;在全國(guó)Ⅰ卷理科第19題中，以羽毛球比賽為背景，在考查學(xué)生邏輯推理能力的過程中，體現(xiàn)了體育的教學(xué)功能;在上述例5中體現(xiàn)了美育的教育功能;等等. 這些試題，來源于真實(shí)的生產(chǎn)生活，展示了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程中，體現(xiàn)了高考立德樹人的價(jià)值導(dǎo)向.

2. 素養(yǎng)培育層面：突出數(shù)學(xué)運(yùn)算，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型

（1）突出數(shù)學(xué)運(yùn)算.

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育方面，應(yīng)用性試題突出了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是小學(xué)和初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容. 而在高中數(shù)學(xué)課程中，不僅要進(jìn)一步提升數(shù)、式的運(yùn)算能力，還要學(xué)習(xí)新的運(yùn)算對(duì)象——向量與復(fù)數(shù)等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理，也是利用計(jì)算機(jī)解決一切問題的基礎(chǔ). 因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，而通過數(shù)學(xué)運(yùn)算來解決數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的問題，也是數(shù)學(xué)解決問題的基本方法. 而應(yīng)用性，就是要考查學(xué)以致用的能力. 因此，應(yīng)用性試題在素養(yǎng)培育方面，突出了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

例7 （全國(guó)Ⅱ卷·理4）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所（如圖3），分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ? ?）.

（A）3 699塊 （B）3 474塊

（C）3 402塊 （D）3 339塊

此題以計(jì)算北京天壇的圜丘壇所鋪設(shè)的石板數(shù)為試題背景，展示了我國(guó)古代悠久而燦爛的文明成就，考查了學(xué)生分析問題的能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng). 解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式進(jìn)行計(jì)算，突出了對(duì)運(yùn)算能力的考查.

（2）強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模.

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行抽象，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，對(duì)其發(fā)展變化規(guī)律建構(gòu)出一般模型的一種素養(yǎng). 正是由于數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界之間搭建起了一座聯(lián)系的橋梁，所以數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的重要體現(xiàn)形式. 在考查應(yīng)用性層面的試題中，以數(shù)學(xué)模型為素材的試題占有相當(dāng)大的比例.

例8 （全國(guó)Ⅰ卷·理 / 文5）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[xi，yi i=1，2，…，20]得到如圖4所示的散點(diǎn)圖.

由此散點(diǎn)圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ? ?）.

（A）[y=a+bx] （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex] （D）[y=a+blnx]

該題以種子的發(fā)芽率和溫度之間的關(guān)系為背景，要求學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖的分布情況選擇最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，是典型的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用. 而上述例7，是等差數(shù)列模型的應(yīng)用;全國(guó)Ⅱ卷理科第14題考查排列組合問題中典型的“先選后排”模型的應(yīng)用，而第18題考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣模型的選擇應(yīng)用.

3. 能力提升：突出閱讀理解，深化信息處理

與數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境類試題相比，來源于生活實(shí)踐的應(yīng)用性試題，其材料文字和符號(hào)更多，數(shù)據(jù)更復(fù)雜，解決問題的先決條件是要通過閱讀理解問題情境中的各種文本、符號(hào)和相關(guān)數(shù)據(jù)，并提取有效的信息進(jìn)行處理. 因此，在對(duì)關(guān)鍵能力的考查中，應(yīng)用性試題往往在閱讀理解和信息處理能力方面的要求更為突出.

例9 （全國(guó)Ⅱ卷·文 / 理18）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加. 為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)[xi，yi]

（[i=1，2，…，20]），其中[xi]和[yi]分別表示第[i]個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得[i=120xi=60]，[i=120yi=1 200]，[i=120xi-x2=80]，[i=120yi-y2=9 000]，[i=120xi-xyi-y=800].

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）;

（2）求樣本[xi，yi]（[i=1，2，…，20]）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）;

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大. 為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，試給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)[r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，[2≈1.414].

該題共計(jì)約350個(gè)字，文字閱讀量大. 以沙漠治理為背景，考查學(xué)生的閱讀理解能力、分析和解決問題能力、數(shù)據(jù)處理能力，以及創(chuàng)新應(yīng)用能力，既要發(fā)揮演繹推理能力進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，還要運(yùn)用直覺思維進(jìn)行抽樣方法的選擇. 實(shí)際上，閱讀理解就是基于思維的一種認(rèn)知活動(dòng)：它既是獲取知識(shí)的一種能力，又是影響思維和認(rèn)識(shí)的一種重要能力.

4. 必備知識(shí)：突出概率統(tǒng)計(jì)，注重函數(shù)板塊

與關(guān)鍵能力一樣，必備知識(shí)也是學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)性支撐. 從近三年的高考試題統(tǒng)計(jì)分析中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用性試題所考查的知識(shí)主要圍繞函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)兩大主線內(nèi)容進(jìn)行. 在前面的例題中，例1、例3均考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，例6考查三角函數(shù)的應(yīng)用，例7考查特殊的函數(shù)——數(shù)列的應(yīng)用，例8考查各類遞增函數(shù)模型，而例4、例5和例9均考查概率與統(tǒng)計(jì)板塊的知識(shí). 科學(xué)地調(diào)控高考試題的整體難度，命制出適合不同地區(qū)、不同學(xué)生水平的高考數(shù)學(xué)試題的一貫做法就是采用“低起點(diǎn)、多層次、高落差”的命題策略. 以全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷和全國(guó)Ⅲ卷為例，“低起點(diǎn)”體現(xiàn)在對(duì)選擇題的前6道題、填空題的前2道題和解答題的前2道題的設(shè)計(jì)中，一般考查數(shù)學(xué)的基本概念或常見的數(shù)學(xué)方法，從而讓絕大多數(shù)學(xué)生能順利地解決. 而函數(shù)和概率與統(tǒng)計(jì)這兩大板塊，均屬于《標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的高中數(shù)學(xué)課程的四大主線內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，是高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)、分析和解決數(shù)學(xué)問題所必須具備的數(shù)學(xué)知識(shí). 因此，在教學(xué)中，要進(jìn)一步提升對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力，并夯實(shí)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用，特別要強(qiáng)化對(duì)各種概率與統(tǒng)計(jì)模型的構(gòu)建和熟練應(yīng)用.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)從生活中來，但又廣泛應(yīng)用于生活，并時(shí)時(shí)刻刻引領(lǐng)著我們的生活. 應(yīng)用性試題對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)與核心價(jià)值的考查，給師生提出了更高層次的要求. 這就需要教師在學(xué)習(xí)《標(biāo)準(zhǔn)》的同時(shí)，深入研究《體系》中“四翼”的內(nèi)容. 同時(shí)，還要在做好高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容教學(xué)的同時(shí)，與學(xué)生一起提高數(shù)學(xué)閱讀能力，包括提升知識(shí)獲取能力，特別是語(yǔ)言解碼能力、符號(hào)理解能力、閱讀理解能力、信息搜索與整理能力等，讓學(xué)生積累解決應(yīng)用性問題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決應(yīng)用性問題的能力.

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