張智超，宋郁民

（上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院,上海 201620）

曲梁在土木、機(jī)械、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域均有應(yīng)用，因此曲梁的力學(xué)特性近年來(lái)被學(xué)者們廣泛研究.針對(duì)曲梁的靜力學(xué)研究，目前已發(fā)展得較為成熟.同時(shí)，近幾十年來(lái)工程中的動(dòng)力學(xué)計(jì)算逐漸受到人們重視，因此學(xué)者們開(kāi)始關(guān)注曲梁的動(dòng)力特性研究[1?4].

在直梁條件下，根據(jù)Timoshenko 理論目前已建立系統(tǒng)的考慮慣性力矩與剪切變形影響下的振動(dòng)微分方程得知，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁而言，慣性力矩與剪切變形的影響可以忽略不計(jì).然而對(duì)于深梁，即高跨比較大的梁而言，忽略二者則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大.考慮到直梁條件下建立的計(jì)入慣性力矩與剪切變形影響下的振動(dòng)微分方程，而曲梁是直梁的一般情況，因此本研究將二者影響考慮至曲梁振動(dòng)微分方程的建立之中.

針對(duì)曲梁動(dòng)力學(xué)研究，宋郁民等[5?6]在Euler梁模型下，即不考慮慣性力矩與剪切變形條件下的圓弧曲梁振動(dòng)微分方程的推導(dǎo)，同時(shí)采用假定振型函數(shù)的方法對(duì)上述微分方程進(jìn)行求解.基于上述研究，本研究在已有的Euler 梁曲梁模型下依據(jù)Timoshenko 理論[7]，計(jì)入慣性力矩與剪切變形，建立曲梁面內(nèi)自由振動(dòng)微分方程，推導(dǎo)并整理完成曲梁面內(nèi)橫向彎曲自由振動(dòng)微分方程、面內(nèi)軸向自由振動(dòng)微分方程.方程未計(jì)入阻尼影響，且具有一般性，具體邊界條件隨梁的固定形式不同而不同.

參考直梁條件下振動(dòng)微分方程，曲梁振動(dòng)微分方程推導(dǎo)需建立幾何變形協(xié)調(diào)方程與內(nèi)力平衡方程，通過(guò)結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力關(guān)系將二者聯(lián)立.本研究中，符號(hào)定義如下：m為 單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；Jm為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ρ為單位體積的質(zhì)量；J為截面極慣性矩；E為楊氏模量；I為截面慣性矩.

1 坐標(biāo)系及正方向規(guī)定

1.1 坐標(biāo)系規(guī)定

曲梁平面圖如圖1 所示.取圓弧微段AB，其圓心角為dα，坐標(biāo)系采用三維空間直角坐標(biāo)系.x軸為圓弧切線方向，對(duì)應(yīng)位移為u；y軸為指向圓心圓弧法線方向，對(duì)應(yīng)位移為v；z軸為鉛垂向下圓弧法線方向，對(duì)應(yīng)位移為w.

圖1 曲梁平面圖Fig.1 Plan of the curved beam

1.2 正方向規(guī)定

參考材料力學(xué)，對(duì)內(nèi)力與變形正方向做如下規(guī)定：

1）軸力與軸向變形以受拉為正；

2）轉(zhuǎn)矩與扭轉(zhuǎn)角采用右手法則，即右手拇指指向離開(kāi)截面時(shí)，四指方向?yàn)檎?/p>

3）剪力以所選梁段任意一點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，彎矩以使曲梁內(nèi)側(cè)（面外變形）、下側(cè)（面外變形）受拉為正；

4）與正向彎矩使曲梁變形方向一致，面內(nèi)撓度（v）以指向圓心方向?yàn)檎嫱鈸隙龋╳）以垂直向下為正；

5）與正向彎矩使曲梁變形方向一致，曲率平面內(nèi)彎曲應(yīng)變（繞z軸的κz）以使曲梁內(nèi)側(cè)受拉為正，面外彎曲應(yīng)變（繞y軸的 κy）以使曲梁下側(cè)受拉為正.

2 曲梁幾何變形協(xié)調(diào)方程

2.1 不計(jì)剪切變形曲梁幾何變形協(xié)調(diào)方程

不計(jì)剪切變形曲梁幾何變形協(xié)調(diào)方程[8]為

式中：εx為面內(nèi)—軸向應(yīng)變；κz為面內(nèi)—繞z軸曲率（曲梁面內(nèi)橫向彎曲）；κy為面外—繞y軸曲率（曲梁面外橫向彎曲）；κx為面外—繞x軸曲率（曲梁面外縱向扭轉(zhuǎn)）；φ為扭轉(zhuǎn)角.

2.2 計(jì)入剪切變形曲梁幾何變形協(xié)調(diào)方程

式中：γ為剪切角；y為彎曲撓度；為撓曲線傾角；θ為截面彎曲轉(zhuǎn)角；G為剪切模量；A為截面面積；k為考慮截面上剪應(yīng)力分布不均勻的修正系數(shù).因式(1)不再適用，根據(jù)式(2)對(duì)式(1)進(jìn)行調(diào)整，得到計(jì)入剪切變形曲梁幾何變形協(xié)調(diào)方程為

式中：γy為y方向剪切角，γz為z方向剪切角.根據(jù)式(2)可得y軸、z軸方向剪力為

觀察式(4)可得，計(jì)入剪切變形對(duì)面內(nèi)與面外彎曲變形方程造成影響.觀察式面外—繞x軸曲率，倘若為直梁，則計(jì)入剪切變形并不會(huì)影響扭轉(zhuǎn)變形方程，由于曲梁中彎扭耦合（即彎曲與扭轉(zhuǎn)變形相互影響），因此計(jì)入剪切變形后間接影響了扭轉(zhuǎn)變形幾何協(xié)調(diào)方程.

