唐俊杰,劉宏亮,歐陽自根,彭宇睿

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

近年來,隨著核能的利用效率不斷提高,應(yīng)用的范圍不斷增加,因放射性物質(zhì)泄露或意外丟失而引發(fā)的事故也逐漸增長[1]。放射性物質(zhì)所產(chǎn)生的輻射可對人體造成傷害,并易引發(fā)白血病、癌癥等疾病[2-3]。因此,當事故發(fā)生時,最重要便是對泄漏或遺失的放射性物質(zhì)進行搜尋并實時監(jiān)測,防止進一步擴散。而目前在放射性物質(zhì)的搜尋監(jiān)測方面,主要的辦法仍為人工搜尋監(jiān)測,即采用專業(yè)的搜尋人員持檢測設(shè)備對可疑區(qū)域進行拉網(wǎng)式搜索,這種辦法不僅效率較低,尤其易對搜尋人員造成傷害。因此,需采取一種安全、高效的方法對泄漏或丟失的放射性物質(zhì)進行搜尋監(jiān)測。

目前已有許多學(xué)者已做出一些非常有建設(shè)性的工作,如Z.Liu等人[4]提出了一種針對城市環(huán)境的搜尋算法對檢測器進行導(dǎo)航,與傳統(tǒng)搜尋方法相比可大幅度縮短搜索時間。S.Kobayashi等人[5]設(shè)計了一種車載輻射檢測系統(tǒng),可快速對大面積區(qū)域進行檢測,有著較高的精確度。J.Y.Jiang等人[6]通過使用攜帶輻射檢測設(shè)備的直升機,采取空中懸停的方式為放射性物質(zhì)污染區(qū)域繪制輻射分布圖,并在福島事故中驗證了方案的有效性。Tomas等人[7]開發(fā)出一種自主機器人探測系統(tǒng),通過檢測到的輻射特征自動操控地面無人車對輻射源進行定位。

而在某些地形復(fù)雜的區(qū)域,使用多智能體編隊搜尋放射性物質(zhì)有著不可替代的優(yōu)勢。如在山區(qū)或城市建筑群,較于人工搜尋或車載檢測系統(tǒng),多智能體或飛行器編隊搜尋有著高效、適用性強等特點。目前已有一些研究成果,如P.Gong等人[8]開發(fā)出一種無人機輻射檢測系統(tǒng),使用專門的源定位算法對輻射源進行實時定位。S.Zhu等人[9]采用領(lǐng)導(dǎo)跟隨的策略對具有輸入約束的無人機組進行編隊,對未知的移動輻射源進行搜尋。B.Li等人[10]考慮了使用多旋翼無人機對輻射源進行搜索,針對不同的搜索場景設(shè)計了三種不同的搜索算法,并進行了模擬驗證,具有成本低,精確度高等特點。J.Han等人[11]將編隊控制算法與輪廓映射策略相結(jié)合,以遞減半徑的圓形或方形環(huán)來對無人機組進行編隊,實現(xiàn)通過多個無人機編隊同時進行輻射源搜索與輻射信號場的輪廓映射。但目前大部分研究者僅聚集于輻射源搜尋,并未解決對輻射源實時跟蹤監(jiān)測問題,尤其是多個的動態(tài)輻射源。

受文獻[12-13]啟發(fā),本文設(shè)計了三個分布式估算器,分別對智能體極半徑、極角以及移動輻射源的幾何中心進行估計,利用估計值為智能體設(shè)計控制協(xié)議。并使用一種新的方法證得多智能體系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)對移動輻射源進行環(huán)繞跟蹤。最后,通過示例驗證了控制方案的準確性。

1 預(yù)備知識

1.1 符號說明

符號N*,R+,Rn,Rn×m分別表示正整數(shù)、正實數(shù)、n維實向量和n×m維實矩陣的集合。記符號1d為所有元素都為1的d行1列的實向量。

1.2 圖論

智能體之間的信息交互可以用無向圖G=(V,E)來表示,其中V={v1,v2,…,vn}表示圖G的節(jié)點集,節(jié)點vi表示智能體i;E={(vi,vj)}表示圖G的邊集,邊(vi,vj)表示第i個節(jié)點與第j個節(jié)點能與彼此交互信息。節(jié)點i的鄰居集定義為Ni={vj∈V:(vi,vj)∈E}。A=[aij]n×n為圖G的加權(quán)鄰接矩陣,A∈Rn×n,其中aij表示節(jié)點i到節(jié)點j之間邊的權(quán)值。當(vi,vj)∈E時,aij=aji>0,否則aij=0,并假設(shè)智能體本身不存在自循環(huán),即aii=0。圖G的Laplacian矩陣定義為L(A)=[lij]n×n,其中

