付靖宇 趙增輝，?，2)

*(山東科技大學(xué)能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東青島266590)

?(礦業(yè)工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心山東科技大學(xué)，山東青島266590)

問(wèn)題處于重力場(chǎng)中的工程機(jī)械主機(jī)上安裝的旋轉(zhuǎn)部件如圖1 所示：四根質(zhì)量均為m、長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的桿件以鉸接構(gòu)成菱形，豎直固定主軸與其一條對(duì)角線重合，菱形最上方的點(diǎn)被鎖定而最下方的點(diǎn)是一個(gè)可在主軸上自由滑動(dòng)的軸套且此兩點(diǎn)間連接有一根剛度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為2L 的螺繞彈簧(密布纏繞在主軸上)。電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)菱形結(jié)構(gòu)繞主軸旋轉(zhuǎn)，桿件與主軸夾角60°時(shí)體系達(dá)額定工作狀態(tài)。忽略一切摩擦耗散。取k = 23mg/L，EI = Eb4/4。其中EI 是桿件的抗彎剛度。已知重力加速度g。

(1) 暫不考慮桿件的變形，求額定轉(zhuǎn)速ω。

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)速恒定于ω 時(shí)，只考慮桿件彎曲變形的影響，試計(jì)算∠OAO′相對(duì)于把桿件視為剛體的情況而言的變化量。

解答本題為第九屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽初賽試題，第(1)問(wèn)基于剛體靜力學(xué)和動(dòng)靜法給出解答，第(2)問(wèn)的原解答首先通過(guò)作差分析得出兩桿夾角變化量是慣性離心力載荷單獨(dú)作用時(shí)桿件端截面轉(zhuǎn)角的兩倍。為此，需要求出桿件在慣性離心力這種線變載荷作用下的端截面轉(zhuǎn)角。將實(shí)際載荷分布分解為以下兩種分布的疊加：正對(duì)稱均布載荷+ 反對(duì)稱自相似線變載荷，如圖2 所示。

圖2 三角形載荷分解

該解法巧妙之處在于圖2(b)情景下的端截面轉(zhuǎn)角是常規(guī)的結(jié)論而無(wú)需計(jì)算，圖2(c) 中點(diǎn)處亦可視為鉸支座(由反對(duì)稱性不難判定約束趨勢(shì))。因此可以利用線性疊加原理求出端截面轉(zhuǎn)角。圖2(c) 情景下的端截面轉(zhuǎn)角必然與圖2(a) 相似(成比例)，這樣便可只通過(guò)一個(gè)方程直接解出答案。

筆者認(rèn)為本題還存在一處細(xì)節(jié)值得思考，如圖3 所示，設(shè)OA 兩點(diǎn)連線與豎直方向的夾角為θ。在第二問(wèn)求解中原解答只計(jì)算了桿件端截面轉(zhuǎn)角Δα，這并非完整的角度變化量，還相差一項(xiàng)桿件與豎直固定主軸夾角的變化量Δβ，以下給出該問(wèn)題的其他兩種解答。

圖3 桿件角度變化量示意圖

第一種解法：基于拉格朗日分析力學(xué)。

暫不考慮彎曲變形，在隨主機(jī)一起旋轉(zhuǎn)的非慣性參考系中系統(tǒng)勢(shì)能V 由以下三部分組成[1]

式中，重力勢(shì)能Vg=-4mgL cos θ。

彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能

慣性離心勢(shì)能

由式(1) 可得系統(tǒng)總勢(shì)能

平衡狀態(tài)勢(shì)能取極值(即勢(shì)能V 對(duì)θ 的導(dǎo)數(shù)為零)。由題意知θ =60°處為平衡點(diǎn)，所以

將式 (3) 代入 k = 23mg/L，即得主機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度

現(xiàn)在考慮彎曲變形的影響。記直線OA 與豎直方向的夾角為θ。如圖4 所示，以O(shè) 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿著OA 方向建立x 軸，則OA 桿任意截面x 上的彎矩為

