繆佶, 龔春林, 李春娜

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

小型無(wú)人飛行器由于其具有尺寸小、使用靈活、任務(wù)執(zhí)行能力強(qiáng)等多項(xiàng)優(yōu)勢(shì),近些年來(lái)在各個(gè)領(lǐng)域都受到了廣泛關(guān)注。為了使飛行器具有更寬的飛行包線,更廣泛的應(yīng)用范圍,其翼型需要擁有更優(yōu)良的氣動(dòng)性能。因此,對(duì)小型無(wú)人飛行器翼型進(jìn)行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的意義。

氣動(dòng)優(yōu)化對(duì)于飛行器設(shè)計(jì)是一種有效的輔助方法。早期的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)采用工程估算或面元法等低精度模型,單次分析耗時(shí)非常短,可以直接進(jìn)行優(yōu)化。隨著CFD理論和高性能計(jì)算機(jī)的發(fā)展,CFD數(shù)值模擬由于具有較高精度而越來(lái)越多地被應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題求解。然而,由于CFD計(jì)算耗時(shí)很長(zhǎng),難以應(yīng)用于大設(shè)計(jì)空間的全局優(yōu)化。

基于代理模型的優(yōu)化方法,由于能夠大大縮減CFD計(jì)算成本,逐漸成為氣動(dòng)優(yōu)化研究的重要分支和關(guān)鍵技術(shù)[1]。代理模型的概念最早在20世紀(jì)80年代被提出,其作用之一是在分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中替代那些比較復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的分析[2]。代理模型方法不僅可以提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率,而且有利于濾除數(shù)值噪聲和實(shí)現(xiàn)并行優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]。常用的代理模型方法主要包括:徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[4]、多項(xiàng)式響應(yīng)面[5]、Kriging模型等。然而直接構(gòu)建代理模型也存在一定的局限性,當(dāng)樣本點(diǎn)少時(shí)難以保證模型精度,樣本點(diǎn)多時(shí)計(jì)算耗時(shí)很長(zhǎng)。對(duì)于外形復(fù)雜、設(shè)計(jì)變量較多的氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題,為了確保代理模型的精度,往往需要大量的樣本點(diǎn),從而導(dǎo)致計(jì)算成本過(guò)大。為了解決這一問(wèn)題,變復(fù)雜度建模方法(variable-fidelity modeling,VFM)被提出[6],其主要原理是:同時(shí)引入高精度分析模型和低精度分析模型,通過(guò)計(jì)算高、低精度分析模型在樣本點(diǎn)處的差異構(gòu)建出變復(fù)雜度模型來(lái)描述優(yōu)化問(wèn)題,從而在保證優(yōu)化精度的同時(shí)有效降低計(jì)算成本[7]。

Chang等[8]提出使用乘法標(biāo)度函數(shù)得到低精度與高精度模型的差異,并據(jù)此建立變復(fù)雜度模型。Alexandrov等[9]提出了一階加法標(biāo)度和一階乘法標(biāo)度函數(shù),基于標(biāo)度函數(shù)建立了變復(fù)雜度模型并分別用于三維機(jī)翼和二維翼型的優(yōu)化問(wèn)題。Gano等[10]分別通過(guò)進(jìn)行Taylor一階和二階展開(kāi)的方式建立標(biāo)度函數(shù)。該方法雖然能夠降低模型的構(gòu)建成本,但該建模方法屬于局部近似建模,并不適用于全局優(yōu)化問(wèn)題。Leifsson等[11]提出了一種基于VFM的快速優(yōu)化方法,其中大量的低精度氣動(dòng)數(shù)據(jù)通過(guò)結(jié)合半工程方法快速計(jì)算得到,少量高精度氣動(dòng)數(shù)據(jù)通過(guò)CFD計(jì)算得到,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)外形的快速優(yōu)化。Zhang等[12]將VFM和期望改進(jìn)(expected improvement,EI)加點(diǎn)準(zhǔn)則相結(jié)合,提出VF-EI方法,并結(jié)合分層Kriging代理模型,高效求解全局優(yōu)化問(wèn)題。Song等[13]提出了一種新的變復(fù)雜度優(yōu)化策略,初始只構(gòu)建基于低精度樣本點(diǎn)的Kriging代理模型,高精度樣本點(diǎn)則通過(guò)EI等加點(diǎn)策略添加到樣本點(diǎn)集中,不斷對(duì)低精度代理模型進(jìn)行修正,構(gòu)建變復(fù)雜度代理模型,該方法能夠有效降低由初始高精度樣本點(diǎn)帶來(lái)的計(jì)算成本。Han等[14]通過(guò)構(gòu)建多級(jí)變復(fù)雜度分層Kriging代理模型的方法對(duì)二維翼型和三維機(jī)翼進(jìn)行優(yōu)化,相比單精度代理模型和兩級(jí)變復(fù)雜度代理模型方法,其進(jìn)一步降低了計(jì)算成本。