2 問題表述

本文中所描述的多智能體系統(tǒng)由n個智能體與m個移動輻射源組成,智能體i的動力學(xué)行為用以下方程表示:

(1)

(2)

(3)

圖1 直角坐標與極坐標轉(zhuǎn)換Fig.1 Rectangular coordinate and polar coordinate conversion

(4)

本文的目標是設(shè)計一個分布式有限時間控制協(xié)議,使得所有智能體在有限時間內(nèi)對所有移動輻射源形成一個環(huán)繞控制圈,將其包圍在控制圈內(nèi)實時監(jiān)測,并且所有智能體在環(huán)繞軌道上實現(xiàn)均勻分布。

定義1：若存在某一有限時間T,使得系統(tǒng)(1)里的智能體滿足

(5)

圖2 4個智能體環(huán)繞跟蹤2個輻射源Fig.2 Four agents surround and track two radiation sources

引理1[14]:若β>1,0<α≤1,a1,a2,…,aN≥0,有下列不等式成立:

引理2[15]:若標量系統(tǒng):

其中n,m,p,q是正整數(shù),并且α,β,γ>0,m>n,q>p。則系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間全局穩(wěn)定,其穩(wěn)定時間的上界可估計為

引理3[15]:無向連通圖G的拉普拉斯矩陣L(A)的最小非零特征值稱為代數(shù)連通度,用λ2(A)表示,該值大于零且滿足

xTL(A)x≥λ2(A)xTx,?x∈Rn。

引理4[16]:設(shè){λi(t)/i=1,2,…,n}與{τi(t)/i=1,2,…,n}為給定的兩個函數(shù)集,A=[aij]∈Rn×n為一個給定的矩陣,若aij=aji,則

特別地,若λi(t)=τi(t),i=1,2,…,n,則

若λi(t)=1,i=1,2,…,n,則

3 主要結(jié)果

為使多智能體系統(tǒng)在有限時間內(nèi)對移動輻射源形成環(huán)繞跟蹤,本文給出以下假設(shè)：

首先，為獲得移動輻射源的幾何中心，構(gòu)建了下面分布式估算器:

(6)

然后通過構(gòu)建分布式估算器(7)對環(huán)繞半徑進行推斷:

(7)

這里的βi1,βi2,βi3,為設(shè)計參數(shù)且均為正實數(shù),zik(t)=‖rk(t)-ci(t)‖,ρiM(t)為智能體i對d(t)的第M次估計值,若M預(yù)先無定義,則M=n。

最后構(gòu)建了下面分布式估算器,對系統(tǒng)穩(wěn)定時各智能體的極角進行估算:

(8)

這里的δi1,δi2,δi3為設(shè)計參數(shù)且均為正實數(shù)。

因此,可設(shè)計智能體的控制協(xié)議為:

(9)

證明:設(shè)Lyapunov函數(shù)

(10)

對V1(t)關(guān)于t求導(dǎo)得

由引理4可得

(11)

根據(jù)引理1可得出

(12)

同理

(13)

根據(jù)假設(shè)1及假設(shè)2可得

(n-1)r*s(t)。

(14)

最后可得出

(15)

結(jié)合(11),(12),(13),(14)有

根據(jù)引理2可知存在一個有限時間T1>0,使得

且

于是有

且

ci(t)=cj(t),?t≥T1。

其中

對分布式估算器(6)的第三個等式從1到n求和,得出

得證。

(16)

因此

根據(jù)引理2可知存在一個有限時間T21>0,使得

其中

其中

由于圖G是連通的,可知存在一個有限時間T2M,當t>T2M時有

這里的T2=T2M,由于li(t)=γρiM(t),即證得

且[li(t)-γd(t)]=0,?t≥T2。

即當t≥T3時,智能體實現(xiàn)均勻分布且具有相同的角速度,其中

(17)

(18)

