顧洪祿，郭海燕，李效民，劉 震，李 朋，王宣淇

（1.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島266100；2.山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，山東青島266590）

0 引 言

臍帶纜是浮式生產(chǎn)系統(tǒng)中重要裝備之一，主要用于電力的傳輸和信號的控制[1]。臍帶纜在運行期間始終受到海流的作用，在一定流速下，臍帶纜兩側(cè)形成交替的漩渦，漩渦脫落會引起臍帶纜結(jié)構(gòu)產(chǎn)生周期性的振動，稱為渦激振動。當(dāng)漩渦脫落頻率接近臍帶纜固有頻率時，臍帶纜振動會加劇[2]。這不僅會導(dǎo)致臍帶纜的疲勞破壞，還會引起臍帶纜內(nèi)部光纖發(fā)生破壞，導(dǎo)致通信中斷，嚴(yán)重威脅整個油氣的安全生產(chǎn)。因此，研究臍帶纜的渦激振動現(xiàn)象在工程實踐中有著很重要的意義。

渦激振動的預(yù)報模型主要分為CFD 模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛢纱箢?。CFD 模型由于計算量較大，還難以直接應(yīng)用到實際的海洋工程問題中，因此，臍帶纜渦激振動的數(shù)值模擬目前仍主要依賴于經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚3]。在現(xiàn)有的經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭凶罹哂写硇缘姆治鲕浖?dāng)屬Shear7[4]。Shear7 基于結(jié)構(gòu)小變形假設(shè)和大量試驗獲得的渦激力模型預(yù)測結(jié)構(gòu)的渦激振動響應(yīng)，用Shear7 計算鋼懸鏈線臍帶纜的渦激振動響應(yīng)沒有考慮懸鏈線結(jié)構(gòu)的大變形特性，Shear7所預(yù)報的橫向渦激振動響應(yīng)比試驗數(shù)值偏大5%左右[5-6]。目前基于柔性桿理論以及尾流振子模型進行軟件的開發(fā)尚未見有報道。

本文基于柔性桿理論和Facchinetti[7]推薦的尾流振子模型開發(fā)了臍帶纜渦激振動數(shù)值模擬系統(tǒng)UCVIV-1.0，充分考慮了柔性管纜大變形、大轉(zhuǎn)角的結(jié)構(gòu)幾何非線性以及結(jié)構(gòu)與外部流體的線性耦合項，可以直接求解臍帶纜在任意剖面形式下海流作用下的渦激振動響應(yīng)，相比于Shear7等軟件更接近于工程實際。UCVIV-1.0 界面清晰簡潔，操作方便。隨著研究的不斷深入，UCVIV-1.0 將會升級為包括緩波形、陡波形在內(nèi)的功能齊全的海洋管纜分析軟件，最終應(yīng)用于我國海洋管纜實際工程設(shè)計中。

1 計算原理

1.1 柔性桿模型

在柔性桿理論中，桿的位形由桿軸線位置表示，如圖1 所示，在三維笛卡爾坐標(biāo)系中空間曲線r(s,t)表示柔性桿變形后軸線位置狀態(tài)，它是桿弧長與時間的函數(shù)。該模型的最大優(yōu)點是其控制方程直接在全局坐標(biāo)系下得到，而且還包括了全部幾何非線性，省卻了不同坐標(biāo)系之間繁瑣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可以非常有效地解決臍帶纜的大變形問題。

假設(shè)變形前后桿的弧長不發(fā)生改變，臍帶纜上任意一點的內(nèi)力狀態(tài)可以完全由作用在軸線上的合力和力偶表示，并且忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。由動量守恒和動量矩守恒可得[8-9]

式中，ρ是單位長度質(zhì)量；q是單位長度分布外力；m是單位長度分布外力矩；F是軸線上的合力；r'代表對弧長s求一階導(dǎo)數(shù)；r?代表對時間t求二階導(dǎo)數(shù)。M是截面彎矩和扭矩H之和，則內(nèi)力矩M可表示為

式中，EI為抗彎剛度，H為截面扭矩。通常臍帶纜等細長柔性桿結(jié)構(gòu)可以忽略均布扭矩和分布外力矩的作用，令H=0，m=0，將式（3）代入式（2）可得

