王亞東，石 全，張 芳，王 強，夏 偉，3

（1.陸軍工程大學石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系，石家莊 050003；2.解放軍32178 部隊科技創(chuàng)新研究中心，北京 100012；3.陸軍步兵學院石家莊校區(qū)機械化步兵系，石家莊 050003）

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，戰(zhàn)場環(huán)境復雜多變、作戰(zhàn)模式靈活多樣，在不同作戰(zhàn)任務想定下裝備的使用和損耗規(guī)律各不相同，戰(zhàn)場搶修任務以及備件供應方案也不相同。另一方面，戰(zhàn)時的備件損耗為退化和戰(zhàn)損共同作用下的競爭失效，且備件需求隨任務開展呈波動狀態(tài)。因此，如何應對戰(zhàn)時備件供應保障中的各種不確定因素，制定一套能夠應對各種情況下的備件供應方案具有重大的意義。

在戰(zhàn)時備件供應優(yōu)化方面，任驥等人假設戰(zhàn)損件以及軍需備件服從已知概率分布，利用隨機優(yōu)化研究了備件需求和戰(zhàn)損件修復不確定性條件下的備件供應優(yōu)化問題［1］；劉喜春研究了不確定需求下航材供應問題，采用機會約束規(guī)劃，建立了不可修復備件的隨機規(guī)劃模型［2］；王睿等人通過求出供應渠道備件數(shù)量期望和方差，根據(jù)VARI-METEIC 方法近似估計供應渠道備件數(shù)量的概率分布，進而計算得到備件期望短缺和短缺函數(shù)方差［3］?？梢钥闯?，目前很少有文獻同時從作戰(zhàn)任務類型和需求的不確定方面研究戰(zhàn)時備件保障優(yōu)化，且通常假設備件需求為服從已知概率分布的隨機變量，這與戰(zhàn)時特殊情況備件消耗規(guī)律不盡相符。在處理供應鏈的不確定性時，常采用的方法有隨機優(yōu)化、模糊優(yōu)化和魯棒優(yōu)化。隨機優(yōu)化中，通常需要提前知道或者假設不確定參數(shù)的分布規(guī)律，這些假設通常與實際情況不盡相符。模糊優(yōu)化通常難以求解且很難保證最差情況下解的可行性。而魯棒優(yōu)化模型既不依賴不確定參數(shù)的分布，又可以保證最差情況下解的可行性。

本文旨在在戰(zhàn)斗開始之前為整個戰(zhàn)斗制定一套可靠的備件供應方案。首先，可由指揮員在戰(zhàn)斗開始前擬定多種可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定預案。并通過備件需求預測方法，確定各戰(zhàn)斗單位的備件需求范圍。與平時備件保障不同，戰(zhàn)時條件下一旦出現(xiàn)差錯將對作戰(zhàn)任務造成不可挽回的損失。因此，本文的模型應當保證所有可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定以及在整個需求范圍內(nèi)“最差情況下”的備件供應。

1 確定條件下的供應優(yōu)化模型

1.1 問題描述

某次戰(zhàn)斗開始前，為保障裝備搶修任務，提前制定備件供應保障預案。要求該供應預案能夠在最短的時間內(nèi)以最大程度保障所有作戰(zhàn)想定下的裝備搶修任務。本文采用經(jīng)典的3 級供應網(wǎng)絡：第1級為后方倉庫，根據(jù)全部作戰(zhàn)單位的需求向野戰(zhàn)倉庫提供備件。第2 級為野戰(zhàn)倉庫，通?？壳芭渲猛瓿蓚浼膬Υ嫒蝿?，以及向作戰(zhàn)單位中轉(zhuǎn)所需備件。第3 級為作戰(zhàn)單位，根據(jù)裝備損傷情況和搶修任務產(chǎn)生備件需求。

首先，設置有限個可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定集合s={1，2，…，S}。不同想定下，備件供應考慮的要素存在較大差異。主要包括，作戰(zhàn)單位的備件需求數(shù)量、備件運輸?shù)难舆t時間、備件庫存以及運輸?shù)馁M用等。以上由作戰(zhàn)想定造成的不確定性在備件供應優(yōu)化模型中體現(xiàn)為離散不確定參數(shù)。

另一方面，即便在同一想定下，備件的需求并非固定不變或服從某一特定分布。由于備件需求預測結(jié)果存在一定誤差，通常只能將備件的需求數(shù)量限定在某個區(qū)間之內(nèi)，其真實值在名義值附近一定范圍內(nèi)波動。備件需求的不確定性在供應優(yōu)化模型中體現(xiàn)為連續(xù)不確定參數(shù)。

