韓建男，孫江宏，鹿昆磊

（北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192）

1 引言

變極距式電容傳感器是硅微加速度傳感器的一種，由于其結(jié)構(gòu)簡單、動(dòng)態(tài)響應(yīng)好、靈敏度高及便利的操作接口[1-2]，自面世以來一直作為最重要的慣性儀器之一，被廣泛應(yīng)用于國防、航天等部門，是慣性導(dǎo)航和慣性制導(dǎo)系統(tǒng)中不可缺少的一部分。

在硅微加速度計(jì)中，多數(shù)采用等截面梁結(jié)構(gòu)，但其應(yīng)力集中引起的結(jié)構(gòu)損壞容易導(dǎo)致器件失效[3-4]，通常采用截面根部增加適當(dāng)?shù)膱A角、倒角過渡的方法來減小應(yīng)力集中。隨著近年來對(duì)變截面梁研究逐步增多，以及微納機(jī)械制造工藝日漸成熟[5-7]，開始逐漸采用變截面梁來增大連接處的過渡角[8]的方法消除和降低應(yīng)力集中。目前對(duì)變截面梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有了一系列的研究，根據(jù)矩陣結(jié)構(gòu)分析和彈性力學(xué)理論，苑偉政和郝星建立線性變截面梁的力學(xué)模型[9]；根據(jù)材料力學(xué)理論，文獻(xiàn)[10]建立了變截面梁彎曲數(shù)學(xué)模型；在微加速度計(jì)等截面梁的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)并優(yōu)化了一種梯形變截面梁；在保證傳感器外形尺寸不變的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12]建立了基于槽型變截面彈性梁的傳感器靈敏度分析模型，分析了影響靈敏度的關(guān)鍵設(shè)計(jì)因素；但采用不同截面形狀的梁結(jié)構(gòu)，其性能都不一樣。

這里設(shè)計(jì)的是菱形變截面梁結(jié)構(gòu)，菱形變截面增大連接處的過渡角，減小了應(yīng)力集中，使檢測(cè)方向與非檢測(cè)方向剛度最大化，增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在體積和非檢測(cè)方向剛度相同的條件下，菱形變截面梁與等截面相比，危險(xiǎn)截面處最大應(yīng)力相當(dāng)而檢測(cè)方向剛度減小，系統(tǒng)靈敏度大大提高，且在保證靜電力剛度小于機(jī)械剛度的前提下，可以確定菱形變截面梁加速度計(jì)的最大量程。

2 加速度計(jì)的工作原理

電容微加速度計(jì)的加速度值不容易直接被測(cè)量，當(dāng)物體受到加速度時(shí)，會(huì)產(chǎn)生慣性力，所以現(xiàn)在都是采用先測(cè)量物體的慣性力，再通過公式：

間接測(cè)量出加速度的值，然后對(duì)加速度再進(jìn)行兩次積分就可以得到物體的空間位置。

加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1 所示。一般加速度計(jì)常通過4個(gè)梁將其固接于被測(cè)物體上，質(zhì)量塊兩側(cè)各兩個(gè)對(duì)稱梁，增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。檢測(cè)質(zhì)量塊通過撓性梁與固定端硅基底相連，垂直懸在基底上方。充當(dāng)檢測(cè)電極的極板被等間距地固定在檢測(cè)質(zhì)量塊的上下兩面，與檢測(cè)質(zhì)量塊形成差動(dòng)電容。

圖1 菱形變截面梁加速度計(jì)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 The Structure Diagram of Micro-Accelerometer Based on Rhombic Variable Cross-Section Beam

變間距型電容式微機(jī)械加速度計(jì)的平面示意圖，如圖2 所示。一共有三塊平行極板，兩塊為固定極板，一塊為可動(dòng)極板，且兩固定極板與中間可動(dòng)極板之間的初始距離為d0，相對(duì)有效面積都為A，介質(zhì)介電常數(shù)為ε。在物體還未運(yùn)動(dòng)時(shí)，可動(dòng)極板與兩固定極板分別形成兩個(gè)電容C1和C2，大小與靜態(tài)電容C0相等，（C0=εA/d0）。當(dāng)可動(dòng)極板受到一個(gè)向右的加速度時(shí)，這時(shí)就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向左的位移x，于是兩個(gè)電容的極板間距發(fā)生變化，從而引起差動(dòng)電容的變化。

