郝順利

菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性和教育觀點(diǎn)分析

郝順利

（北京第二外國語學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，北京 100024）

菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主是數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的杰出代表．對16位菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性和教育觀點(diǎn)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)他們的科研共性包括：具有較高的人文素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng)；有堅(jiān)定的意志、堅(jiān)韌的毅力、足夠的耐心等；科研方法科學(xué)高效；他們的論文（著）是思想和論述的完美結(jié)合．他們的教育觀點(diǎn)主要有激發(fā)興趣、人格教育和學(xué)術(shù)影響、學(xué)數(shù)學(xué)家、以教促研和專業(yè)不要分得過早過細(xì)等．可以通過培養(yǎng)興趣和能力、引導(dǎo)學(xué)習(xí)和科研、指導(dǎo)論文、教研相長和專業(yè)及課程5個(gè)方面的途徑來培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才．

科研共性；教育觀點(diǎn)；菲爾茲獎(jiǎng)；沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才

菲爾茲獎(jiǎng)（Fields Medal）是據(jù)加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲（John Charles Fields）提議設(shè)立的，于1936年首次頒發(fā)．菲爾茲獎(jiǎng)是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（International Mathematical Union）主持評定，并在4年一次的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（International Congress of Mathematicians）上隆重頒發(fā)的國際性數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，每次頒給2～4名有卓越貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家．菲爾茲獎(jiǎng)評委由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟執(zhí)委會(huì)挑選，一般由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席擔(dān)任評委會(huì)主席．獲獎(jiǎng)?wù)吣艽頂?shù)學(xué)某個(gè)領(lǐng)域，在獲獎(jiǎng)年元旦未滿40歲【懷爾斯（Andrew Wiles）在45歲時(shí)獲菲爾茲特別貢獻(xiàn)獎(jiǎng)，是迄今為止唯一在40歲以上榮獲此獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家】，每人將得到1.5萬加元的獎(jiǎng)金和金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)乱幻叮刂?020年，共有2位華裔數(shù)學(xué)家獲得過菲爾茲獎(jiǎng)，分別是1982年獲獎(jiǎng)的丘成桐和2006年獲獎(jiǎng)的陶哲軒．沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（Wolf Prize in Mathematics）是沃爾夫獎(jiǎng)（Wolf Prize）的一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)．1976年1月1日，沃爾夫（Ricardo Wolf）及其家族捐獻(xiàn)1?000萬美元成立沃爾夫基金會(huì)（The Wolf Foundation），其宗旨是促進(jìn)全世界科學(xué)、藝術(shù)的發(fā)展．基金會(huì)的理事會(huì)主席由以色列政府官員擔(dān)任，評獎(jiǎng)委員會(huì)由世界著名科學(xué)家組成．沃爾夫基金會(huì)設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)5個(gè)獎(jiǎng)（1981年又增設(shè)藝術(shù)獎(jiǎng)），1978年開始頒發(fā)，頒給那些為人類利益以及各民族間的友好關(guān)系做出貢獻(xiàn)的杰出科學(xué)家和藝術(shù)家，而不考慮他們的國籍、種族、膚色、宗教信仰、性別和政治立場．通常每年頒發(fā)一次，每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的獎(jiǎng)金為10萬美元，可以由幾人分得．截止2020年，獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的華人數(shù)學(xué)家也有2位，分別是1984年獲獎(jiǎng)的陳省身和2010年獲獎(jiǎng)的丘成桐．

菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)被共同譽(yù)為數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)，也都被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)（Nobel Prize）”．菲爾茲獎(jiǎng)表彰40歲以下數(shù)學(xué)家的突出成就，而沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)家的終身貢獻(xiàn)獎(jiǎng)，因此菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主無疑是數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的杰出代表．截止到2020年，共有16位菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主．?dāng)?shù)學(xué)家阿貝爾（Niels Henrik Abel）認(rèn)為：一個(gè)人如果要在數(shù)學(xué)上有所進(jìn)步，就必須向大師學(xué)習(xí)．認(rèn)真分析這些數(shù)學(xué)大師的科研共性和教育觀點(diǎn)，可以方便數(shù)學(xué)愛好者向他們學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)．

到目前為止，研究者仍然沒有查到專門針對所有菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性和教育觀點(diǎn)進(jìn)行研究的文獻(xiàn)，更沒有發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)在此基礎(chǔ)上研究培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的有效途徑．實(shí)踐中，從1949年至今，中國還沒有出現(xiàn)菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主．2017年，黨的十九大報(bào)告提出：“建設(shè)教育強(qiáng)國是中華民族偉大復(fù)興的基礎(chǔ)工程，必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置，加快教育現(xiàn)代化，辦好人民滿意的教育．加快一流大學(xué)和一流學(xué)科建設(shè)，實(shí)現(xiàn)高等教育內(nèi)涵式發(fā)展．”培養(yǎng)基礎(chǔ)學(xué)科拔尖創(chuàng)新人才是高等教育強(qiáng)國建設(shè)的重大戰(zhàn)略使命．2019年4月29日，教育部啟動(dòng)實(shí)施“六卓越一拔尖”計(jì)劃2.0，面向所有高校、所有專業(yè)，全面實(shí)施一流專業(yè)建設(shè)“雙萬計(jì)劃”、一流課程建設(shè)“雙萬計(jì)劃”、建設(shè)基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)一流基地．以此為契機(jī)，研究者首先分析16位菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性和教育觀點(diǎn)，然后在此基礎(chǔ)上研究培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的有效途徑．

1 菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性

經(jīng)認(rèn)真分析，對16位菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主從以下4個(gè)方面研究其科研共性．

1.1 高水平數(shù)學(xué)家的必要條件有人文素養(yǎng)和科學(xué)素質(zhì)

他們都有深厚的愛國之情，濃厚的興趣、豐富的想象力、敏銳的洞察力、很好的數(shù)覺、很強(qiáng)的理解力、很高的審美力、勤奮的工作態(tài)度和堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．