圖1 柔性桿模型示意圖Fig.1 Diagram of slender rods

式中，λ(s,t)是標(biāo)量函數(shù)。將式（4）代入式（1）得柔性桿的運動方程為

1.2 荷載分析

臍帶纜處于復(fù)雜的海洋環(huán)境中，受到自身重力、周圍流體水靜力和水動力的作用，柔性桿的外荷載可以表示為

式中，B是單位長度浮力，P是臍帶纜內(nèi)外壓力差，ρw是海水密度，Ca是附加質(zhì)量系數(shù)，CD是拖曳力系數(shù)，D是纜體外徑，V是水流速度。

1.3 有限元離散

將柔性桿運動方程和變形條件分別寫成張量形式：

式中，有效重力wˉ=w+B，有效張力λˉ=λ+P。張量形式的方程通過采用三次Hermit 插值函數(shù)進行離散后，運用Galerkin方法得到矩陣形式的微分方程如下：

1.4 靜力分析

采用Newton-Raphson 方法迭代求解非線性方程式（11）和（12），同時忽略方程式（11）中的慣性力項，最后矩陣形式如下[10]：

由于方程式（13）中的下標(biāo)表示方法不方便編程求解，對未知量Ujk和λˉn重新編碼為y。方程式（13）可改寫為

1.5 尾流振子模型

將臍帶纜單元渦激振動耦合振動方程組（11）加入升力項之后與式（12）、式（16）分別集合便可獲得整體耦合方程組的矩陣表達形式：

采用Newmark-β迭代算法對臍帶纜整體耦合控制方程（17）-（19）進行逐步積分，求解尾流振子模型渦激力作用下臍帶纜的渦激振動響應(yīng)。

2 用戶界面設(shè)計

臍帶纜渦激振動數(shù)值模擬系統(tǒng)（Numerical Simulation System of Vortex-Induced Vibration of Umbilical Cable，簡稱UCVIV-1.0）是以MATLAB 7.6.0 為平臺，使用圖形用戶界面GUIDE 開發(fā)的人機交互界面，以圖形、動畫、數(shù)值等方式展示結(jié)果，可用于海洋臍帶纜在海流、波浪、頂部浮體等荷載聯(lián)合作用下的靜力分析和渦激振動分析。

本系統(tǒng)主要包括三大模塊：系統(tǒng)的前處理模塊—參數(shù)輸入模塊（包括臍帶纜參數(shù)、流體參數(shù)、波浪及浮體參數(shù)）；系統(tǒng)的核心模塊—分析計算模塊（包括靜力計算、VIV 計算）；系統(tǒng)的后處理模塊—結(jié)果輸出模塊（包括圖形結(jié)果和數(shù)值結(jié)果）。

2.1 參數(shù)輸入模塊

本模塊主要使用Edit Text、Push Button 和Pop-up Menu等組件將用戶輸入的數(shù)值轉(zhuǎn)化為字符串儲存起來，為分析計算模塊提供準(zhǔn)確無誤的基本參數(shù)，界面如圖2～4所示。

圖2 臍帶纜參數(shù)輸入界面Fig.2 Umbilical cord parameter input interface

圖3 流體參數(shù)輸入界面Fig.3 Fluid parameter input interface

2.2 分析計算模塊

分析計算模塊是本系統(tǒng)的核心模塊，考慮臍帶纜重力和浮力、浮體偏移、波浪及海流荷載的作用，對簡單懸鏈線型臍帶纜進行靜力分析和渦激振動分析。在進行渦激振動計算分析時，采用Matteo Luca Facchinetti[7]推薦的尾流振子模型，該模型容易擴展到二維和三維的渦激振動，且與實際情況更為符合。

2.3 結(jié)果輸出模塊

2.3.1 靜力分析結(jié)果

顯示臍帶纜的靜力位形、有效張力和彎矩計算的圖形結(jié)果。

2.3.2 VIV分析圖形結(jié)果

圖形結(jié)果分為五部分：任意一點位移時程曲線、任意時刻位移曲線、最大位移包絡(luò)圖、任意一點張力時程曲線和最大張力包絡(luò)圖。圖形結(jié)果界面將直接顯示最大位移節(jié)點、最大張力節(jié)點、最大張力和最大位移等信息。點擊界面的編輯圖形按鈕可以進入MATLAB圖形編輯器，可以對系統(tǒng)獲得的原始圖形進行多種后處理，獲得更為理想的圖形結(jié)果。