戰(zhàn)時備件供應優(yōu)化模型建立在以下假設之上：1）已知所有可能發(fā)生的戰(zhàn)斗想定；2）以某一種關(guān)鍵備件的供應為例。為保證搶修效率，采用換件維修方式，備件需求與換件數(shù)量一致；3）暫不考慮各級節(jié)點之間存在橫向轉(zhuǎn)運的情況；4）后方倉庫到野戰(zhàn)倉庫、野戰(zhàn)倉庫到作戰(zhàn)單位的備件供應延遲時間已知；5）備件在各節(jié)點之間的運輸成本、備件在野戰(zhàn)倉庫中的庫存成本均為已知；6）后方倉庫的容量無限，且備件儲備充足。野戰(zhàn)倉庫最大容量已知，且為定值。各級節(jié)點之間運力充足；7）作戰(zhàn)單位的需求為不確定值，但其波動范圍已知；不同作戰(zhàn)單位重要程度不同，各自備件最低滿足率閾值已知。

1.2 參數(shù)描述

決策變量如下：xli為第l 個后方倉庫向第i 個野戰(zhàn)倉庫的備件供應量，yij為第i 個野戰(zhàn)倉庫向第j個作戰(zhàn)單位的備件供應量。

1.3 模型構(gòu)建

首先考慮確定條件下的基本模型，建立以下混合整數(shù)線性規(guī)劃模型：

鋼材的材質(zhì)接近均質(zhì)，并且力學性能與彈性塑性體接近，因此鋼結(jié)構(gòu)的受力情況與設計計算結(jié)構(gòu)基本吻合，設計計算結(jié)果的可靠性比較高。

2 不確定條件下的供應優(yōu)化模型

這些不確定參數(shù)，原模型是無法直接求解的。因此，需要將原模型轉(zhuǎn)化為可求解的魯棒對等形式。

2.1 作戰(zhàn)想定不確定時的魯棒優(yōu)化模型

因此，目標函數(shù)（1）的魯棒等價模型為：

2.2 需求不確定時的魯棒優(yōu)化模型

線性魯棒優(yōu)化中的不確定集合U 主要有以下幾種類型：盒形（box）、多面體形（polyhedral）、橢球形（ellipsoidal）等［6］。其不確定集分別如下：

為解決“max min”優(yōu)化問題，根據(jù)強對偶定理可通過求式（14）的對偶問題將其轉(zhuǎn)化為“min min”問題，有：

因此，模型式（13）最終的對應線性區(qū)間魯棒優(yōu)化等價模型為：

根據(jù)以上推導，目標函數(shù)式（11）的等價魯棒模型為：

約束（3）的等價魯棒模型為：

分別用式（18）和式（19）代替確定條件下模型中的目標函數(shù)式（1）和約束式（3），即為不確定條件下備件供應的魯棒優(yōu)化模型。

3 求解算法設計

差分進化算法作為一種新型智能優(yōu)化算法，能夠很好地解決單目標和多目標優(yōu)化模型。本文選用差分進化算法對模型求解。差分進化包括4 個基本步驟：初始化、變異、交叉和選擇操作。

步驟1 初始化。隨機產(chǎn)生初始種群，種群規(guī)模為N，個體維度為D。第i 個個體上的元素xi1到xiD表示模型中決策變量的值。初始種群個體元素：

其中，randij為均勻分布［0，1］之間的隨機數(shù)，CR∈［0，1］為交叉率，即當個體xi上第j 個元素xij對應的隨機數(shù)小于交叉率時，該元素取變異個體對應值，否則保留原個體上的值?？梢钥闯鯟R 的值越大則交叉的概率越大。

步驟5 當滿足循環(huán)終止條件時，停止迭代。反之，返回步驟2。

4 算例分析

4.1 任務想定

某作戰(zhàn)任務下的三級備件供應網(wǎng)絡由2 個后方倉庫、5 個野戰(zhàn)倉庫以及10 個作戰(zhàn)單位組成。戰(zhàn)斗展開前制定了5 種可能發(fā)生的戰(zhàn)斗任務想定，需根據(jù)不同任務特點制定一套可以滿足全部任務想定下的備件供應保障方案。要求供應方案能夠以最短的延遲時間完成供應任務，并且保證滿足作戰(zhàn)單位備件滿足率不低于規(guī)定閾值、花費成本不超過最高成本閾值。表1～下頁表6 分別給出了供應網(wǎng)絡及其節(jié)點的相關(guān)信息。