他們都具有深厚的愛國熱情，以阿爾福斯（Lars Valerian Ahlfors）、塞爾伯格（Atle Selberg）和丘成桐為例．1978年，在芬蘭首都赫爾辛基召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，當(dāng)阿爾福斯聽到雄壯而親切的“芬蘭頌”時(shí)，非常激動(dòng)[1]．塞爾伯格常常滿懷深情地談?wù)撟鎳餐淖匀伙L(fēng)光、語言、文學(xué)作品等．盡管已在美國度過了六十多年，但他的心從來沒有離開挪威，多次回去作學(xué)術(shù)報(bào)告．丘成桐極為關(guān)心中國數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，在他的言談、文章和行動(dòng)中經(jīng)常體現(xiàn)出愛國之情．1995年5月，他在中國數(shù)學(xué)會(huì)60周年年會(huì)開幕式上接受中國科學(xué)院頒發(fā)給他外籍院士證書時(shí)說：“……我也期望自己能夠多多幫忙，促進(jìn)國內(nèi)數(shù)學(xué)的發(fā)展，因?yàn)闊o論在什么情形下，我還是把自己看作是中國籍人士；同時(shí)，雖然我是一個(gè)美籍人士，但數(shù)學(xué)是無國籍界限的．”[2]2004年3月，他又在“科技獎(jiǎng)勵(lì)國際論壇”上說：“中國文化博大精深，對我有很大的影響，我引以自傲的是，祖國有源遠(yuǎn)流長，迄今猶自欣欣向榮的文明．我雖然畢生研究基礎(chǔ)科學(xué)，但亦以推廣普及科學(xué)為己任，對與祖國有關(guān)的工作，尤其珍惜．”[3]數(shù)學(xué)沒有國界，但數(shù)學(xué)家有祖國．每個(gè)人必須把自己的事業(yè)同祖國的前途命運(yùn)聯(lián)系在一起，才有更大的動(dòng)力，才有可能取得更大的成功．

他們對數(shù)學(xué)都有濃厚的興趣，以小平邦彥（Kunihiko Kodaira）、塞爾伯格、德里費(fèi)爾德（Vladimir Gersho- novich Drinfeld）、塞爾（Jean-Pierre Serre）、費(fèi)弗曼（Charles Louis Fefferman）、懷爾斯和諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov）為例．在中學(xué)學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，小平邦彥著迷于通過作輔助線來證明問題，老師稱贊他是“輔助線的愛好者”．在大學(xué)三年級時(shí)，他醉心于拓?fù)鋵W(xué)，寫出了這方面的論文．塞爾伯格的父親有博士學(xué)位，是高級中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，他的兩個(gè)哥哥都是數(shù)學(xué)教授，在家庭環(huán)境的感染和熏陶下，他自幼就喜歡數(shù)學(xué)．德里費(fèi)爾德的父親是數(shù)學(xué)教授，從小就教他許多數(shù)學(xué)知識，并使他對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣[4]．塞爾從七八歲起就喜歡數(shù)學(xué)．費(fèi)弗曼最想做的事情是像所有數(shù)學(xué)家那樣去證明定理．懷爾斯于2005年8月底游覽故宮、天安門、天壇和北海后說：“我不愿意當(dāng)皇帝，我寧肯做個(gè)數(shù)學(xué)家．”他還應(yīng)邀為《中國青年報(bào)》的讀者贈(zèng)言：“我認(rèn)為中國的年輕人工作非常努力，希望他們勇于追求自己摯愛的東西，因?yàn)閷κ聵I(yè)的投入和熱愛將使他們在前進(jìn)途中所向披靡．”諾維科夫有著廣泛活躍的研究興趣．興趣是最好的老師，在一個(gè)人的學(xué)習(xí)和科研中發(fā)揮著不可替代的作用．

他們都有豐富的想象力和敏銳的洞察力，以塞爾伯格和德利涅（Pierre Deligne）為例．塞爾伯格認(rèn)為：一個(gè)罕見的高水平的數(shù)學(xué)家的特征是有想象力，足智多謀，對各種關(guān)系和模式的敏感，百折不撓，有耐心，有充沛的精力，有點(diǎn)運(yùn)氣[5]．芒福德（David Bryant Mumford）和蒂茨（Jacques Tits）評價(jià)道：“德利涅有淵博的知識、大膽的想象力、強(qiáng)有力的技巧，以及無往不勝的洞察關(guān)鍵思想的本能．”[6]想象力和洞察力在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有重要的作用．

他們都有很好的數(shù)覺（數(shù)學(xué)直覺的簡稱），僅以小平邦彥為例．小平邦彥認(rèn)為，要理解數(shù)學(xué)，不靠數(shù)覺便一事無成．沒有數(shù)覺的人不懂?dāng)?shù)學(xué)，就像五音不全的人不懂音樂一樣[7]．?dāng)?shù)覺可以幫助人們理解數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題．

他們對數(shù)學(xué)都有很強(qiáng)的理解力，以斯梅爾（Stephen Smale）和小平邦彥為例．斯梅爾認(rèn)為，對數(shù)學(xué)的理解不是來自于讀甚或聽，而是來自對于所看到或聽到的知識進(jìn)行再思考，只有按照自己的術(shù)語重新組織了數(shù)學(xué)時(shí)，才感覺理解了它，否則決不認(rèn)為理解了數(shù)學(xué)[8]．小平邦彥也認(rèn)為，數(shù)學(xué)的證明不只是論證，還有思考實(shí)驗(yàn)的意思．所謂理解證明，也不是確認(rèn)論證中沒有錯(cuò)誤，而是自己嘗試重新修改思考實(shí)驗(yàn)[7]．?dāng)?shù)學(xué)理解力對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的人都至關(guān)重要．

他們對數(shù)學(xué)都有很高的審美力，僅以塞爾伯格為例．塞爾伯格認(rèn)為，在數(shù)學(xué)中，美學(xué)的考慮，漂亮、簡潔、別致等是與其真理性一樣重要的[9]．?dāng)?shù)學(xué)審美力決定著一個(gè)人的數(shù)學(xué)品味，也影響著一個(gè)人對數(shù)學(xué)的興趣．