由引理1,引理4,可得

δi3[e(t)TL(A)e(t)]。

由引理3可得

e(t)TL(A1)e(t)≥λ2[L(A1)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A1)]V3(t)

e(t)TL(A2)e(t)≥λ2[L(A2)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A2)]V3(t)

e(t)TL(A)e(t)≥λ2[L(A)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A)]V3(t)

則

由引理2可知,存在一個T3>0,當t≥T3時有

于是有

且?i(t)=?j(t),?t≥T3。

其中

由?i(t)的定義可知

得證。

定理1:若多智能體系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1與假設(shè)2,根據(jù)分布式估算器(6)、(7)、(8)以及控制協(xié)議(9),當αi1>(n-1)r*,βi1>2r*,存在一個有限時間T=max {T2,T3},當t>T,多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定,各智能體對所有輻射源實現(xiàn)環(huán)繞跟蹤并在軌道均勻分布。

證明:由引理5可得

由引理6可知

[li(t)-γd(t)]=0,?t≥T2。

由引理7得出

得證。

4 仿真

取一個具有4個移動輻射源(T1-T4),6個智能體(A1-A6)的多智能體系統(tǒng)實例,連通情況如圖3所示。

圖3 多智能體系統(tǒng)的通信拓撲Fig.3 Communication topology of multi-agent system

設(shè)智能體的初始位置為x1(0)=[6,-1]T,x2(0)=[-3,2]T,x3(0)=[5,-4]T,x4(0)=[2,-5]T,x5(0)=[-4,3]T,x6(0)=[-6,5]T。

同時,設(shè)移動輻射源的動力學(xué)方程為:

r1(t)=[-0.5e-t-cost,0.5e-t+sint]T,

r2(t)=[0.5e-t-cost,0.5e-t-sint]T,

r3(t)=[-0.5e-t+cost,-0.5e-t+sint]T,

r4(t)=[0.5e-t+cost,-0.5e-t-sint]T。

取期望角速度ω(t)=1,設(shè)計參數(shù)αi1=6,αi2=1,αi3=1,βi1=5,βi2=1,βi3=1,δi1=1,δi2=1,δi3=1,γ=2。

由圖4與圖5可知,移動輻射源的幾何中心的估算值在大約0.5 s時收斂到實際值;由圖6可知,各智能體大約在1 s時實現(xiàn)均勻分布且具有相同的角速度,每個智能體之間的間隔為0.332π;由圖7可知,各智能體的環(huán)繞半徑大約在0.7 s時收斂一致,并于2.5 s時達到期望值。由圖8～圖11可知,在控制協(xié)議9的控制下,多智能體系統(tǒng)在大約4 s時對移動輻射源實現(xiàn)環(huán)繞跟蹤,并保持穩(wěn)定。

圖4 輻射源幾何中心橫坐標估計值Fig.4 Estimated value of the abscissa of the geometric center

圖5 輻射源幾何中心縱坐標估計值Fig.5 Estimated value of ordinate of geometric center

圖6 智能體極角估計值Fig.6 Estimation of the polar angle of the agent

圖7 智能體環(huán)繞半徑估計值Fig.7 Estimation of the circle radius of the agent

圖8 2 s時智能體對輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.8 Surround tracking of the radiation source by the agent at 2 s

圖9 4 s時智能體對輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.9 Surround tracking of the radiation source by the agent at 4 s

圖10 6 s時智能體對輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.10 Surround tracking of the radiation source by the agent at 6 s

圖11 8 s時智能體對輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.11 Surround tracking of the radiation source by the agent at 8 s

5 結(jié) 論

本文對多智能體系統(tǒng)有限時間環(huán)繞跟蹤作出了研究,分別通過設(shè)計三個不同的分布式估算器,估算出智能體的環(huán)繞半徑、極角、以及移動放射性輻射源的幾何中心的精確值,根據(jù)估算值設(shè)計一個分布式控制協(xié)議,以滿足環(huán)繞跟蹤的條件。最后,通過穩(wěn)定性定理證得對所有移動輻射源的環(huán)繞跟蹤將在有限時間內(nèi)完成,解決了多智能體系統(tǒng)在有限時間內(nèi)對多個動態(tài)輻射源的環(huán)繞跟蹤問題,較于人力搜尋監(jiān)測有著安全性高、適用性強等優(yōu)點,有很強的實際意義。