當(dāng)前的變復(fù)雜度模型通過(guò)少量計(jì)算成本大的高精度樣本數(shù)據(jù)修正大量計(jì)算成本小的低精度樣本數(shù)據(jù)。為了縮減計(jì)算成本,氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題中的低精度樣本可以由以下方式得到[15]:對(duì)復(fù)雜外形進(jìn)行簡(jiǎn)化,CFD數(shù)值模擬過(guò)程中采用網(wǎng)格數(shù)量少的粗糙網(wǎng)格。Leifur等[15]通過(guò)半工程方法計(jì)算低精度樣本的氣動(dòng)參數(shù),誘導(dǎo)阻力通過(guò)渦格法求得,零升阻力和激波阻力由片條理論得到,計(jì)算一個(gè)低精度樣本的氣動(dòng)數(shù)據(jù)大約需要15 s,其結(jié)果與高精度的偏差在33%～50%。Alexandrov等[9]通過(guò)構(gòu)建粗糙CFD網(wǎng)格的方式得到低精度樣本響應(yīng)值,計(jì)算成本僅為高精度樣本的四分之一。Jiang等[7]將變復(fù)雜度模型應(yīng)用于小水線面雙體船的設(shè)計(jì)中,低精度樣本響應(yīng)值也通過(guò)粗糙CFD網(wǎng)格計(jì)算得到,其網(wǎng)格量為高精度樣本的五分之一。Mifsud等[16]為得到低精度樣本數(shù)據(jù),不僅構(gòu)建了粗糙CFD網(wǎng)格,且僅采用了一階精度進(jìn)行迭代計(jì)算,從而進(jìn)一步降低了低精度模型的計(jì)算耗時(shí),高精度樣本數(shù)據(jù)則采用細(xì)網(wǎng)格和三階精度迭代計(jì)算得到。

針對(duì)小型無(wú)人飛行器的翼型氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題,為了使計(jì)算成本維持在較低水平,并保證優(yōu)化結(jié)果精度足夠,本文提出一種基于CFD收斂提前終止和變復(fù)雜度模型的兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化方法:首先,通過(guò)CFD收斂提前終止的方法獲得低精度樣本響應(yīng)值,通過(guò)CFD完全收斂獲得高精度樣本響應(yīng)值,并利用加法橋接函數(shù)構(gòu)建變復(fù)雜度模型。為得到精確的最優(yōu)解,先后利用多島遺傳算法和Hooke-Jeeves算法分別基于變復(fù)雜度模型和高精度CFD分析進(jìn)行全局-局部?jī)杉?jí)優(yōu)化。最后,采用該優(yōu)化方法對(duì)小型無(wú)人飛行器的翼型優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解,表明了該優(yōu)化方法的可行性和有效性。

1 優(yōu)化方法原理

1.1 Kriging代理模型

Kriging模型最早由南非地質(zhì)學(xué)家 Krige提出,并成功應(yīng)用于地質(zhì)勘查中。至今,Kriging模型已成為優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域最具代表性、應(yīng)用最廣泛的代理模型構(gòu)建方法之一[17]。Kriging模型是一種預(yù)測(cè)方差最小的無(wú)偏估計(jì)模型,具有較好的擬合能力,適用于強(qiáng)非線性問(wèn)題的擬合[18]。

(1)

式中:f(x)=[f1(x),f2(x),…,fj(x)],j=1,2,…,k為回歸函數(shù);β={β1,…,βj}T為回歸系數(shù);z(x)為滿足N(0,σ2)正態(tài)分布的隨機(jī)變量,方程右側(cè)兩項(xiàng)分別代表預(yù)測(cè)值的總體趨勢(shì)和局部偏差。定義n×k的矩陣

F=[fT(x(1)),fT(x(2)),…,fT(x(n))]T

(2)

在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi),不同樣本點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)程度通過(guò)相關(guān)函數(shù)來(lái)描述。常用相關(guān)函數(shù)有高斯函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、球函數(shù)、三次函數(shù)和樣條函數(shù)等[19]。本文選用高斯函數(shù)作為相關(guān)函數(shù),則樣本點(diǎn)的協(xié)方矩陣表示為

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R[z(xj),z(xj)]

(3)

相關(guān)函數(shù)可以表示為

(4)

式中:d為自變量的維數(shù);θk為相關(guān)函數(shù)的參數(shù)。通過(guò)隨機(jī)過(guò)程理論,得到未知點(diǎn)x處Kriging模型的預(yù)測(cè)值如下