圖2 變間距型電容式微機(jī)械加速度計(jì)工作原理圖Fig.2 The Working Principle Figure of the Variable Distance Capacitance Sensor Micro-Accelerometer

通過泰勒展開得：

因此，形成的差動(dòng)電容為：

由于敏感質(zhì)量塊受到慣性力產(chǎn)生的位移x<

由上可知，在忽略高階項(xiàng)之后，差動(dòng)電容C 與位移成正比，敏感質(zhì)量的位移信號(hào)可以轉(zhuǎn)化為差動(dòng)電容的電容變化。

3 加速度計(jì)的力學(xué)模型

加速度計(jì)的動(dòng)力學(xué)模型相當(dāng)于一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，如圖3 所示。敏感質(zhì)量塊在慣性力運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)受到空氣的阻尼力，阻尼系數(shù)為c。加速度計(jì)的四個(gè)彈性梁相當(dāng)于彈簧，剛度系數(shù)為k。在質(zhì)量塊受到一個(gè)加速度a 時(shí)，質(zhì)量塊會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與慣性力F 相反方向的位移x，支撐梁發(fā)生彈性彎曲，生成彈性力Fk，方向與位移相反。當(dāng)彈性力Fk與慣性力F 相等時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)。從而由力平衡方程F=Fk得出質(zhì)量塊移動(dòng)的位移為：

圖3 加速度計(jì)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 The Classic Dynamic Model of Accelerometer

由牛頓第二定律可得加速度計(jì)的二階動(dòng)態(tài)微分方程為：

對(duì)式（8）進(jìn)行Laplace 變換，得到傳遞函數(shù)為：

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，由式（8）可得到質(zhì)量塊產(chǎn)生位移為：

通過式（10）和式（7）可以計(jì)算出質(zhì)量塊的加速度a。定義加速度計(jì)的靈敏度sc為：

從式（11）可以看出，靈敏度sc和系統(tǒng)的固有頻率、質(zhì)量塊m、剛度系數(shù)k 有關(guān)系，固有頻率越低，靈敏度越高。要想增大系統(tǒng)靈敏度，可以通過降低系統(tǒng)的剛度系數(shù)k 和增大質(zhì)量塊m 的質(zhì)量，但又不能使剛度系數(shù)k 過低，過低又會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4 菱形變截面梁力學(xué)模型建立

圖4 菱形變截面梁結(jié)構(gòu)Fig.4 The Structure of Rhombic Variable Cross-Section Beam

菱形變截面梁的結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。Y 軸為梁檢測(cè)方向，其傾角為β；Z 軸為梁非檢測(cè)方向，其傾角為α；左端橫截面的短軸和長軸長度分別為b1和a1，左端橫截面相連于質(zhì)量塊，右側(cè)的橫截面為固定端。

要使Z 軸剛度與Y 軸剛度相差越大，則a、b 的尺寸相差就越大，所以不妨 a1=8μm，tanβ=0.05，b1=2μm。在梁的實(shí)際結(jié)構(gòu)中，截面尺寸都是遠(yuǎn)小于變截面梁長度的，所以可以忽略剪切力的影響，只考慮變截面梁的純彎曲力學(xué)模型，截面尺寸隨長度線性變化，距離坐標(biāo)原點(diǎn)x 處菱形截面的長軸長ax和短軸長bx分別為：

式中：E—梁彈性模量；M（x）—梁受到的彎矩；I（x）—梁截面慣性矩；w—梁撓度。

4.1 Z 軸剛度

當(dāng)在Z 軸上有加速度時(shí)，距原點(diǎn)x 處橫截面對(duì)Y 軸慣性矩Iy和力矩 M（x）分別為

將式（14）和式（15）代入式（13）并對(duì) x 進(jìn)行積分得轉(zhuǎn)角 φ 為：

再次對(duì)x 變量積分得撓度w：

當(dāng)x=0 時(shí)，撓度w 取最大值為：

當(dāng)F、wmax固定不變時(shí)，根據(jù)式（18）定義變截面梁剛度為KZ為：

式（19）的圖像，如圖5 所示。梁Z 軸剛度隨梁跨度l 減小而增大，隨截面高度a2增加而增加，當(dāng)梁長度l 在100μm 到250μm范圍內(nèi)，梁末端高度 a2增加到 30μm 到 60μm 之間，Z 軸剛度變化不大。