他們都有勤奮的工作態(tài)度，僅以湯普森（John Griggs Thompson）為例．湯普森非常勤奮刻苦，他的工作習(xí)慣是每天至少工作10小時(shí)．勤奮的工作態(tài)度是工作取得成功所必需的和最重要的．實(shí)際上，一個(gè)取得成功的人往往是個(gè)勤奮的人．

他們都有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以阿爾福斯、諾維科夫和芒福德為例．阿爾福斯在赫爾辛基大學(xué)學(xué)習(xí)期間，受到芬蘭現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基者林德勒夫（Ernst Leonard Lindel?f）和奈旺林納（Rolf Herman Nevanlinna）的教導(dǎo)，閱讀了許多名著，打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．諾維科夫也有深厚的數(shù)學(xué)功底．芒福德以其睿智和數(shù)學(xué)功底在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域做出了原創(chuàng)性和奠基性的貢獻(xiàn)．萬丈高樓平地起，堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對于在數(shù)學(xué)方面和數(shù)學(xué)應(yīng)用方面取得成功尤為重要．

1.2 高水平數(shù)學(xué)家的個(gè)性特征

他們都有堅(jiān)定的意志，堅(jiān)韌的毅力，足夠的耐心等個(gè)性特征．下面以懷爾斯、諾維科夫和費(fèi)弗曼為例．懷爾斯證明費(fèi)馬猜想用了將近7年，諾維科夫?yàn)榱藢?dāng)代幾何與拓?fù)鋵W(xué)轉(zhuǎn)化為理論物理學(xué)家們能夠接受的形式，花了至少5年來專門學(xué)習(xí)物理學(xué)．費(fèi)弗曼思索有些（數(shù)學(xué)）問題會(huì)用幾年或幾十年，他花了很多年研究關(guān)于原子的數(shù)學(xué)問題，最終將這個(gè)問題歸結(jié)為對系統(tǒng)能量的估計(jì)[10-12]．

可見，堅(jiān)定的意志、堅(jiān)韌的毅力、足夠的耐心等個(gè)性特征是高水平數(shù)學(xué)家取得成功必不可少的特質(zhì)．世上沒有一項(xiàng)偉大成果的取得是輕而易舉的，都必須克服許多困難，付出很多努力．只有具備堅(jiān)定的意志、堅(jiān)韌的毅力、足夠的耐心等個(gè)性特征，才可能成為拔尖創(chuàng)新人才．

1.3 高水平數(shù)學(xué)家的科研方法

他們?nèi)媪私鈹?shù)學(xué)的主要領(lǐng)域，研究領(lǐng)域廣而深，注重各數(shù)學(xué)分支之間以及數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系，利用不同方向甚至不同領(lǐng)域的工具集中解決難題，重視數(shù)學(xué)成果在其它學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，預(yù)測數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢，選擇有意義的研究問題，先整理、總結(jié)一個(gè)新分支的已知結(jié)果，再向它進(jìn)軍，提出猜想和問題，向大科學(xué)家學(xué)習(xí)并跟他們交流與合作等．下面依次舉例說明．

小平邦彥認(rèn)為，要研究數(shù)學(xué)，首先必須全面地、大概地了解數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域[7]．德利涅的研究領(lǐng)域非常廣泛和深入．德里費(fèi)爾德的導(dǎo)師馬寧（Yuri Manin）說：“我希望我已讓你們對德里費(fèi)爾德工作的廣度、概念的豐度、技巧的力度以及工作的優(yōu)美有所了解……”[13]

德利涅認(rèn)為，數(shù)學(xué)雖然有很多分支，不同分支對問題的處理方式可能不同，但本質(zhì)上是一樣的，而且各數(shù)學(xué)分支之間有著必然的聯(lián)系．費(fèi)弗曼把實(shí)分析與復(fù)分析方法進(jìn)行和諧融合．德里費(fèi)爾德認(rèn)為，按純粹數(shù)學(xué)發(fā)展過來的與按數(shù)學(xué)物理發(fā)展過來的知識，兩者之間有很深的關(guān)系[4]．丘成桐是一位具有分析學(xué)家氣質(zhì)的幾何學(xué)家，具有高超的分析技巧，用一種根本性的全新方法將偏微分方程、幾何和數(shù)學(xué)物理結(jié)合起來，塑造了幾何分析領(lǐng)域．馬爾古利斯（Grigory Margulis）善于利用不同數(shù)學(xué)分支甚至不同領(lǐng)域的工具來集中解決一個(gè)艱深難題．沃爾夫基金會(huì)公告稱：“馬爾古利斯的工作以其特別的深度、強(qiáng)有力的技巧、數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域中思想、方法的創(chuàng)造性集成以及其最終形式結(jié)構(gòu)上的完全協(xié)調(diào)為其特點(diǎn)．雖然他專注于研究那些深刻的未解決的問題……”[14]米爾諾（John Willard Milnor）善于利用拓?fù)鋵W(xué)等的方法和結(jié)果解決其它領(lǐng)域的問題，他曾利用拓?fù)鋵W(xué)的結(jié)果解決代數(shù)和幾何學(xué)中的經(jīng)典問題，證明實(shí)數(shù)域上的可除代數(shù)只有實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)體和凱萊代數(shù)等．

諾維科夫注重抽象的數(shù)學(xué)成果在其它學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用，也從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究．

阿爾福斯的研究方法是從過去看未來[15]．因?yàn)槿藗兊臄?shù)學(xué)思想不會(huì)發(fā)生突變，數(shù)學(xué)也會(huì)像過去一樣繼續(xù)發(fā)展．丘成桐認(rèn)為，非線性現(xiàn)象是21世紀(jì)的研究對象，對計(jì)算機(jī)算法的認(rèn)識將會(huì)導(dǎo)致深刻數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的趨勢[16-18]．懷爾斯選擇證明大難題費(fèi)馬猜想，在試圖證明費(fèi)馬猜想的不斷努力中，近代數(shù)論的許多內(nèi)容被創(chuàng)建．他的證明被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的成就之一．