(5)

(6)

(7)

相關(guān)參數(shù)θ可以通過(guò)最大化似然函數(shù)求得,其中似然函數(shù)[19]的表達(dá)式為

(8)

進(jìn)而可以得到未知點(diǎn)x處的預(yù)測(cè)方差表達(dá)式如下

(9)

1.2 變復(fù)雜度模型

單獨(dú)基于CFD數(shù)據(jù)建模會(huì)導(dǎo)致建模代價(jià)過(guò)大,而單獨(dú)基于低精度數(shù)據(jù)建模會(huì)難以保證模型精度。為了兼顧計(jì)算代價(jià)大的高精度模型和精度低的低精度模型,建立變復(fù)雜度模型是一種十分有效的方法。變復(fù)雜度方法可通過(guò)少量高、低精度樣本的差異構(gòu)建差異響應(yīng)模型,從而修正其他低精度響應(yīng)值以建立代理模型或直接針對(duì)修正后的響應(yīng)值進(jìn)行優(yōu)化,變復(fù)雜度模型通?？梢员硎緸?/p>

(10)

首先,對(duì)低精度模型和高精度模型選取m個(gè)相同的采樣點(diǎn)并計(jì)算相應(yīng)的高、低精度響應(yīng)值,然后計(jì)算m個(gè)采樣點(diǎn)處高低響應(yīng)值間的差異,并建立差異響應(yīng)模型。最后將差異響應(yīng)模型作為低精度與高精度響應(yīng)的橋接,修正低精度響應(yīng)值,從而建立變復(fù)雜度模型。修正方法可采用乘法標(biāo)度或加法標(biāo)度,表示如下

在加法修正和乘法修正中,C(x,a)是差異響應(yīng)模型,預(yù)測(cè)高、低精度模型的差異。在實(shí)際應(yīng)用中,加法標(biāo)度函數(shù)在氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題中適用性更廣,而乘法標(biāo)度函數(shù)可能出現(xiàn)奇異點(diǎn),故本文采用加法標(biāo)度函數(shù)構(gòu)建變復(fù)雜度模型。由于低精度樣本的計(jì)算成本很低,不需要選取大量低精度樣本構(gòu)建代理模型,可以直接基于修正后的響應(yīng)值進(jìn)行優(yōu)化。

2 基于CFD收斂提前終止和變復(fù)雜度模型的兩級(jí)優(yōu)化方法

2.1 CFD提前終止收斂

構(gòu)建變復(fù)雜度模型所基于的低精度樣本與高精度樣本數(shù)據(jù)存在一定誤差。文獻(xiàn)[15]通過(guò)半工程方法得到低精度樣本零升阻力、誘導(dǎo)阻力以及激波阻力,與高精度樣本結(jié)果的相對(duì)誤差范圍為33%～50%,這種過(guò)大的差異會(huì)導(dǎo)致需要更多的高精度樣本,使得計(jì)算成本增加。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),高、低精度數(shù)據(jù)的相對(duì)差異在20%以內(nèi)往往可以獲得精度較高的變復(fù)雜度模型,且低精度樣本的計(jì)算耗時(shí)應(yīng)維持在較低水平,以確保優(yōu)化成本較低。

文獻(xiàn)[8]通過(guò)使用粗糙CFD網(wǎng)格的方法獲得低精度數(shù)據(jù),使得低精度模型構(gòu)建成本僅為高精度模型的1/8。然而,粗糙網(wǎng)格受幾何模型的影響較大,外形越復(fù)雜的模型所需要的網(wǎng)格數(shù)越多。若對(duì)外形復(fù)雜的模型生成粗糙網(wǎng)格,由于優(yōu)化過(guò)程中幾何外形在不斷地改變,有可能因網(wǎng)格量少或網(wǎng)格尺寸大,導(dǎo)致網(wǎng)格質(zhì)量過(guò)差,從而使得CFD結(jié)果精度過(guò)低或網(wǎng)格生成過(guò)程失敗。因此,采用粗糙網(wǎng)格的方法存在不穩(wěn)定因素,會(huì)影響外形復(fù)雜模型優(yōu)化的可靠性。為了在保證結(jié)果精度足夠的同時(shí)盡可能縮減計(jì)算成本,本文采用CFD收斂提前終止的方法獲得低精度數(shù)據(jù)。

