竺君斐　周潔

“數(shù)的認(rèn)識”板塊的本質(zhì)內(nèi)容是十進位值制。十進位值制記數(shù)法包括“十進制”與“位值制”兩條原則。“十進”指的是“滿十進一”?！拔恢怠笔峭粩?shù)字在不同位置上所表示的數(shù)值不同。如三位數(shù)“555”，右邊的5在個位上表示5個一，中間的5在十位上表示5個十，左邊的5在百位上則表示5個百。十進位值制使極為困難的整數(shù)表示和驗算變得簡便易行。

怎樣在“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”教學(xué)過程中讓學(xué)生深度理解“十進位值制”的內(nèi)涵與價值？常規(guī)的做法是：通過數(shù)數(shù)活動中的“怎樣數(shù)”“怎樣記錄”這兩個問題展開。以數(shù)黃豆為例，當(dāng)“捏一撮”（10以內(nèi)）時，我們可以一個一個地數(shù);當(dāng)“抓一把”（100以內(nèi)）時，我們可以十個一堆，十個一堆地數(shù);當(dāng)數(shù)目更大時，就需要用更大的計數(shù)單位來記數(shù)，進而明確一而十，十而百，百而千，千而萬。記錄黃豆數(shù)量的同時，需要明確每一個數(shù)位上數(shù)的含義。

很多“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”教學(xué)設(shè)計能從數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生在活動中體會十進位值制的含義，以及計數(shù)單位之間的關(guān)系。但是，學(xué)生對其中“滿十進一”體會深刻，對位值制的價值卻感悟不深。

十進位值制是我國最早發(fā)明的。文明古國巴比倫采用60進位制（這一進位制到現(xiàn)在仍留有痕跡，如1分=60秒）。古印度、古埃及也很早就采用了十進位制，但是他們沒有位置，沒有零，并不知道位值制。如古埃及采用“計算單位累加”的方法，不同計算單位用不同的符號表示，從圖1古埃及的“235”中可以看到2個百用2個“旋風(fēng)”，3個十用3個“門洞”，5個一用5個小棒表示。依次推理。如果表示999，“旋風(fēng)”“門洞”“小棒”分別要畫9個，非常繁瑣，給記錄與運算帶來不便。

從歷史發(fā)展順序來看，“位值”的出現(xiàn)明顯比“十進”晚，說明“位值”比“十進”更難理解。

弗賴登塔爾認(rèn)為：“年輕的學(xué)習(xí)者應(yīng)重蹈人類的學(xué)習(xí)過程?！绷袑幰苍?jīng)說過：“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，科學(xué)只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧”。數(shù)學(xué)，既是被人們發(fā)現(xiàn)的，也是被人們創(chuàng)造的。前人在數(shù)學(xué)研究過程中，其數(shù)學(xué)思維和經(jīng)驗教訓(xùn)是非常有借鑒意義的，對小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有著極大的促進作用。

因此，“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”一課，有必要鏈接教材“你知道嗎”板塊中的“算籌文化”，讓學(xué)生在“中國算籌”“古埃及記數(shù)法”兩種記數(shù)方法的認(rèn)識、試寫、對比中，挖掘“十進位值制”背后的數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生充分感受“位值制”的簡潔與價值，豐滿數(shù)學(xué)教學(xué)中的“人文元素”，體會“數(shù)學(xué)有著悠久的鮮活的歷史”。

一、靜態(tài)的中國算籌：動態(tài)評價中體會“古人智慧”

教材呈現(xiàn)的知識是靜態(tài)的。而站在歷史的角度，動態(tài)地看待數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展過程，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，參與再創(chuàng)造，有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識靈動的一面。

中國算籌一般是用小竹棍（或其他材料）制成。古人為了區(qū)分相鄰數(shù)位上的數(shù)，創(chuàng)造了橫向、縱向兩種算籌。需要學(xué)生體驗這個動態(tài)發(fā)生過程。

第一步，借助方塊直觀模型，理解數(shù)位意義。

（1）課件有序出示小方塊（1個、10個、100個、1000個），明確計數(shù)單位個、十、百、千。

（2）課件出示235個小方塊。明確235由幾個百、幾個十、幾個一組成。

（3）指一指：這個“2”表示圖上哪些小方塊？

（4）追問：為什么它可以表示這么多方塊？因為2在百位上，表示2個百。

（4）歸納：個位、十位、百位、千位就是數(shù)位。

第二步，介紹中國算籌。

（1）出示“你知道嗎”內(nèi)容，介紹算籌，了解橫式與縱式兩種表示方法。（如圖2）

（2）追問：“5”用5根小棒表示，為什么“6”不是6根，而用一橫一豎來表示呢？

第三步，用算籌表示235，探究并發(fā)現(xiàn)記數(shù)規(guī)律。

（1）學(xué)生嘗試。（如圖3）

（2）交流評價。你喜歡哪一副作品，為什么？

3號作品是正確的。表揚4號作品：“雖然反了，但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴?！?/p>

第四步，用算籌表示5555。

（1）學(xué)生嘗試。

（2）作品反饋。（如圖4）

用算籌表示數(shù)，匯集了兩千多年前中國古人的集體智慧。讓學(xué)生通過觀察，引發(fā)思考，如“6”為什么用一橫一豎表示？因為“以一當(dāng)五”更簡約更美觀，展現(xiàn)了中國古人的智慧。又如算籌表示235，學(xué)生1號作品，容易與55，或者10產(chǎn)生混淆。為了區(qū)分2、3、5這三個數(shù)字在不同的數(shù)位上，中國古人發(fā)明并規(guī)定個位縱向，十位橫向，交替重復(fù)的方法。讓學(xué)生在嘗試創(chuàng)造、相互評價中感受其奧妙，發(fā)展思維，提升素養(yǎng)。