表1 不同想定下節(jié)點之間備件供應延遲時間（h）

表2 不同想定下節(jié)點之間單位備件運輸成本（元/個）

表3 野戰(zhàn)倉庫庫存容量和單位庫存成本

表4 作戰(zhàn)單位備件需求量（個）

表5 作戰(zhàn)單位備件滿足率最低閾值

表6 各想定下備件供應總成本最大閾值

4.2 結(jié)果分析

分別采用第3 節(jié)中4 種變異策略下的差分進化算法對建立的魯棒優(yōu)化模型進行求解，結(jié)果如圖1 所示。圖1 中橫軸表示迭代次數(shù)，縱軸表示魯棒優(yōu)化模型式（16）中適應度函數(shù)的值?？梢园l(fā)現(xiàn)在第1 400 代時每個算法的優(yōu)化結(jié)果均已基本收斂。其中，DE/current-to-best/1 算法的收斂速度相對較快，且最終的適應度值要小于其他算法。因此，進一步使用DE/current-to-best/1 變異策略下的差分進化算法（以下簡稱為DE/current-to-best/1 算法）對確定性和魯棒優(yōu)化模型進行求解和分析。

圖1 各算法求解結(jié)果

4.2.1 想定不確定魯棒性分析

圖2 魯棒優(yōu)化模型與想定確定模型延遲時間比較

另一方面，將魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解Vrobust帶入各想定下的優(yōu)化模型，計算總成本和備件滿足率兩個約束條件以檢驗魯棒優(yōu)化最優(yōu)解的可行性。同時將各想定下模型的最優(yōu)解Vs帶入其他想定下的優(yōu)化模型，計算是否滿足成本和滿足率兩個約束。結(jié)果見表7，表中√表示解向量完全滿足模型約束，為可行解；×表示違反任意約束，為不可行解。從表7可以看出，魯棒優(yōu)化模型的解為所有其他模型的可行解，即具有很好的魯棒性。而各想定下優(yōu)化模型的解并不能滿足其他所有確定性模型。與平時備件供應不同，為確保戰(zhàn)斗百分之百順利進行，戰(zhàn)前制定的備件供應方案必須滿足所有可能發(fā)生的戰(zhàn)斗想定的要求。因此，魯棒優(yōu)化模型憑借其良好的魯棒性，更加適合戰(zhàn)斗想定不確定條件下備件供應方案決策。

表7 魯棒優(yōu)化最優(yōu)解在各想定中的可行性分析

4.2.2 需求不確定魯棒性分析

本節(jié)主要驗證魯棒優(yōu)化模型在需求不確定情況下的魯棒性。由2.2 可知不確定預算參數(shù)Γ 主要用來調(diào)節(jié)模型的魯棒性和保守性。通過調(diào)節(jié)Γ 的值可以得到不同不確定程度下的魯棒優(yōu)化模型，從而分析需求不確定對備件供應造成的影響。分別取Γ=0、Γ=10、Γ=20、Γ=30、Γ=40、Γ=50。其中，當Γ=0時，備件需求均取名義值，為確定值，稱此時模型為名義值模型；當Γ=50 時，備件需求的不確定程度最大，稱此時模型為最大值模型；其余情況介于兩者之間。圖3 給出了Γ 不同取值下的延遲時間。從圖中可以看出，需求的不確定性給模型造成了較大的影響。隨著需求不確定程度的增加，備件供應的延遲時間也增大。這是由于魯棒優(yōu)化模型必須保證滿足所有需求取值范圍下解的可行性，從而造成模型結(jié)果較為保守。

圖3 各不確定程度下魯棒優(yōu)化模型延遲時間比較

為分析魯棒優(yōu)化模型解的可行性，分別比較魯棒優(yōu)化模型、名義值模型和最大值模型的約束條件。將各模型的最優(yōu)解帶入其他模型中，檢驗解的可行性。結(jié)果如表8 所示。從表中可以看出，需求不確定條件下的魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解在其他模型中均為可行解，即能夠滿足其他需求下的備件供應模型，具有很好的魯棒性。

表8 魯棒優(yōu)化最優(yōu)解在各不確定模型中的可行性分析

5 結(jié)論

本文考慮戰(zhàn)時備件供應的高度不確定性，同時從作戰(zhàn)任務想定不確定以及備件需求不確定兩個方面進行了魯棒優(yōu)化建模。以延遲時間最小為優(yōu)化目標，以備件滿足率和保障成本為約束，構(gòu)建了戰(zhàn)時備件供應的魯棒優(yōu)化模型。采用元啟發(fā)式智能算法對模型進行求解，獲得了使得魯棒優(yōu)化模型中延遲時間最短的最優(yōu)解。通過進一步分析發(fā)現(xiàn)，魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解作為任務想定以及備件需求確定條件下模型的可行解。表明魯棒優(yōu)化模型在處理戰(zhàn)時備件供應的不確定條件時具有良好的魯棒性。本文建立的魯棒優(yōu)化模型，以及求解思路對戰(zhàn)時不確定條件下的備件供應優(yōu)化提供了一定的決策依據(jù)和支持。