圖1 CFD收斂提前終止示意圖

CFD的收斂過(guò)程往往初始收斂很快,之后隨著迭代步數(shù)的增加其收斂速度逐漸減緩。由圖1所示,氣動(dòng)力系數(shù)僅需很少的迭代步數(shù)即可接近完全收斂的解,若提前終止收斂,則計(jì)算成本遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于完全收斂,且結(jié)果相差不大。而且,對(duì)于高、低精度樣本如果采用一樣的細(xì)網(wǎng)格,網(wǎng)格質(zhì)量能得到保證,使得氣動(dòng)優(yōu)化過(guò)程具有很好的魯棒性。

由于殘差反映了當(dāng)前流場(chǎng)與收斂的流場(chǎng)之間的差距,可以采用殘差來(lái)作為流場(chǎng)提前終止收斂的判定準(zhǔn)則。對(duì)于網(wǎng)格質(zhì)量高的細(xì)網(wǎng)格模型,殘差往往需要收斂到1×10-6才能使升阻力系數(shù)完全平穩(wěn),但殘差越小氣動(dòng)力系數(shù)變化越小且收斂越緩慢,因此不等殘差完全收斂即提前終止的話可以大大減少計(jì)算耗時(shí)。

本文采用RAE2822翼型作為小型無(wú)人飛行器的基準(zhǔn)翼型。為了獲得收斂提前終止準(zhǔn)則,分別對(duì)殘差收斂到1×10-2,1×10-3和1×10-4時(shí)的計(jì)算耗時(shí)和計(jì)算精度進(jìn)行對(duì)比。采用RAE2822翼型的標(biāo)準(zhǔn)算例來(lái)對(duì)比不同殘差收斂標(biāo)準(zhǔn),該翼型的計(jì)算狀態(tài)為:Ma=0.729,Re=6.5×106,α=2.31°。

首先通過(guò)網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證,生成RAE2822翼型的細(xì)網(wǎng)格A1。網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證結(jié)果如表1所示:

表1 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證

收斂性驗(yàn)證后確定的細(xì)網(wǎng)格A1的網(wǎng)格單元數(shù)量為82 643,壁面附面層滿足Y+≈1,細(xì)網(wǎng)格A1的情況如圖2所示。

基于該網(wǎng)格,對(duì)不同收斂準(zhǔn)則下的計(jì)算耗時(shí)和計(jì)算精度進(jìn)行對(duì)比,情況如表2所示。

綜合考慮計(jì)算耗時(shí)和計(jì)算精度,選擇1×10-3作為提前收斂的殘差,此時(shí)計(jì)算耗時(shí)很少,僅為80 s,且與完全收斂結(jié)果的相對(duì)誤差不大,均在20%以內(nèi),能夠滿足變復(fù)雜度模型所需的低精度數(shù)據(jù)要求。因此,本文將殘差作為CFD收斂提前終止的條件:當(dāng)殘差達(dá)到1×10-3時(shí)即終止收斂。

圖2 細(xì)網(wǎng)格

表2 不同收斂準(zhǔn)則對(duì)比情況

為了確保細(xì)網(wǎng)格A1的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確,將其與相同計(jì)算狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比情況如表3所示。為了將收斂提前終止方法與粗糙網(wǎng)格方法進(jìn)行對(duì)比,除細(xì)網(wǎng)格A1外,再生成3個(gè)粗糙程度不一的網(wǎng)格M1,M2,M3,維持壁面Y+和邊界層網(wǎng)格層數(shù)不變,適當(dāng)降低壁面網(wǎng)格密度,M1,M2和M3的網(wǎng)格單元量分別為54 841,26 409和13 195。分別將這4個(gè)不同精度的網(wǎng)格用于CFD分析,并與CFD收斂提前終止方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如表3所示。

表3 采用不同粗糙度網(wǎng)格的CFD結(jié)果對(duì)比

可以看出,細(xì)網(wǎng)格A1得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分接近,升阻力的相對(duì)誤差可由(13)至(14)式計(jì)算得到

(13)

(14)

升力系數(shù)誤差δCl約為1.2%,阻力系數(shù)誤差δCd僅為0.8%,故可將A1網(wǎng)格視為基準(zhǔn)網(wǎng)格。M1網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果與基準(zhǔn)網(wǎng)格差別不大,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也比較接近。其運(yùn)行時(shí)間相比基準(zhǔn)網(wǎng)格減小了接近一半,但計(jì)算一個(gè)樣本點(diǎn)仍然需要430 s的時(shí)間。M2的網(wǎng)格數(shù)為M1的一半,由于網(wǎng)格數(shù)的減小,網(wǎng)格質(zhì)量有少量下降,依然需要運(yùn)行360 s才能使結(jié)果收斂,M2得到的氣動(dòng)力系數(shù)仍較為接近真實(shí)結(jié)果。M3的網(wǎng)格數(shù)進(jìn)一步減小了一半,但此時(shí)得到的結(jié)果已遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了真實(shí)結(jié)果,且由于網(wǎng)格數(shù)量少,網(wǎng)格質(zhì)量下降較多,仍需要300 s才能基本收斂,在優(yōu)化過(guò)程的其他狀態(tài)下存在發(fā)散的可能。