米爾諾總是先整理、總結(jié)一個(gè)新分支的已知結(jié)果，有時(shí)還寫成系統(tǒng)的講義作為入門，然后再向它進(jìn)軍．

丘成桐說：“……許多猜想的提出是試圖知道正確的方向是什么樣的……我們不能只解決別人提出的問題．我們必須創(chuàng)設(shè)我們自己的問題．只有這樣，我們才能發(fā)展出一般理論……”[19]塞爾認(rèn)為論文應(yīng)該含有更多的注記、未解決的問題等，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣[20]．

丘成桐深信與偉大科學(xué)家相識相知是年輕才俊躋身一流的重要保證．他只要有機(jī)會(huì)，總是盡可能去聽第一流科學(xué)家的演講[21]．質(zhì)樸的湯普森為人謙遜，樂于并善于與人合作，數(shù)學(xué)家們都愿意跟他交往．芒福德和蒂茨這樣評價(jià)德利涅：“……他為人自信而謙遜，有能力并愿意和任何人討論任何數(shù)學(xué)問題．在討論中，他的提問與意見總是使人獲益匪淺．他喜歡與別人交談，認(rèn)為交談是獲取知識的重要途徑．他的成果中，有不少都是與他人合作研究完成的．”[6]芒福德指出恢復(fù)純粹數(shù)學(xué)家與應(yīng)用數(shù)學(xué)家之間的思想交流是一個(gè)非常重要的問題[22]．

科學(xué)高效的科研方法在科研中有事半功倍的效果．要成為拔尖創(chuàng)新人才，必須掌握并運(yùn)用科學(xué)高效的科研方法．

1.4 高水平數(shù)學(xué)家的論文（著）的特點(diǎn)

他們的論文（著）的特點(diǎn)都有獨(dú)創(chuàng)、深刻的思想和精美、簡明、清晰、富于啟發(fā)性的論述，下面以塞爾、塞爾伯格、德利涅和米爾諾為例．塞爾的論著是思想的獨(dú)創(chuàng)性和論述的清晰性的完美結(jié)合．他的論文極富啟發(fā)性和刺激力，反映出他深邃的洞察力．深刻、精美以及方法的簡練是塞爾伯格的風(fēng)格和標(biāo)志．他追求數(shù)學(xué)論證的簡捷、明快和富于啟發(fā)性[23]．德利涅指出，數(shù)學(xué)有非常簡單的特點(diǎn)，好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是用簡單的語言就能夠表述的問題．芒福德和蒂茨這樣認(rèn)為：德利涅的論著中很少有多余的字句，幾乎每句話都是必要的，想法簡單而清楚[6]．米爾諾的著作寫得簡明、清晰，是精確性和非形式化相結(jié)合的典范，讀起來是一種享受．

獨(dú)創(chuàng)、深刻的思想是論文（著）的靈魂，精美、簡明、清晰、富于啟發(fā)性的論述有利于內(nèi)容的準(zhǔn)確表達(dá)和廣泛傳播．

2 菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的教育觀點(diǎn)

經(jīng)仔細(xì)分析，對16位菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主將從以下5點(diǎn)研究其教育觀點(diǎn)．

2.1 激發(fā)學(xué)生的興趣 幫助堅(jiān)持搞數(shù)學(xué)的學(xué)生

他們都認(rèn)為應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的興趣，幫助堅(jiān)持搞數(shù)學(xué)的學(xué)生．例如，塞爾伯格認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容應(yīng)該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人振奮的內(nèi)容，也認(rèn)為公共圖書館應(yīng)藏有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)書籍，以便幫助那些希望在學(xué)校課程之外找到什么新東西的人，使他們產(chǎn)生興趣[9]．費(fèi)弗曼教書非常認(rèn)真，能把非常復(fù)雜的思想用非常簡單的語言表述出來．塞爾講課富有啟發(fā)性而且極其清楚明白[24]．他認(rèn)為，如果人們堅(jiān)持要搞數(shù)學(xué)，就應(yīng)該實(shí)實(shí)在在地鼓勵(lì)并幫助他們[20]．

興趣是推動(dòng)人們求知的一種內(nèi)在力量．激發(fā)學(xué)生的興趣對于他們將來走上科研之路很重要，幫助堅(jiān)持搞數(shù)學(xué)的學(xué)生可以讓喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生脫穎而出，成為數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才．

2.2 加強(qiáng)對學(xué)生的人格教育和學(xué)術(shù)影響

他們都認(rèn)為應(yīng)該通過通識教育和言傳身教，加強(qiáng)對學(xué)生的人格教育和學(xué)術(shù)影響．例如，丘成桐在北師大附中發(fā)表的一次演講中談到：“美國的中學(xué)注重通才教育，數(shù)學(xué)以外的學(xué)科，例如文學(xué)、物理學(xué)、哲學(xué)，都會(huì)刺激學(xué)生的思考能力，值得鼓勵(lì)．”他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋梁．他說：“不少偉大的數(shù)學(xué)家，以文學(xué)、音樂來培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)學(xué)的本源，來達(dá)到高超的意境．”[25]湯普森每天至少工作10小時(shí)，非常勤奮刻苦，這一點(diǎn)深深地影響著他的學(xué)生．丘成桐說過，人格教育和專業(yè)教育必須并重，才能夠成就一個(gè)偉大的民族[3]．美國華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授克蘭茨（Steven George Krantz）曾評論道：“對他的學(xué)生及世界各處向他學(xué)習(xí)的同行來說，阿爾福斯確是他們的楷模和良師．”[26]