二、繁瑣的古埃及記數(shù)：探究中體驗“機械呆板”

十進位值制之所以被馬克思稱頌為“人類最美妙的發(fā)明之一”，是因為它的簡約。萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，除了讓學(xué)生掌握位值制的含義，即“相同的數(shù)字，在不同的數(shù)位上，表示不同的數(shù)值”之外，有必要繼續(xù)深入探究，體會它的優(yōu)點。為此，借助古埃及記數(shù)“5555”的繁瑣，可以使學(xué)生在探究中體驗其方法的呆板。

第一步，介紹古埃及1～9，10，100，1000，10000的表示方法。（如圖5）

第二步，介紹古埃及的“235”，說說他們的記數(shù)方法。

第三步，學(xué)生獨立探究古埃及“5555”的寫法。

第四步，交流評價學(xué)生作品，明確各部分的含義。（如圖6）

學(xué)生喜歡創(chuàng)造，喜歡探究。古埃及記數(shù)，先舉例呈現(xiàn)，再發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后讓學(xué)生用自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律試寫“5555”。古埃及計數(shù)單位“個、十、百、千”有不同的符號，每個符號需要重復(fù)畫5次，用學(xué)生的話來說“手都畫酸了”。隨著數(shù)量增大，古埃及需要統(tǒng)一更多的計數(shù)單位，畫更多次數(shù)“小花”“門洞”等，“手就更酸了”。整個過程都以學(xué)生為主體，既拓展學(xué)生視野，滿足學(xué)生探究未知領(lǐng)域的愿望，又訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，同時還讓學(xué)生深刻體會到古埃及記數(shù)方法的繁瑣與復(fù)雜，以及記數(shù)方法歷史的“豐富性”。

三、中國算籌的位置制：對比中凸顯“高明美妙”

同樣是二千多年前，同樣是“5555”，中國算籌卻與古埃及不同。中國算籌中沒有“小花”“”旋風(fēng)“門洞”等這些專門的記數(shù)符號，只需把算籌“5根小棒”放在不同的數(shù)位上，就可以表示5個千，5個百，5個十，5個一了。學(xué)生在對比中，對萬以內(nèi)數(shù)的兩種表示方法進行抽象概括，強烈感受到了位值制的高明與美妙，深刻體會中國古人的智慧與偉大創(chuàng)造。

第一步，對比古代中國算籌和古埃及記數(shù)法。

師：對比二千多年前古埃及的5555，與古代中國5555，你想說些什么？

生：古埃及的千、百、十、一有專門的符號，中國的算籌沒有專門的符號，用不同數(shù)位加以區(qū)分。

生：古埃及的太麻煩，我們古代中國的算籌更方便。

生：我們中國人要比古埃及人聰明。用不同數(shù)位的數(shù)表示不同的計算單位。

生：作為中國人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

第二步，對比古代中國算籌和現(xiàn)代記數(shù)法。

生：現(xiàn)代記數(shù)法采用了我國古人發(fā)明的“十進位值制”。

生：現(xiàn)代記數(shù)法用阿拉伯?dāng)?shù)字代替算籌1～9，更簡約更方便。

師：數(shù)學(xué)追求簡潔美，我們現(xiàn)代人使用的萬以內(nèi)數(shù)表示方法凝聚了一代又一代數(shù)學(xué)家的努力和智慧?！笆M位值制”是古代中國人對世界數(shù)學(xué)發(fā)展作出的一項不可磨滅的貢獻。

第一次對比，體會中國算籌位值制的簡約，滲透愛國主義教育。第二次“古代算籌與現(xiàn)代記數(shù)法”對比，讓學(xué)生感悟到“知識是發(fā)展的”“數(shù)學(xué)是人類共同的文化活動”，而古今中外一代又一代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造精神的傳承，有利于促進學(xué)生良好品格的形成，可謂一舉多得。

華東師師范大學(xué)的汪曉勤教授曾將HPM研究價值歸納為“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。以上設(shè)計中這六大價值均有所體現(xiàn)。如了解算籌的記數(shù)方法，體會“以一當(dāng)五”，這是感受“知識之諧”;讓學(xué)生嘗試探究“中國古人記數(shù)235”“古埃及記數(shù)5555”，體悟的是數(shù)學(xué)“探究之樂”;經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，明白縱橫交替擺法的優(yōu)勢，加強思維訓(xùn)練，提高解決問題能力，發(fā)揮學(xué)生能動性，是“能力之助”;在古代中國算籌和古埃及記數(shù)方法對比中，感受古埃及記數(shù)方法的繁雜，體會中國算籌十進位值制的價值，感受古代中國人民的偉大，是“德育之效”;在歷史發(fā)展進程中，感受數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展，不斷前進的，數(shù)學(xué)是屬于全世界人類的一項文化成果，體會的是“文化之魅”。

將數(shù)學(xué)文化知識“中國算籌”“古埃及記數(shù)”融入“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”課堂教學(xué)中，充分體現(xiàn)了趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、新穎性。學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得扎實。

（責(zé)任編輯：楊強）