然而,細(xì)網(wǎng)格A1收斂提前終止得到的結(jié)果精確度雖然不如M1和M2網(wǎng)格,但與真實(shí)結(jié)果誤差在20%以內(nèi),其升力系數(shù)Cl的誤差為16.8%,阻力系數(shù)Cd的誤差為4.9%,可以滿足構(gòu)建變復(fù)雜度模型的低精度樣本需求。此外,其計(jì)算時(shí)間僅80 s,遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于各粗糙網(wǎng)格的計(jì)算成本,更有利于全局優(yōu)化問(wèn)題的效率提高。

上述算例表明,隨著網(wǎng)格量的減小,CFD的結(jié)果誤差會(huì)逐漸加大。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量減小到一定量時(shí),相對(duì)誤差會(huì)急劇增大,由5%增至45%。因此,當(dāng)網(wǎng)格粗糙到一定程度時(shí),其結(jié)果與精確結(jié)果的誤差會(huì)驟增,從而無(wú)法作為低精度樣本參與優(yōu)化過(guò)程。為了生成合適的粗糙網(wǎng)格,需要做不同粗糙度網(wǎng)格的驗(yàn)證,否則隨著氣動(dòng)外形優(yōu)化的進(jìn)行,模型的幾何外形一直在變化,生成的粗糙網(wǎng)格非常容易在優(yōu)化過(guò)程中引起迭代發(fā)散或精度過(guò)低。相比而言,CFD收斂提前終止方法的計(jì)算成本低于粗糙網(wǎng)格,相對(duì)誤差同樣可以滿足低精度樣本的要求;更重要的是,CFD收斂提前終止的方法不需要生成低精度網(wǎng)格,低精度樣本和高精度樣本都采用同一套細(xì)網(wǎng)格,在降低工作量的同時(shí)提高了優(yōu)化過(guò)程的魯棒性。

2.2 優(yōu)化方法框架

本文提出的基于CFD收斂提前終止和變復(fù)雜度模型的兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化方法的流程如圖3所示,具體介紹如下:

圖3 優(yōu)化框架流程圖

第一步 對(duì)優(yōu)化問(wèn)題建模,包括目標(biāo)函數(shù),設(shè)計(jì)變量和約束條件。

第二步 通過(guò)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[21]生成少量用于構(gòu)建差異響應(yīng)代理模型的樣本點(diǎn)。

第三步 在樣本點(diǎn)處進(jìn)行CFD模擬,獲得相應(yīng)的高、低精度響應(yīng)值。

第四步 在這些樣本點(diǎn)處計(jì)算高、低精度響應(yīng)值的差異,利用Kriging建模方法,構(gòu)造差異響應(yīng)代理模型

C(xi)=F(xi)-fl(xi)

(15)

F(xi)為樣本點(diǎn)xi處高精度響應(yīng)值,fl(xi)為相同樣本點(diǎn)處的低精度響應(yīng)值。

第五步 將差異響應(yīng)代理模型疊加在低精度樣本點(diǎn)上,即可建立變復(fù)雜度模型,從而獲得樣本點(diǎn)處變復(fù)雜度模型的響應(yīng)值。隨機(jī)選取測(cè)試點(diǎn),對(duì)比測(cè)試點(diǎn)處的高精度響應(yīng)值與變復(fù)雜度響應(yīng)值的差異,以驗(yàn)證變復(fù)雜度模型精度是否滿足要求。若其精度足夠,則繼續(xù)第六步;若其精度不滿足要求,則在代理模型誤差最大處添加樣本點(diǎn),并返回第三步。

第六步 基于建立的變復(fù)雜度模型進(jìn)行第一級(jí)優(yōu)化。采用多島遺傳算法直接基于變復(fù)雜度模型進(jìn)行全局優(yōu)化,獲得最優(yōu)解。

第七步 以第一級(jí)全局優(yōu)化得到的最優(yōu)解為初值,進(jìn)行第二級(jí)局部?jī)?yōu)化。采用Hooke-Jeeves算法直接基于高精度CFD分析進(jìn)行局部?jī)?yōu)化,從而獲得更精確的最優(yōu)解。