可見，人格教育要和專業(yè)教育并重，教師要用自己的人格魅力和做學(xué)問的態(tài)度在潛移默化中影響學(xué)生．

2.3 教給學(xué)生怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和尋求重大成就的知識

他們都認(rèn)為應(yīng)該教給學(xué)生怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和怎樣尋求重大成就的知識．例如，阿爾福斯教學(xué)生很多關(guān)于怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和怎樣尋求有質(zhì)量的成就的知識[26]．塞爾認(rèn)為，對于中學(xué)生，關(guān)鍵是要讓他們明白數(shù)學(xué)是活生生的，有很多尚未解決的問題．講授數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)方法有個(gè)缺陷，就是教師從來不提這類問題[20]．丘成桐說：“大部分中國的高中已經(jīng)不再教平面幾何了．也許他們正在借鑒美國改革者的做法．然而，這會(huì)造成對理論科學(xué)有興趣的人數(shù)下降，也可能造成邏輯教學(xué)的減少．”[27]德里費(fèi)爾德認(rèn)為現(xiàn)代教育的危險(xiǎn)點(diǎn)之一就是，在對19世紀(jì)誰都知道的非常古典的事實(shí)沒有任何經(jīng)驗(yàn)的情況下，便開始學(xué)習(xí)同調(diào)代數(shù)這樣的知識[4]．芒福德堅(jiān)信數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)進(jìn)行十分嚴(yán)肅的努力，從思想上重視實(shí)際應(yīng)用[22]．他也認(rèn)為：“統(tǒng)計(jì)學(xué)是中學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)增設(shè)的一門十分重要的科目，因?yàn)橹袑W(xué)生常犯有許多數(shù)值判斷方面的錯(cuò)誤，如果在中學(xué)里引進(jìn)這門課，他們將得到更好的訓(xùn)練．”[22]米爾諾認(rèn)為，一個(gè)研究生發(fā)展出一種數(shù)學(xué)理論來改變?nèi)藗兯伎忌鐣?huì)科學(xué)的方式是最自然不過的事[28]．

怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和怎樣尋求重大成就應(yīng)該是每一位立志從事數(shù)學(xué)研究的工作者應(yīng)該熟知其答案的重要問題，對于數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才尤其如此．

2.4 適當(dāng)教學(xué)是科研不可缺少的部分

他們都認(rèn)為教學(xué)可以調(diào)節(jié)、促進(jìn)科研，適當(dāng)教學(xué)是科研不可缺少的部分．例如，費(fèi)弗曼在做研究停滯不前時(shí)，一想到他正在做一些有用的事情可以陪伴他的大一新生度過一段不那么痛苦的時(shí)光，就很知足[10]．丘成桐認(rèn)為，教學(xué)不只可以支持研究，而且在與年輕人相處的過程中往往也能迸發(fā)出新的想法[29]．他也認(rèn)為適當(dāng)教學(xué)是研究不可缺少的部分[29]．

適當(dāng)教學(xué)會(huì)對科研起到積極的推動(dòng)和促進(jìn)作用．在全身心投入的教學(xué)過程中，在激烈的討論交流中，好而新的思想往往更容易被激發(fā)．

2.5 專業(yè)不要分得過細(xì)過早

他們都認(rèn)為專業(yè)不要分得過細(xì)過早，課程不要設(shè)置得太專．例如，赫爾曼德爾（Lars Valter H?rmander）于1982年來長春參加第三屆微分幾何和微分方程國際會(huì)議，會(huì)后指出：專業(yè)不要分得過細(xì)、過早，學(xué)習(xí)偏微分方程的青年人應(yīng)該在代數(shù)、拓?fù)涞确矫嬗幸粋€(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，不然是不會(huì)有太大發(fā)展的．芒福德認(rèn)為必須避免課程越來越專門化的強(qiáng)烈傾向[22]．

專業(yè)分得太細(xì)太早不利于學(xué)生打下一個(gè)寬廣而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，會(huì)影響到他們長遠(yuǎn)的發(fā)展．課程設(shè)置得太專門化不利于把整個(gè)數(shù)學(xué)知識體系作為一個(gè)有機(jī)的系統(tǒng)，會(huì)影響到學(xué)生掌握知識的廣度和應(yīng)用知識的靈活性．

3 數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)途徑

在以上兩部分研究的基礎(chǔ)上，得到培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的有效途徑．

3.1 培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)和科學(xué)素質(zhì)

通過通識教育和言傳身教，培養(yǎng)學(xué)生深厚的愛國之情、健全的人格，濃厚的興趣、豐富的想象力、敏銳的洞察力、很好的數(shù)覺、很強(qiáng)的理解力、很高的審美力，堅(jiān)定的意志、堅(jiān)韌的毅力、足夠的耐心、勤奮的學(xué)習(xí)態(tài)度、堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．高校應(yīng)該實(shí)施全面的通識教育，構(gòu)建以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心的通識教育平臺．通識教育是在對人與社會(huì)本質(zhì)的認(rèn)識基礎(chǔ)上提出的一種教育思想和體系、培養(yǎng)理念和模式，是指大學(xué)生均應(yīng)通過對人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)中一些共同課程的學(xué)習(xí)，接受有關(guān)共同內(nèi)容的教育，使學(xué)生用不同的理解模式來認(rèn)識現(xiàn)象、獲得知識，以便開拓學(xué)生的視野，了解與人生、社會(huì)相關(guān)的原則、知識和方法，具有適應(yīng)社會(huì)的能力．在高等教育領(lǐng)域中的通識教育目標(biāo)就是要使受教育者不僅能夠獲得一技之長，而且具備一個(gè)健全的職業(yè)人和社會(huì)人所必須具備的足夠的文化、生活常識及正確的道德觀和價(jià)值觀．通識教育是培養(yǎng)大學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新思維的重要載體．通過在數(shù)學(xué)教育中滲透通識教育理念，培養(yǎng)學(xué)生深厚的愛國之情、健全的人格，增強(qiáng)學(xué)生追求真理、獻(xiàn)身科學(xué)的意志和決心，從而加強(qiáng)對學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀與文化素質(zhì)的培養(yǎng)．教師要通過言傳特別是身教加強(qiáng)對學(xué)生的人格教育和學(xué)術(shù)影響．要用自己的人格魅力感染學(xué)生，要把自己在數(shù)學(xué)前沿積極探索的熱情等展現(xiàn)給學(xué)生．