圖4 波浪及浮體參數(shù)輸入界面Fig.4 Input interface for wave and floating body parameters

2.3.3 VIV分析數(shù)值結(jié)果

本模塊使用VideoSoft FlexArray Control 控件以表格形式顯示數(shù)值結(jié)果[11]，從表格中可以很清晰地看到每個節(jié)點的最大張力和最大位移的數(shù)值，極值對應(yīng)節(jié)點加粗顯示。數(shù)值結(jié)果只能查看不能編輯、導(dǎo)出。

3 實例分析

3.1 模型驗證

選取參考文獻[12]的臍帶纜參數(shù)，臍帶纜空氣中單位質(zhì)量為116 kg，抗彎剛度EI=2 870 N?m2，軸向剛度EA=3.52×108N，海水密度為1 024 kg/m3，臍帶纜外徑為0.254 m，臍帶纜總長190 m，頂部偏移為150 m，水深為100 m，海流為+X方向，速度為0.35 m/s，波高為6 m，周期為5 s。

為驗證系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，將本文計算得到的簡單懸鏈線型臍帶纜的平衡位形、有效張力和彎矩分別與相同參數(shù)條件下商業(yè)軟件OrcaFlex 的計算結(jié)果進行對比，如圖5～7 所示。由圖可知，本文的計算結(jié)果與OrcaFlex的計算結(jié)果吻合較好，一定程度上說明了計算系統(tǒng)的可行性。OrcaFlex計算的彎矩在躺地段比本文計算結(jié)果略高，這是本文與OrcaFlex選取的海床模型不同所導(dǎo)致。

圖5 位形結(jié)果比較Fig.5 Comparison of configuration results

3.2 實例計算

選取3.1節(jié)臍帶纜的基本參數(shù)，利用UCVIV-1.0進行實例計算，結(jié)果如圖8～13所示。計算結(jié)果表明在t=59 s，距離底端點81.7 m 時，臍帶纜渦激振動產(chǎn)生最大的水平位移，約為3.155 8 倍的臍帶纜外徑；臍帶纜的最大張力發(fā)生在懸掛點處，約為138.531 1 kN。

圖6 有效張力結(jié)果比較Fig.6 Comparison of effective tension results

圖7 彎矩結(jié)果比較Fig.7 Comparison of bending moment results

圖8 任意一點位移時程曲線Fig.8 Displacement time history curve at any point

圖9 任意時刻位移曲線Fig.9 Displacement curve at any moment

圖10 最大位移包絡(luò)圖Fig.10 Maximum displacement envelope

圖11 任意一點張力時程曲線Fig.11 Curve of tension at any point

圖12 最大張力包絡(luò)圖Fig.12 Maximum tension envelope

圖13 數(shù)值結(jié)果Fig.13 Numerical result

3.2.1 外流流速大小的影響

不考慮波浪和頂部浮體運動的影響，并保持其他參數(shù)不變，選取0.20 m/s、0.30 m/s、0.35 m/s、0.40 m/s、0.45 m/s、0.50 m/s、0.55 m/s、0.60 m/s八級外部流速，分別計算臍帶纜在800 s內(nèi)渦激振動響應(yīng)下的位移以及張力，并將結(jié)果進行對比，其中最大位移（A/D）通過立管外徑進行了無量綱化，對比結(jié)果如圖14～15和表1所示。

圖14 最大位移及最大張力Fig.14 Maximum displacement and maximum tension

圖15 最大位移位置及最大張力位置Fig.15 Position of maximum displacement and maximum tension

表1 不同外流流速下的計算結(jié)果Tab.1 Calculation results at different outflow velocities

續(xù)表1

計算結(jié)果表明：隨著外流速度的增加，最大位移一直增大；最大張力隨外流速度的變化規(guī)律與最大位移基本一致，因為隨著流速增加，臍帶纜在海流作用下激起了更大幅值的模態(tài)，同時在海流的拖曳力作用下產(chǎn)生更大的軸向力，導(dǎo)致最大張力隨流速增加而變大；最大位移節(jié)點位置在臍帶纜1/2 總長位置附近上下浮動，這是由于臍帶纜兩端鉸接限制了兩端點附近的位移所導(dǎo)致；最大張力的位置一直不變，位于臍帶纜的懸掛點處，主要原因是臍帶纜的所有重量幾乎全部作用于懸掛點，導(dǎo)致懸掛點承受的軸向張力值最大。由此可見，外部流速對于臍帶纜渦激振動具有顯著的影響，在實際工程設(shè)計中懸掛點、中心點處的設(shè)計計算十分關(guān)鍵。