圖4 桿件OA 受力圖

同理，對(duì)于O′A 桿的彎矩方程為

利用梁的撓曲軸微分方程和式(5)，可得OA 桿撓曲線解析式為

O′A 桿撓曲線的解析式為

彎曲引起的系統(tǒng)慣性離心勢(shì)能增量為

系統(tǒng)重力勢(shì)能增量為

這是一個(gè)單自由度體系(撓曲線可看作一個(gè)以θ為參數(shù)的幾何分布)。平衡態(tài)滿足勢(shì)能極值原理，即

因?yàn)閂1和V2自身就是比V 小一個(gè)量級(jí)的小量，所以式(11) 第二項(xiàng)導(dǎo)數(shù)在θ = π/3 處的值與在θ = Δβ + π/3 處的值相差二階小量，故用前者近似代替了后者。將式(2)、式(9) 和式(10) 代入可計(jì)算出式(11) 中兩個(gè)導(dǎo)數(shù)

注意式 (12) 運(yùn)用了展開(kāi)到一階小量的泰勒公式。

將式(12) 和式(13) 代入式(11) 可得直線OA與豎直方向夾角的變化量

它實(shí)質(zhì)上是由于為體系勢(shì)能補(bǔ)加一項(xiàng)微小彎曲驅(qū)動(dòng)能而引起的廣義坐標(biāo)θ 的平衡點(diǎn)的偏移。所以，由幾何關(guān)系易知本題最終答案應(yīng)該為

第二種解法：基于牛頓矢量力學(xué)。

上述基于能量解法，下面再利用牛頓矢量力學(xué)加以論證[2]。設(shè)OA 桿和O′A 承受的重力和慣性離心力對(duì)鉸點(diǎn)O 和O′的力矩之和分別為T(mén)1和T2，則

將式(7) 和式(8) 代入，略去二階小量，得

設(shè)A 鉸處對(duì)桿的約束反力為(fx，fy)，則對(duì)OA、O′A桿可列平衡方程

式(18)是關(guān)于θ 的三角方程組，不易直接得出θ。我們的目標(biāo)是求以上3 個(gè)平衡方程中θ 相對(duì)60 度的偏移量。為此，令θ =π/3+Δβ，代入方程組并展開(kāi)到關(guān)于Δβ 的一階小量(系數(shù)中存在EI 的項(xiàng)無(wú)需展開(kāi)，因?yàn)橄禂?shù)本身即是小量)。相對(duì)應(yīng)地，約束反力也要寫(xiě)成零階量附加一階小量的形式。為此，可先求出約束反力的零階量(即不考慮桿件變形時(shí)的約束反力值) 為

由此可得到最低階近似后的線性方程組

聯(lián)立求解可得與式(14) 相同的解答。

最后討論原解答的完備性。原解認(rèn)為兩桿夾角變化(指本文章中的Δα) 與重力無(wú)關(guān)，在書(shū)寫(xiě)彎矩方程時(shí)直接略去了重力力矩這一項(xiàng)，本文著重計(jì)算的修正角度是與重力相關(guān)的，文中式(5)和式(6)計(jì)入了重力以及受重力影響的支反力的貢獻(xiàn)。

第二問(wèn)原解答本文進(jìn)一步補(bǔ)充了由于系統(tǒng)平衡點(diǎn)的偏移桿件角度的變化量Δβ，易知

這說(shuō)明Δβ比Δα小一個(gè)數(shù)量級(jí)。從論證過(guò)程來(lái)看求解Δβ的過(guò)程顯然比求解Δα的過(guò)程困難許多。因此，從數(shù)值量級(jí)來(lái)看是可以忽略Δβ的。該題作為全國(guó)大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題所給出的解答從本科生知識(shí)架構(gòu)來(lái)講是完全合理的。但從科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性角度考慮，本問(wèn)題解答應(yīng)更加完備。事實(shí)上，本題若控制額定轉(zhuǎn)速為單一變量，即控制不考慮彎曲變形時(shí)桿件與豎直方向夾角θ為單一變量，可導(dǎo)出Δβ/Δα與θ的關(guān)系，進(jìn)一步可討論θ取哪些值時(shí)可以忽略Δβ，限于篇幅，不再討論。