教師要通過調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，幫助堅(jiān)持搞數(shù)學(xué)的學(xué)生等途徑來培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)濃厚的興趣．具體來講，教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)前沿的觀點(diǎn)、思想和方法，針對授課對象調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，刪掉現(xiàn)實(shí)中較少用到的內(nèi)容和比較陳舊的習(xí)題，增加一些當(dāng)代經(jīng)濟(jì)、科技和社會(huì)發(fā)展所需要的內(nèi)容．要通過“本原教學(xué)法”、抽象思維和形象思維相結(jié)合，使抽象內(nèi)容形象化、直觀化．?dāng)?shù)學(xué)是一門較抽象化、形式化的課程，它的很多概念、定理等都經(jīng)過高度的概括和抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)中困難較大．因此教師要實(shí)施“本原教學(xué)法”：在講解數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、方法時(shí)，要從它們的源頭出發(fā)，先把它們的引入動(dòng)機(jī)、背景知識和形成過程清楚地展現(xiàn)給學(xué)生，再抽象化、直觀化，并且要遵循由淺入深、由表及里、由分到合的認(rèn)識規(guī)律．要把抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過在抽象的概念、定理等中加入形象思維的元素，多用現(xiàn)實(shí)生活中生動(dòng)鮮活的例子，使學(xué)生更加深刻地理解并能靈活應(yīng)用抽象的內(nèi)容，并試著把多門數(shù)學(xué)知識融會(huì)貫通、綜合運(yùn)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中不再覺得枯燥和深?yuàn)W．要通過介紹優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化和哲學(xué)促使學(xué)生自覺地接受熏陶．教師要促使學(xué)生自覺地接受優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化和哲學(xué)的熏陶．要讓學(xué)生領(lǐng)悟到，教材上的定義、定理、公式等不是憑空產(chǎn)生的，它們背后往往都有一段關(guān)于數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事；教材上系統(tǒng)完整、邏輯嚴(yán)密、準(zhǔn)確無誤的知識并不是開始就有的，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，它們也曾經(jīng)離散凌亂、前后矛盾甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界也應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界．在教學(xué)過程中，教師可以通過介紹數(shù)學(xué)思想的起源和背景，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的形成過程；通過介紹數(shù)學(xué)家的奇聞軼事，增添數(shù)學(xué)課的趣味性，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心；通過介紹數(shù)學(xué)在當(dāng)今高新技術(shù)中的應(yīng)用及與其它學(xué)科、領(lǐng)域的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之用；通過介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生怎樣形成假設(shè)，進(jìn)行論證并形成屬于自己的見解．要實(shí)實(shí)在在地鼓勵(lì)并幫助堅(jiān)持搞數(shù)學(xué)的學(xué)生．教師要培養(yǎng)一批喜歡數(shù)學(xué)而肯用功的本科生，讓他們愿意繼續(xù)努力；要重點(diǎn)培養(yǎng)一些研究生，讓他們能夠快速成長．教師要培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力和敏銳的洞察力．?dāng)?shù)學(xué)想象力是創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維的一種能力，是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的源泉．提出數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)問題都需要數(shù)學(xué)想象力．通過精心創(chuàng)設(shè)情境，積極啟發(fā)和引導(dǎo)，聯(lián)系生活實(shí)際等具體的途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力．?dāng)?shù)學(xué)洞察力是從理性角度幫數(shù)學(xué)研究者走近真理，質(zhì)疑現(xiàn)成數(shù)學(xué)結(jié)論，推進(jìn)數(shù)學(xué)思想深度發(fā)展的一種能力．在某種意義上，洞察力是對現(xiàn)成答案和現(xiàn)有結(jié)論的質(zhì)疑能力．通過充分解放思想，對數(shù)學(xué)理論和問題獨(dú)立思考這些具體的途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力．教師要培養(yǎng)學(xué)生很好的數(shù)覺，很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理解力和很高的數(shù)學(xué)審美力．?dāng)?shù)覺是指運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)觀察、知識組塊和形象直感對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑的思維形式．通過引導(dǎo)學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)知識體系并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求，提示學(xué)生注重?cái)?shù)形結(jié)合能力和數(shù)學(xué)語言的直觀性，留給學(xué)生運(yùn)用數(shù)覺的時(shí)間和空間等具體的策略，可以培養(yǎng)學(xué)生很好的數(shù)覺．?dāng)?shù)學(xué)理解力是從多角度、多維度對待數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)家的智力和能力．通過引導(dǎo)學(xué)生對所看到或聽到的知識進(jìn)行再思考并按照自己的術(shù)語重新組織，嘗試重新修改思考實(shí)驗(yàn)等具體的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理解力．?dāng)?shù)學(xué)美是一種與真、善緊密聯(lián)系的，人的自由創(chuàng)造的本質(zhì)力量通過數(shù)學(xué)思維以宜人的形式在數(shù)學(xué)理論中呈現(xiàn)．通過引導(dǎo)學(xué)生提高美學(xué)、藝術(shù)修養(yǎng)，有意識地把與教學(xué)內(nèi)容有聯(lián)系的美的因素引入課堂教學(xué)，產(chǎn)生對教育事業(yè)、數(shù)學(xué)和學(xué)生的真摯熱愛之情，引導(dǎo)學(xué)生積極投身于數(shù)學(xué)的創(chuàng)造實(shí)踐等具體的途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生很高的數(shù)學(xué)審美力．

教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)、科研實(shí)踐中鍛煉堅(jiān)定的意志，堅(jiān)韌的毅力和足夠的耐心．愛迪生曾說過：“偉大人物最明顯的標(biāo)志，就是他堅(jiān)強(qiáng)的意志，不管環(huán)境變幻到什么地步，他的初衷與希望仍不會(huì)有絲毫的改變，而終于克服困難，達(dá)到預(yù)期的目的．”要引導(dǎo)學(xué)生直面挫折，迎難而上，在經(jīng)歷足夠的困難和挫折后，磨練出堅(jiān)定的意志．學(xué)習(xí)和科研都忌諱浮躁和急功近利，要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中培養(yǎng)堅(jiān)韌的毅力和足夠的耐心．教師要用言傳特別是身教來培養(yǎng)學(xué)生勤奮的學(xué)習(xí)態(tài)度．要讓學(xué)生相信，始終堅(jiān)持以勤奮刻苦的態(tài)度來對待學(xué)習(xí)和科研，必然會(huì)有所收獲．教師要引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．萬丈高樓平地起，數(shù)學(xué)尤其如此．只有經(jīng)過漫長積累的過程，循序漸進(jìn)地打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，才有可能厚積薄發(fā)，培養(yǎng)出數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才．具體來說，要以大學(xué)本科畢業(yè)生應(yīng)具備的專業(yè)知識作為基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，在以后的專業(yè)研究中逐步擴(kuò)大基礎(chǔ)．

