華羅庚

一、楊輝三角的基本性質

我們先來探討一下楊輝三角中各個數(shù)字排列的規(guī)則.一般地，楊輝三角中各個數(shù)字呈如下的形式排列.

要證明這個定理并不難，我們可以采用一個在各門數(shù)學中都被廣泛地應用到的方法——數(shù)學歸納法.數(shù)學歸納法的用途是它可以推斷出某些在一系列的特殊情形下已經成立了的數(shù)學命題，在一般的情形是不是也正確.它的原理是這樣的：假如有一個數(shù)學命題，符合下面兩個條件：（1）這個命題對n=1是正確的；（2）如果這個命題對任一正整數(shù)n=k-1成立，就可以推出它對于n=k也正確.那么這個命題對于所有的正整數(shù)n都成立.

事實上，如果不是這樣，就是說這個命題并非對于所有的正整數(shù)n都是成立，那么我們一定可以找到一個最小的使命題不成立的正整數(shù)m.顯然m大于1，因為這個命題對n=1是正確的（條件（1））.因此m-1也是一個正整數(shù).但m是使命題不正確的最小的正整數(shù)，所以命題對任意n=m-1一定成立.這樣就得出，對任意正整數(shù)m-1命題是成立的，而對任意正整數(shù)m命題不成立.這和數(shù)學歸納法中的條件（2）相沖突.

數(shù)學歸納法是數(shù)學中一個非常有用的方法.現(xiàn)在我們就用數(shù)學歸納法來證明二項式定理.