3 小型無(wú)人飛行器翼型優(yōu)化

3.1 優(yōu)化問(wèn)題建模

類(lèi)別形狀函數(shù)變換方法(class and shape transformation,CST)[22]是一種有效的幾何外形參數(shù)表達(dá)方法,可以用較少的設(shè)計(jì)變量描述復(fù)雜外形[23],常應(yīng)用于飛行器翼型和外形的設(shè)計(jì)。CST方法通過(guò)類(lèi)型函數(shù)和形狀函數(shù)來(lái)構(gòu)建二維或三維的外形。根據(jù)文獻(xiàn),5階伯恩斯坦多項(xiàng)式即可將原翼型擬合得十分精確,故本文采用5階伯恩斯坦多項(xiàng)式描述RAE2822翼型的幾何外形。因此,氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量一共12個(gè),分別為描述上下翼面幾何外形的12個(gè)伯恩斯坦多項(xiàng)式系數(shù)增量。

由于高亞聲速狀態(tài)下飛行器周?chē)牧鲌?chǎng)變化更為復(fù)雜,對(duì)飛行器的飛行性能要求更高,故應(yīng)重點(diǎn)考慮高亞聲速下的翼型氣動(dòng)特性。參考多型高亞聲速無(wú)人飛行器的飛行狀態(tài),本優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)狀態(tài)確定如下:Ma=0.75,H=7 500 m,α=1°。優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為:

(16)

式中:s(x),Cl(x)分別為翼型面積和升力系數(shù);S0(x)為優(yōu)化前的翼型面積,其值為0.078,Cl0(t)為優(yōu)化前的升力系數(shù),其值為0.51。對(duì)于該翼型優(yōu)化問(wèn)題,由于飛行狀態(tài)為跨聲速,翼型表面會(huì)存在局部激波,故在該飛行工況下優(yōu)化方向以降低激波阻力為主。而翼型面積大小主要影響摩擦阻力,故該優(yōu)化問(wèn)題將翼型面積作為約束條件,以體現(xiàn)該優(yōu)化方法對(duì)減小激波阻力起到的效果。優(yōu)化后的翼型面積不應(yīng)小于初始翼型面積,優(yōu)化后的升力系數(shù)不應(yīng)小于初始升力系數(shù)。伯恩斯坦多項(xiàng)式系數(shù)增量變化范圍應(yīng)在-0.02和0.02之間。

小型無(wú)人飛行器初始翼型的氣動(dòng)網(wǎng)格采用前面分析過(guò)的細(xì)網(wǎng)格A1。CFD數(shù)值求解過(guò)程中采用有限體積法求解N-S方程,湍流模型為SSTk-ω兩方程模型,空間離散采用二階迎風(fēng)格式,遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件為壓力遠(yuǎn)場(chǎng),物面邊界條件為無(wú)滑移壁面。

在構(gòu)建初始VFM時(shí),采用拉丁超立方取樣方法生成35個(gè)樣本點(diǎn)。為了證明低精度樣本數(shù)據(jù)的有效性,對(duì)35個(gè)樣本的高、低精度響應(yīng)分布進(jìn)行了對(duì)比,如圖4所示?？梢园l(fā)現(xiàn),低精度響應(yīng)值與高精度響應(yīng)值的相對(duì)誤差不大,且變化趨勢(shì)基本相同,升力系數(shù)Cl的平均誤差約為13.69%,阻力系數(shù)Cd的平均誤差約為5.04%,說(shuō)明殘差收斂到1×10-3時(shí),低精度樣本與高精度樣本的相對(duì)誤差保持在20%以內(nèi)。此時(shí)的誤差可以滿足低精度數(shù)據(jù)的要求,即高、低精度樣本可用于構(gòu)建差異響應(yīng)代理模型。

圖4 高、低精度響應(yīng)值對(duì)比

為驗(yàn)證變復(fù)雜度模型的精度,隨機(jī)選取15個(gè)試驗(yàn)點(diǎn),分別在試驗(yàn)點(diǎn)處進(jìn)行CFD模擬得到高、低精度響應(yīng)分布,通過(guò)差異響應(yīng)代理模型修正低精度響應(yīng)值,并將修正后的響應(yīng)值與高精度響應(yīng)值進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖5所示。對(duì)比圖4和圖5,變復(fù)雜度模型的精度相比低精度模型有了明顯提升,修正后的響應(yīng)值接近于高精度響應(yīng)值。修正后的升力系數(shù)Cl與高精度結(jié)果平均誤差為1.63%,修正后的阻力系數(shù)Cd與高精度結(jié)果平均誤差為2.49%。因此,所建立的變復(fù)雜度模型可以代替高精度模型,并用于氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題的求解。