圖5 菱形變截面梁z 軸剛度與梁尺寸關(guān)系Fig.5 Relationship Between z Axis Stiffness and Size of Rhombic Variable Cross-Section Beam

4.2 Y 軸剛度分析

當(dāng)在Y 軸上有加速度時(shí)，剛度分析同前文相同，距原點(diǎn)x 處橫截面對(duì)Z 軸的慣性矩為：

轉(zhuǎn)角為：

再次對(duì)x 變量積分得撓度w：

當(dāng) x=0 時(shí)，Y 軸的最大撓度 wmax為：

由式（23）可得 Y 軸剛度 KY為：

式（24）的圖像，如圖6 所示。Y 軸剛度隨梁跨度l 減小而增大，隨梁末端長軸 a2增大而增大。當(dāng) l 在 100μm 到 150μm 范圍內(nèi)，且 a2在 35μm 到 60μm 之間時(shí)，Y 軸剛度變化不大。

圖6 菱形變截面梁Y 軸剛度與梁尺寸關(guān)系Fig.6 Relationship Between Y Axis Stiffness and Size of Rhombic Variable Cross-Section Beam

4.3 梁的強(qiáng)度分析

由于Iy>Iz，所以在加速度一定時(shí)必須滿足Y 軸強(qiáng)度要求。Y軸方向作用加速度時(shí)，由材料力學(xué)可知，距離原點(diǎn)x 處截面的Y軸最大彎曲應(yīng)力為：

將式（14）代入式（26）得：

求導(dǎo)得：

圖7 菱形變截面梁Y 軸最大應(yīng)力σ′（x）Fig.7 Maximum Stress σ′（x）of Y Axis of Rhombic Variable Cross-Section Beam

5 系統(tǒng)性能分析與量程

5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

為增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要減小Y 軸方向的剛度，使Y 軸的靈敏性提高，增大Z 軸方向的剛度，使Z 軸方向的靈敏性降低。同時(shí)為使整個(gè)系統(tǒng)工作穩(wěn)定，還應(yīng)防止因產(chǎn)生過大的靜電力，而導(dǎo)致極板吸合，所以系統(tǒng)機(jī)械剛度必須要大于靜電剛度[13]。

在反饋電壓的作用下，可動(dòng)梳齒電極上受到的靜電力為Fe：

所以可得到的靜電剛度為：

由此靜電剛度ke的變化范圍為：

如果Y 軸方向上的梁的剛度k 小于靜電力產(chǎn)生的靜電剛度ke，那么系統(tǒng)將失去平衡，處于不穩(wěn)定狀態(tài)，因此：

式中：ε—空氣介電常數(shù)；A—兩極板正對(duì)面積；ke—系統(tǒng)靜電剛度；k—系統(tǒng)Y 軸機(jī)械剛度；Fe—質(zhì)量塊受到的靜電力；Vvef—施加在兩邊固定梳齒電極上的參考電壓；Vout—輸出電壓。

對(duì)比圖5 和圖6 可知，菱形變截面梁Z 軸剛度大約是Y 軸剛度的16.8 倍，能較好地減小對(duì)Y 軸的干擾影響。菱形變截面梁能減小應(yīng)力集中的影響，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5.2 系統(tǒng)的靈敏度

根據(jù)輸入加速度與雙邊電容變化關(guān)系，可以得出電容差值量C 與加速度a 之間的關(guān)系式為：

不同加速度會(huì)產(chǎn)生不同的電容變化，所以只需測(cè)出電路中電容的變化，就可以求得加速度的大小。變間距型電容式加速度計(jì)的靈敏度Sc為：

由此可見，可以利用增大靜態(tài)電容C0和敏感質(zhì)量塊的質(zhì)量，減小初始極板間隙d0和加速度計(jì)的剛度系數(shù)k 的方法來提高加速度計(jì)的靈敏度。