3.2 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和做好科研

引導(dǎo)學(xué)生全面了解數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域、加深并拓寬研究領(lǐng)域，注意數(shù)學(xué)各分支之間以及數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系，利用不同方向甚至不同領(lǐng)域的工具集中解決難題，重視數(shù)學(xué)成果在其它學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，預(yù)測數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢．學(xué)習(xí)怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和怎樣尋求重大成就的知識，選擇有意義的研究問題，先整理、總結(jié)一個(gè)新分支的已知結(jié)果再向它進(jìn)軍，引導(dǎo)學(xué)生提出猜想和問題，向大科學(xué)家學(xué)習(xí)并跟他們交流與合作等．?dāng)?shù)學(xué)教育的目的是為了引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生自我發(fā)展．引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和做好科研對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才非常重要．

教師要引導(dǎo)學(xué)生全面了解數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域、加深并拓寬自己的研究領(lǐng)域．要研究數(shù)學(xué)，首先要全面地、大概地了解數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域，知道自己研究領(lǐng)域所處的位置和與其它領(lǐng)域的關(guān)系．要引導(dǎo)學(xué)生爭取機(jī)會(huì)逐漸加深并擴(kuò)大自己的研究領(lǐng)域．每位研究者都應(yīng)該有自己的研究陣地，穩(wěn)固陣地之后再逐漸擴(kuò)大．

教師要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)學(xué)各分支之間以及數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系、利用不同方向甚至不同領(lǐng)域的工具集中解決難題．當(dāng)前數(shù)學(xué)各分支之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的相互聯(lián)系越來越緊密，數(shù)學(xué)整體的容量、深度和復(fù)雜性，使得尋找溝通不同分支之間的新方法更為迫切和重要．?dāng)?shù)學(xué)中許多重要的工作是在子領(lǐng)域之間、領(lǐng)域之間以及學(xué)科之間的邊緣上做出的．要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)甚至一切自然科學(xué)作為統(tǒng)一的有機(jī)整體去理解，注意數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)外的聯(lián)系．愛爾迪希（Paul Erd?s）就總想將世界上的事物都與數(shù)學(xué)聯(lián)系．不同方向甚至不同領(lǐng)域中多種思想的互相滲透是數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵．21世紀(jì)人類面對的大問題，要求科學(xué)家們必須在多學(xué)科互動(dòng)中解決．要引導(dǎo)學(xué)生利用滲透到不同方向甚至不同領(lǐng)域的思想、方法和工具，集中解決關(guān)鍵科學(xué)問題．

教師要引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)成果在其它學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)成果的應(yīng)用多種多樣，從理論上講，數(shù)學(xué)思維可以應(yīng)用到任何知識領(lǐng)域，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍也沒有邊際．

教師要引導(dǎo)學(xué)生預(yù)測數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢、學(xué)習(xí)怎樣做一個(gè)數(shù)學(xué)家和怎樣尋求重大成就的知識、選擇有意義的研究問題．要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的過去看未來的發(fā)展，關(guān)注多樣化、復(fù)雜化、專門化、綜合化、統(tǒng)一化等這些數(shù)學(xué)發(fā)展的途徑，注重非線性現(xiàn)象和計(jì)算機(jī)算法等．教師要通過研究性教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家做學(xué)問的方式．研究性教學(xué)模式是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，進(jìn)而培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的重要手段．教育部《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》中提出“要積極推進(jìn)研究性教學(xué)，提高大學(xué)生的創(chuàng)新能力”．在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生模擬并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)的方式，還原數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的過程，使學(xué)生像當(dāng)年的數(shù)學(xué)大家們一樣，體驗(yàn)在一片黑暗中摸索前進(jìn)，體驗(yàn)知識的產(chǎn)生和使用的過程．一個(gè)好的選題相當(dāng)于成功了一半．要引導(dǎo)學(xué)生選擇最有意義、最有價(jià)值、最感興趣且能研究的問題．

教師要引導(dǎo)學(xué)生先整理、總結(jié)一個(gè)新分支的已知結(jié)果再向它進(jìn)軍．一方面要引導(dǎo)學(xué)生精讀新分支的經(jīng)典文獻(xiàn)，另一方面要提醒學(xué)生關(guān)注最新出現(xiàn)的思想、方法和工具．引導(dǎo)學(xué)生努力做到對新分支的現(xiàn)有理論徹底了解，對其中的核心問題深刻估量，一步步完成研究任務(wù)．具體地說，要引導(dǎo)學(xué)生閱讀新分支方面的大量相關(guān)文獻(xiàn)，并研讀其中重要的文獻(xiàn)，思考基本問題，整理、總結(jié)已知結(jié)果，對于文獻(xiàn)中的主要概念和關(guān)鍵方法，盡力尋找它們互相滲透時(shí)逐步發(fā)展的線索；讓學(xué)生盡量弄清楚某些特殊情形，增加關(guān)于這些情形的詳細(xì)知識；讓學(xué)生首先構(gòu)思一些簡單但基本的、直指問題本質(zhì)的想法，然后用強(qiáng)有力的工具發(fā)展這些想法，最后用成熟的想法去努力探索所考慮問題的本質(zhì)．