3.2.2 彈性模量的影響

選取外流速度為0.35 m/s，保持其他參數(shù)不變，分別選取臍帶纜彈性模量為E/3、2E/3、E、1.2E、1.5E計算臍帶纜的渦激振動響應(yīng)，并將結(jié)果進行對比，其中最大位移（A/D）利用立管外徑進行了無量綱化，對比結(jié)果如圖16～17、表2所示。

圖16 最大位移及最大張力Fig.16 Maximum displacement and maximum tension

圖17 最大位移位置及最大張力位置Fig.17 Position of maximum displacement and maximum tension

表2 不同彈性模量計算結(jié)果Tab.2 Calculation results with different elastic moduli

從計算結(jié)果可以看出，隨著彈性模量的增加，最大位移在彈性模量為E時出現(xiàn)了極大值，這與文獻[13]計算結(jié)果相符，因為彈性模量的改變直接影響了臍帶纜的自振頻率，臍帶纜彈性模量為E時，臍帶纜自振頻率接近鎖振區(qū)，振動幅值顯著增大，隨著彈性模量的變化，臍帶纜自振頻率逐漸脫離鎖振區(qū)，振動幅值變??；最大張力穩(wěn)定在133 kN 附近；由圖17 可以看出，最大位移點隨著彈性模量的增加出現(xiàn)了整體上移的趨勢，但彈性模量在E和1.2E之間出現(xiàn)了逆反趨勢，主要是由于彈性模量的改變導(dǎo)致了臍帶纜響應(yīng)模態(tài)的改變；最大張力位置與不同流速作用下的變化規(guī)律相同。因此，在實際工程中應(yīng)控制臍帶纜彈性模量的大小，建議選取低彈性模量高應(yīng)力材料，即剛度較小且具有較高極限荷載的材料，這種材料可以保證在相同海流作用下臍帶纜整體響應(yīng)幅值較小并且具有較高的疲勞壽命。

4 結(jié) 語

本文基于柔性桿理論，采用尾流振子模型，以MATLAB為平臺開發(fā)了臍帶纜渦激振動數(shù)值模擬系統(tǒng)UCVIV-1.0。該系統(tǒng)分為參數(shù)輸入模塊、分析計算模塊和結(jié)果輸出模塊，主要用于簡單懸鏈線型臍帶纜在海流、波浪和頂部浮體等荷載聯(lián)合作用下的靜力分析和渦激振動分析。該系統(tǒng)界面清晰友好，操作簡單。本文選取參考文獻[12]的臍帶纜參數(shù)進行靜力分析，并將計算結(jié)果與同樣工況下商業(yè)分析軟件OrcaFlex 的計算結(jié)果進行了對比，二者結(jié)果吻合良好，一定程度上證實了系統(tǒng)的可行性。最后用UCVIV-1.0對不同外流流速、彈性模量下的臍帶纜進行了計算比對，發(fā)現(xiàn)外流流速以及彈性模量對臍帶纜渦激振動的影響較大，高流速會導(dǎo)致臍帶纜最大張力、最大位移顯著增加；彈性模量主要通過改變臍帶纜渦激振動的鎖振區(qū)間影響臍帶纜的最大位移；最大位移位置一直在臍帶纜中心點上下浮動，臍帶纜的全部質(zhì)量基本作用于懸掛點處，導(dǎo)致最大張力位置一直處于懸掛點處。因此，實際設(shè)計中對于懸掛點和中心點處應(yīng)進行詳細設(shè)計計算。UCVIV-1.0 可為實際工程計算提供參考，并有望用于我國的臍帶纜工程設(shè)計。