圖5 變復(fù)雜度模型精度驗(yàn)證

3.2 優(yōu)化結(jié)果

首先,直接基于變復(fù)雜度模型進(jìn)行第一級(jí)優(yōu)化,優(yōu)化算法采用多島遺傳算法。相比于傳統(tǒng)遺傳算法,多島遺傳算法具有更好的全局求解能力和更高的計(jì)算效率。根據(jù)設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)和優(yōu)化問(wèn)題復(fù)雜度,多島遺傳算法的控制參數(shù)設(shè)置如下:島數(shù)為5,子種群規(guī)模np=20,進(jìn)化代數(shù)g=20,交叉概率pc=0.8,變異概率pm=0.01,島間遷移率pt=0.1。

第一級(jí)全局優(yōu)化收斂歷程如圖6所示,其中圖6a)為目標(biāo)函數(shù)阻力系數(shù)Cd的收斂歷程,圖6b)～6c)分別為2個(gè)約束條件升力系數(shù)Cl和翼型面積S的收斂歷程。圖6表明,目標(biāo)函數(shù)Cd在收斂過(guò)程中有了明顯降低,約束條件隨著迭代進(jìn)行在約束邊界附近波動(dòng),故第一級(jí)全局優(yōu)化效果比較明顯。

用高精度CFD模型計(jì)算最優(yōu)外形的氣動(dòng)性能,并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值。表4對(duì)全局優(yōu)化得到的最優(yōu)解與CFD計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

圖6 第一級(jí)全局優(yōu)化迭代歷程

由表4可以看出,變復(fù)雜度模型精度較好,優(yōu)化結(jié)果與真實(shí)結(jié)果相差很小。其中,優(yōu)化得到的阻力系數(shù)Cd與CFD計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差為1.82%,升力系數(shù)Cl與CFD計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差僅為1.46%。上述表明,第一級(jí)基于變復(fù)雜度模型的最優(yōu)解與高精度結(jié)果相對(duì)誤差在2%以內(nèi),變復(fù)雜度模型具備較好的精度。

對(duì)比RAE2822翼型,阻力系數(shù)Cd經(jīng)第一級(jí)全局優(yōu)化有了顯著改善,降低了約13.3 counts;由約束條件分析,升力系數(shù)Cl變化較小,依然滿足約束條件,翼型面積S也與基準(zhǔn)翼型相同,均為0.078,滿足約束條件。

表4 基于變復(fù)雜度模型優(yōu)化結(jié)果與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的CFD分析結(jié)果對(duì)比

為了提高最優(yōu)解的質(zhì)量,以第一級(jí)優(yōu)化得到的最優(yōu)解為初值,采用Hooke-Jeeves算法直接基于高精度模型進(jìn)行局部搜索。Hooke-Jeeves算法的原理是從基點(diǎn)出發(fā),通過(guò)軸向移動(dòng)依次沿著不同坐標(biāo)軸搜索函數(shù)值更小的點(diǎn),作為新的基點(diǎn),之后沿著相鄰兩個(gè)基點(diǎn)的連線方向繼續(xù)進(jìn)行模式搜索,試圖使函數(shù)值更快地減小。該方法程序簡(jiǎn)單,無(wú)需計(jì)算梯度,適應(yīng)性較強(qiáng),且局部搜索收斂快、效果好,適用于該優(yōu)化問(wèn)題。第二級(jí)局部?jī)?yōu)化迭代歷程如圖7所示,根據(jù)該算法的原理,選擇目標(biāo)函數(shù)在連續(xù)25個(gè)迭代步均無(wú)法進(jìn)一步改善作為優(yōu)化終止判斷標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)無(wú)法進(jìn)一步改善時(shí),即認(rèn)為優(yōu)化已達(dá)到局部最優(yōu),故可取優(yōu)化過(guò)程中的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值作為該優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)解。

圖7 第二級(jí)局部?jī)?yōu)化迭代歷程

圖8 優(yōu)化前后翼型對(duì)比

圖9 優(yōu)化前后壓力分布對(duì)比

第二級(jí)局部?jī)?yōu)化共調(diào)用50次高精度模型,計(jì)算耗時(shí)約為10 h?？梢钥闯?相比第一輪優(yōu)化的結(jié)果,目標(biāo)函數(shù)Cd在第一輪優(yōu)化的基礎(chǔ)上繼續(xù)降低了2 counts,這說(shuō)明第二輪優(yōu)化可以進(jìn)一步提升優(yōu)化結(jié)果的精度,體現(xiàn)了兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化的有效性。約束條件Cl相比第一輪優(yōu)化結(jié)果也僅有微小變化,仍然滿足約束要求。小型無(wú)人飛行器的初始RAE2822翼型與優(yōu)化后翼型的氣動(dòng)性能對(duì)比情況如表5所示。