5.3 系統(tǒng)的量程

對(duì)于閉環(huán)反饋式梳齒微機(jī)械加速度計(jì)的量程分析。當(dāng)加速度計(jì)正常工作時(shí)，質(zhì)量塊產(chǎn)生的慣性力與反饋電壓產(chǎn)生的靜電合力相平衡，系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)。由式（30）可得靜電合力為：

質(zhì)量塊產(chǎn)生的慣性力為：F=ma

所以可得加速度的最大值amax為：

一般說來，在結(jié)構(gòu)尺寸確定的情況下，提高加速度計(jì)的量程也就只能增加參考電壓。但參考電壓不可能無限制增大，還需要滿足穩(wěn)定性要求。所以在滿足穩(wěn)定性即機(jī)械剛度大于靜電力剛度的條件下，可算出最大加速度amax。

5.4 變截面梁的參數(shù)優(yōu)化

在滿足強(qiáng)度要求下，要適當(dāng)減小Y 軸剛度k，提高系統(tǒng)靈敏度，但又不能過小，否則會(huì)使系統(tǒng)固有頻率過低。從穩(wěn)定性方面分析，主要考慮Y 軸方向的剛度，選取Y 軸剛度為最大值時(shí)的尺寸，而此時(shí)梁Z 軸的剛度為Y 軸剛度的16.7 倍，能很好的減少Z軸方向剛度對(duì)Y 軸方向檢測(cè)的影響，且Y 軸方向能夠檢測(cè)到更大的量程。菱形變截面梁尺寸，如表1 所示。當(dāng)a、b 均為常數(shù)時(shí)，梁為等截面梁，當(dāng)其滿足下列等式時(shí)，可計(jì)算出等截面梁的尺寸：

表1 兩種加速度計(jì)梁尺寸參數(shù)Tab.1 The Parameters of Two Kinds of Accelerometer Beams

經(jīng)計(jì)算可得，等截面梁的Y 軸和Z 軸剛度分別為2.9234×10-3N/μm、0.02183N/μm。橢圓形變截面梁 Y 軸 Z 軸剛度分別為1.2998×10-3N/μm、0.02183N/μm。

系統(tǒng)總質(zhì)量由質(zhì)量塊、梳齒的質(zhì)量和梁的質(zhì)量構(gòu)成。因?yàn)橘|(zhì)量塊和梳齒的質(zhì)量是一定的，且等截面與變截面的體積相等。所以可得等截面梁加速度計(jì)與梯形變截面梁加速度計(jì)的總質(zhì)量關(guān)系為：m變梁=m等梁

菱形變截面梁加速度計(jì)與等截面梁加速度計(jì)的固有頻率關(guān)系為：ωn變=0.66ωn等

由圖7 和計(jì)算等截面梁加速度計(jì)梁的強(qiáng)度可得兩者的關(guān)系為：

σmax變=1.2σmax等

由式（11）可得菱形變截面梁加速度計(jì)與等截面梁加速度計(jì)的靈敏度關(guān)系為：Sc變=2.25Sc等

由式（38）可計(jì)算變截面加速度計(jì)的最大量程為：

在等截面梁和變截面梁的質(zhì)量相同且Z 軸同等剛度條件下，菱形變截面梁與等截面梁相比，危險(xiǎn)截面處應(yīng)力僅增加20%，而菱形變截面梁檢測(cè)方向剛度卻是等截面梁的0.44 倍，系統(tǒng)靈敏度是其等截面的2.25 倍，且能達(dá)到的最大加速度量程為668.8g。

6 結(jié)論

菱形變截面梁能減小梁的應(yīng)力集中，可使加速度計(jì)檢測(cè)方向和非檢測(cè)方向剛度的區(qū)分度達(dá)到最大，減小非檢測(cè)方向?qū)z測(cè)方向靈敏度的影響，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在梁質(zhì)量相等和非檢測(cè)方向剛度相同的條件下，菱形變截面梁與等截面梁相比，危險(xiǎn)截面處應(yīng)力相當(dāng)而檢測(cè)方向剛度減小，系統(tǒng)靈敏度大大提高，同時(shí)梁的量程能達(dá)到668.8g。