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2021-1如圖1 所示，已知平面上質(zhì)點A 和B的運(yùn)動rA(t)， rB(t)。C 點為A 和B 速度(速度大小不為零，方向不平行) 方向延線的交點。

(1) 求點C 的運(yùn)動方程和速度；

(2)已知點A 的運(yùn)動為rA(t)=ti+t2j/2，質(zhì)點B 點質(zhì)量為m，作用在B 上的作用力為f。若將隨點A 運(yùn)動的自然坐標(biāo)系作為動系，求點B 的相對運(yùn)動動力學(xué)方程；

(3)已知點A 的運(yùn)動為rA(t)=ti+t2j/2，點B的運(yùn)動為rB(t)=2ti+t2j/2，求點C 的加速度。(供稿：寶音賀西，清華大學(xué)航天航空學(xué)院)

圖1

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*《小問題》2020-6 解答*

問題：質(zhì)量為m 的勻質(zhì)矩形薄板ABCD，邊長，且a ＞b，板可繞其位于水平位置的對角線AC 軸轉(zhuǎn)動，軸承A、C 間的距離近似等于對角線長度。試用剛體定點運(yùn)動知識：(1) 若板以勻角速度ω 轉(zhuǎn)動(如圖1 所示)，求板的動能及軸承A 和C 處的動反力；(2)若板在靜止時，AC 軸上作用一力偶，力偶矩為M(如圖2 所示)，求初瞬時板的角加速度及軸承A 和C 處的動反力。(問題及以下答案供稿：張孝祖，江蘇大學(xué))

圖1

圖2

解答：

(1)設(shè)想矩形板繞其質(zhì)心O 作定點運(yùn)動，如圖3所示，建立板的慣性主軸坐標(biāo)系Oxyz。

Oyz 為板平面，Ox 軸垂直于板面，i，j，k 分別為Ox 軸、Oy 軸及Oz 軸的單位矢量，板對Oy 軸及Oz 軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為

有幾何關(guān)系

圖3

板的角速度矢

板的動量矩

由動量矩定理，作用在板上的外力矩

因為板勻角速度轉(zhuǎn)動，故~dL/dt=0，而ω×L=ω2sin θ cos θ(Jy-Jz)i，代入計算，得

外力矩Me1由軸承A 和C 處的動反力NA和NC產(chǎn)生，NA和NC作用于板所在平面，方向垂直于AC 軸(見圖3)，產(chǎn)生的力偶矩矢指向與Ox 軸相反，動反力大小

板的動能

又因板繞AC 作定軸轉(zhuǎn)動，動能T = JACω2/2，其中JAC為板繞AC 的轉(zhuǎn)動慣量，上兩式相比，可得

(2)參見圖4，板繞AC 作定軸轉(zhuǎn)動，有JACε=M，于是得板的角加速度

圖4

仿 (1) 題的分析，作用在板上的外力矩 Me2=dL/dt = ~dL/dt+ω×L。注意到初瞬時板靜止，角速度為0，故有ω×L=0，而~dL/dt=Jy˙ω cos θj-Jz˙ω sin θk=Jyε cos θj-Jzε sin θk。將有關(guān)量代入計算，得

在板面取ξ 軸垂直于AC，η 軸平行于AC，指向如圖4 所示。

Me2在η 軸方向分量Me2η= M，此即為初瞬時AC 軸上作用的力偶矩。Me2在ξ 軸方向分量Me2ξ= M(a2-b2)/(2ab)，Me2ξ由軸承A 和C 處的動反力NAx和NCx產(chǎn)生，NAx和NCx方向垂直于板平面(見圖4)，產(chǎn)生的力偶矩矢指向與ξ 軸一致，動反力大小為