教師要引導(dǎo)學(xué)生提出猜想和問題．波利亞（George Polya）指出：“對于正積極搞研究的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)也許往往像是猜想游戲：在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個(gè)定理，在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，你必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想．”[30]在數(shù)學(xué)史上，創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)往往要經(jīng)歷“猜測—不斷試證—不斷糾錯(cuò)—確證真理”的過程，杰出的數(shù)學(xué)家大都有類似的經(jīng)歷．法國大數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（Jacques Hadamard）指出：“在數(shù)學(xué)中，我們不怕錯(cuò)誤，實(shí)際上錯(cuò)誤是經(jīng)常發(fā)生的……”[31]數(shù)學(xué)史的啟示是：大數(shù)學(xué)家們出的錯(cuò)通常要比一般人多，但他們總是在不斷地加以改正，所以在最后的結(jié)果中那些錯(cuò)誤的痕跡已沒有了．教師要鼓勵(lì)學(xué)生去積極嘗試，不怕出錯(cuò)，通過不斷地糾錯(cuò)去體會(huì)真正的數(shù)學(xué)研究．科學(xué)地提出問題是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要組成部分，需要洞察力和創(chuàng)造力．在數(shù)學(xué)中，提出問題比解答問題更為重要．學(xué)生一旦提出了問題，其注意力會(huì)更集中，主動(dòng)性會(huì)更強(qiáng)烈．在教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持從問題出發(fā)，注重培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力．要從不同學(xué)科的滲透中對某一知識進(jìn)行全方位、多角度地分析，設(shè)法讓學(xué)生提出有意義的問題．

教師要引導(dǎo)學(xué)生向大科學(xué)家學(xué)習(xí)并跟他們交流與合作．將學(xué)生的自然想法與大科學(xué)家的思想聯(lián)系起來的最可靠的辦法是進(jìn)行真正的交流與合作．要引導(dǎo)學(xué)生向大科學(xué)家學(xué)習(xí)，并跟他們進(jìn)行深入地交流與持續(xù)地合作．這種學(xué)習(xí)、交流和合作可能開啟某些新的發(fā)現(xiàn)．

3.3 指導(dǎo)學(xué)生寫好論文（著）

指導(dǎo)學(xué)生寫出既有獨(dú)創(chuàng)、深刻的思想，又有精美、簡明、清晰、富于啟發(fā)性的論文（著）．有獨(dú)創(chuàng)、深刻的思想是拔尖創(chuàng)新人才的主要特征之一．既有獨(dú)創(chuàng)、深刻的思想，又有精美、簡明、清晰、富于啟發(fā)性的論述更有利于傳播思想和產(chǎn)生影響．

3.4 教研相長

堅(jiān)持教學(xué)科研并舉，實(shí)現(xiàn)教研相長．教學(xué)與科研既存在矛盾又相互促進(jìn)，是對立統(tǒng)一的．教學(xué)是教師的天職，是科研的必要條件，但做好教學(xué)的同時(shí)必須做好科研．因?yàn)榭茖W(xué)發(fā)展極其迅速，只有堅(jiān)持進(jìn)行科研的人，才能真正理解創(chuàng)新精神，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人．一般地，做科研的人對數(shù)學(xué)中一些基本概念的認(rèn)識要比不做科研的人深刻，因?yàn)樗凶约旱挠^點(diǎn)，而且有一些新的發(fā)展，因此能講得更深刻．同時(shí)，教師從事科研活動(dòng)可以擴(kuò)大眼界，了解他所從事專業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展?fàn)顩r及其發(fā)展中存在的問題，對這些問題有無解決的辦法，如何解決等，這樣可豐富該專業(yè)、學(xué)科的內(nèi)容，使之不斷向前發(fā)展．另外，教師在從事科研活動(dòng)時(shí)，他們的科研方法、創(chuàng)新精神和人格魅力都會(huì)給學(xué)生以潛移默化的影響，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．實(shí)踐也證明教師進(jìn)行科研是提高教學(xué)質(zhì)量的可靠保證．

3.5 專業(yè)不要分得過早過細(xì) 課程不要設(shè)置得太專

一方面，各個(gè)專業(yè)的知識、各種領(lǐng)域的課程能夠培養(yǎng)學(xué)生從不同專業(yè)、領(lǐng)域中去尋求思想和方法的能力，這種能力對于學(xué)生將來取得突破性進(jìn)展是至關(guān)重要的；另一方面，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的趨勢之一是統(tǒng)一，專業(yè)不分得太早太細(xì)，課程不太專門化，都順應(yīng)了這一趨勢．

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Analyzing Scientific Research Commonalities and Education Viewpoints of Winners of both the Fields Medalists and Wolf Prize Winners

HAO Shun-li

(Department of Basic Sciences, Beijing International Studies University, Beijing 100024, China)

Winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics represent the most excellent, innovative talents in mathematics. By analyzing scientific research commonalities and education viewpoints of the 16 winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics, it was found that their scientific research commonalities mainly include three aspects: necessary conditions, personality characteristics and scientific research methods of high-level mathematicians, and characteristics of their papers or works. Their education viewpoints comprise five aspects: stimulating interest, personality education and academic influence, learning from mathematicians, promoting research through teaching, and specialties and courses. From this, top-notch innovative talents in mathematics can be cultivated by teachers and schools through the following five ways: cultivating the students’ interest and ability, guiding their learning, fostering research and paper writing, improving teachers’ teaching and research proficiency, and implementing reasonable course planning and specialties. From this, we can cultivate top-notch innovative talents in mathematics through five ways: cultivating interest and ability, guiding learning and scientific research, guiding the writing of papers, teaching and research, and specialization and curriculum.

scientific research commonalities; education viewpoints; Fields Medal; Wolf Prize in Mathematics; top-notch innovative talents in mathematics

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0085–07

郝順利．菲爾茲獎(jiǎng)兼沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主的科研共性和教育觀點(diǎn)分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：85-91．

2021–07–30

2016年度國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目——多型分枝隨機(jī)游動(dòng)在依時(shí)隨機(jī)環(huán)境中的漸近性質(zhì)（11601019）

郝順利（1980—），男，山西忻州人，副教授，博士，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)的教育教學(xué)、鞅極限理論研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]