3 曲梁內(nèi)力平衡方程

曲梁微段內(nèi)力圖如圖2 所示，圓心角為dα.

圖2 曲梁微段內(nèi)力圖Fig.2 Graph of curved beam segment internal force

在x軸與y軸方向，微段兩端的內(nèi)力均不在同一3 維坐標(biāo)系內(nèi).因此需統(tǒng)一坐標(biāo)系，即將左端內(nèi)力進(jìn)行坐標(biāo)變換，再建立內(nèi)力平衡方程.坐標(biāo)變換矩陣S為

通過(guò)上述矩陣將微段左端點(diǎn)內(nèi)力進(jìn)行坐標(biāo)變換，使其與右端點(diǎn)內(nèi)力坐標(biāo)系相統(tǒng)一.具體步驟為左端內(nèi)力行向量右乘坐標(biāo)變換矩陣，由于曲梁微段圓心角dα極小，因此在計(jì)算時(shí)有cosdα≈1，sindα ≈dα，可得坐標(biāo)變換后內(nèi)力行向量為

式中：T為繞x軸扭轉(zhuǎn)扭矩；My為繞y軸彎曲彎矩（面外橫向彎曲彎矩）；Mz為繞z軸彎曲彎矩（面內(nèi)橫向彎曲彎矩）；N為x軸方向軸力.

根據(jù)坐標(biāo)變換后內(nèi)力行向量與微段右端內(nèi)力列出曲梁內(nèi)力平衡方程，其中，慣性力與慣性力矩方向同結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)保持一致，根據(jù)是否計(jì)入慣性力矩得出如下結(jié)果.

1) 不計(jì)慣性力矩曲梁內(nèi)力平衡方程

化簡(jiǎn)得

式中：m為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量.

化簡(jiǎn)得

4 曲梁面內(nèi)振動(dòng)微分方程推導(dǎo)

4.1 面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)微分方程推導(dǎo)

考慮慣性力矩與剪切變形時(shí)建立面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)微分方程，需聯(lián)立內(nèi)力平衡方程可得

材料力學(xué)中內(nèi)力與變形關(guān)系為

式中：E為楊氏模量.

將式(4)代入上式（為方便后續(xù)計(jì)算，幾何變形協(xié)調(diào)方程取至彎曲轉(zhuǎn)角θ），得

聯(lián)立方程需剪切角 γ、撓度y（此小節(jié)撓度為v）、截面彎曲轉(zhuǎn)角 θ三者關(guān)系式及剪切角 γ與剪力Q關(guān)系式.將式(3)代入式(2)后，兩端對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)，得

撓度為v，轉(zhuǎn)角為 θz，剪力為Qy時(shí)，經(jīng)整理可得

將內(nèi)力平衡方程即式(7)代入式(14)，可得

將式(11)代入式(15)，可得

式(8)兩端對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)，可得

將式(7)代入式(17)，得

將式(11)、式(12)代入式(18)，可得

將式(16)代入式(19)，可得

整理得曲梁面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)微分方程為

4.2 面內(nèi)軸向振動(dòng)微分方程推導(dǎo)

式(22)兩端對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)，可得

將式(23)代入式(24)，可得

將式(11)代入式(25)，得

整理得曲梁面內(nèi)軸向振動(dòng)微分方程為

5 方程退化特例

由于直梁為曲梁特殊情況，Euler 梁為T(mén)imoshenko 梁特殊情況，因此可通過(guò)參數(shù)調(diào)整進(jìn)行方程退化.

1）當(dāng)曲梁半徑趨向于 ∞時(shí)，曲梁振動(dòng)微分方程與直梁振動(dòng)方程一致.此時(shí)將式(21)中曲梁半徑R設(shè)置為 ∞，公式為

式(21)退化為T(mén)imoshenko 梁條件下直梁橫向彎曲振動(dòng)微分方程[7]，即式(28)，從而初步驗(yàn)證了方程的正確性.

同理，將式(27)中半徑R設(shè)置為 ∞，公式為

式(27)退化為直梁軸向振動(dòng)微分方程[7]，即式(29)，從而初步驗(yàn)證了方程的正確性.

2）當(dāng)曲梁剪切模量G趨向于 ∞，曲梁轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ρIz設(shè)置為0 時(shí)，方程將不考慮剪切變形與慣性力矩的影響.Timoshenko 梁條件下曲梁振動(dòng)微分方程將與Euler 梁條件下曲梁振動(dòng)方程相一致.因此將式（21）中剪切模量G設(shè)置為 ∞，曲梁轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ρIz設(shè)置為0，方程式為

式(21)退化為Euler 梁條件下曲梁面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)微分方程[5]，即式(30)，從而初步驗(yàn)證了方程的正確性.

6 結(jié)語(yǔ)

1)參考直梁推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)建立了曲梁在計(jì)入慣性力矩與剪切變形后的面內(nèi)自由振動(dòng)微分方程，包括曲梁面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)微分方程、面內(nèi)軸向振動(dòng)微分方程.

2)在直梁的條件下，計(jì)入慣性力矩與剪切變形只會(huì)對(duì)橫向彎曲振動(dòng)造成影響.而在曲梁的條件下，由于面內(nèi)軸彎耦合，從而導(dǎo)致慣性力矩與剪切變形對(duì)于面內(nèi)軸向振動(dòng)也產(chǎn)生間接影響.

3)通過(guò)參數(shù)調(diào)整，經(jīng)過(guò)方程退化初步驗(yàn)證了方程的正確性.