表5 初始翼型與最優(yōu)翼型氣動(dòng)性能對(duì)比

小型無(wú)人飛行器的初始翼型與優(yōu)化后翼型的外形和壓力分布對(duì)比如圖8和9所示。由圖8外形對(duì)比可以看出,翼型中前段彎度變小使壓力峰值前移,壓力恢復(fù)變緩,激波變?nèi)?。由圖9壓強(qiáng)分布對(duì)比可以看出,翼型下表面的壓強(qiáng)分布在優(yōu)化前后變化不大,主要差異在于翼型上表面。初始翼型在上表面前部壓強(qiáng)緩慢減小,在中部達(dá)到峰值后壓強(qiáng)激增,從而產(chǎn)生強(qiáng)激波,而優(yōu)化后由于壓強(qiáng)峰值前移,整個(gè)上表面壓強(qiáng)始終在緩慢增加,因此避免了壓強(qiáng)的激增,激波大大減弱。

圖10a)至10b)分別為小型無(wú)人飛行器的初始翼型和優(yōu)化后翼型的流場(chǎng)壓強(qiáng)云圖?？梢钥闯?初始RAE2822翼型在上表面中部存在非常明顯的強(qiáng)激波,而優(yōu)化后消除了強(qiáng)激波,顯著地減小了激波阻力。

圖10 優(yōu)化前后壓強(qiáng)云圖對(duì)比

采用本文基于CFD收斂提前終止和變復(fù)雜度模型的兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化方法對(duì)飛行器翼型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)后,目標(biāo)函數(shù)Cd總共降低了15.1 counts,且Cl和S均滿足約束條件,因此提出的氣動(dòng)優(yōu)化方法效果良好,可以獲得理想的最優(yōu)解。

3.3 與基于單一精度代理模型的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

為了評(píng)估本文提出的兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化方法的性能,采用基于單一精度Kriging代理模型的EGO方法對(duì)該翼型優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了求解,并將優(yōu)化結(jié)果與3.2節(jié)中結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。其中,CFD計(jì)算從網(wǎng)格到流場(chǎng)求解器均與3.1節(jié)中設(shè)置相同。文獻(xiàn)[24]指出,為了使初始代理模型精度足夠,通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得的初始樣本點(diǎn)數(shù)應(yīng)該大于m(m+1)/2,m為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù),故將構(gòu)建VFM用到的34個(gè)樣本點(diǎn)和額外生成的44個(gè)樣本點(diǎn)共同作為初始樣本點(diǎn),用CFD完全收斂的高精度模型求解相應(yīng)的響應(yīng)值來(lái)構(gòu)建初始Kriging代理模型。此后,采用EGO方法對(duì)該翼型優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。最終,采用EGO方法獲得的最優(yōu)Cd為0.008 56,相比基準(zhǔn)狀態(tài)降低了15.7 counts,而本文提出方法獲得的最優(yōu)Cd為0.008 62,2種方法的優(yōu)化結(jié)果差異不到0.7%,故2種方法獲得的最優(yōu)解很接近。EGO方法的整個(gè)優(yōu)化過(guò)程耗時(shí)約為84 h,而本文提出方法的總耗時(shí)約為50 h,故本文方法的優(yōu)化耗時(shí)更低。優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表6所示。

表6 2種方法結(jié)果對(duì)比

由此可知,本文提出方法獲得的優(yōu)化結(jié)果精度與EGO方法相近,但本文提出方法的耗時(shí)更少,相比EGO方法具有更高的優(yōu)化效率。由圖11優(yōu)化后翼型的外形對(duì)比也可以看出,2種方法獲得的最優(yōu)翼型比較相似。

圖11 初始翼型與最優(yōu)解對(duì)比

4 結(jié) 論

1) 為提高小型無(wú)人飛行器的氣動(dòng)特性,針對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有強(qiáng)非線性、多極值的特點(diǎn),為進(jìn)一步提高優(yōu)化效率,本文提出了一種基于CFD收斂提前終止和變復(fù)雜度模型的兩級(jí)氣動(dòng)優(yōu)化方法。

2) 變復(fù)雜度模型所需要的低精度樣本響應(yīng)值通過(guò)CFD收斂提前終止的方法獲得,該方法求解精度大于工程和半工程方法;計(jì)算耗時(shí)和穩(wěn)定性均優(yōu)于粗糙網(wǎng)格方法,更適合用于獲得低精度樣本響應(yīng)值。

3) 采用本文氣動(dòng)優(yōu)化方法對(duì)小型無(wú)人飛行器的翼型進(jìn)行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。相比于基準(zhǔn)翼型,最優(yōu)翼型的阻力系數(shù)下降了15.1 counts,且約束條件均滿足要求。與基于單一精度Kriging代理模型的EGO方法對(duì)比后,表明本文提出的方法在優(yōu)化效率上更具優(yōu)勢(shì)。