沙嬋娟， 張 虹

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 太原 030006； 2.西南交通大學(xué)希望學(xué)院， 成都 610400)

本文考慮如下帶有非線性擴(kuò)散項(xiàng)和耗散項(xiàng)的Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程的初邊值問題：

ut-uxxt+ux-uxx+uux=0，(x,t)∈

(xL,xR)×(0,T]

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(3)

其中u0(x)是已知光滑的函數(shù).方程(1)是Benjamin等[1]在研究非線性彌散系統(tǒng)中長波的單向傳播時(shí)為考慮非線性波在傳播中的耗散原理而提出的，是對(duì)描述淺水波損耗現(xiàn)象的KdV方程的修改.對(duì)這類問題的研究有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.

文獻(xiàn)[2-4]研究了方程(1)解的存在唯一性及收斂性.文獻(xiàn)[5-12]對(duì)BBM方程進(jìn)行了數(shù)值方法研究，但一般都只具有二階理論精度.文獻(xiàn)[13，14]對(duì)問題(1)-(3)分別提出理論精度為O(τ2+h4)的兩層非線性差分格式和三層線性差分格式，但非線性差分格式數(shù)值求解時(shí)需要非線性迭代，耗時(shí)較多.本文先對(duì)方程(1)進(jìn)行線性化離散處理，僅需在時(shí)間層將非線性項(xiàng)uux部分外推到n-1層即可保證時(shí)間層具有二階理論精度.然后，利用Richardson外推[13]的思想在空間層進(jìn)行外推，本文使空間層具有四階理論精度，從而對(duì)問題(1)-(3)構(gòu)造一個(gè)新的三層線性差分格式.在不能得到其差分解的最大模估計(jì)的情況下，本文綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和離散泛函分析方法[15]，直接證明了該格式的收斂性和穩(wěn)定性.數(shù)值算例表明，相對(duì)于文獻(xiàn)[14]的三層線性格式，該格式的精度有了大幅度的提高.

2 差分格式及其可解性

對(duì)問題(1)～(3)考慮如下有限差分格式：

(j=1,2,…,J-1；n=1,2,…,N-1)

(4)

(5)

(6)

(7)

引理2.1[15]對(duì)n=0,1,2,…,N，恒有

定理2.2若時(shí)間步長τ充分小,則差分格式(4)～(7)是唯一可解的.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法.顯然，U0和U1是由(5)式和(6)式唯一確定的.假設(shè)U0,U1,…,Un-1,Un(n≤N-1)是唯一可解的.現(xiàn)在我們來考慮(4)式中的Un+1,則有

(8)

將(8)式與Un+1作內(nèi)積，由邊界條件和分部求和公式[16]有

(9)

由引理2.1有

(10)

又

(11)

將(10)和(11)式代入(9)式，并利用引理2.1，整理有

于是，只要取τ足夠小，使得當(dāng)1-Cτ>0時(shí)，方程組(8)僅有零解.因而，差分格式(4)～(7)中的Un+1是唯一可解的.

3 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

差分格式(4)～(7)的截?cái)嗾`差定義如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

由Taylor展開可知，當(dāng)h,τ→0時(shí)，

(16)

引理3.1[13]設(shè)u0∈H2.則初邊值問題(1)～(3)的解滿足

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C.

證明 數(shù)學(xué)歸納法.記

由(12)～(15)式減去(4)～(7)式得

Qj(j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1)

(17)

(18)

j=1,2,…,J-1

(19)

(20)

其中

由引理3.1以及(16)式知，存在與τ和h無關(guān)的常數(shù)Cu和Cr使得

Cr(τ2+h4)n=1,2,…,N-1

(21)

再由初始條件(5)以及(18)式可得以下估計(jì)式：

‖e0‖=0，‖U0‖∞≤Cu

(22)

現(xiàn)假設(shè)

l=1,2,…,n(n≤N-1)

(23)

其中Cl(l=1,2,…,n)為與τ和h無關(guān)的常數(shù).則由離散Sobolev不等式[16]和Cauchy-Schwarz不等式有

(24)

‖Ul‖∞≤‖ul‖∞+‖el‖∞≤

(25)

(26)

整理得

(27)

由引理3.2以及微分中值定理有

即

(28)

同理

(29)

再取τ和h充分小,使得

(30)

則由引理2.1、引理3.2以及(28)～(30)式有

‖en+1‖2+‖en‖2)

(31)

‖en+1‖2+‖en‖2)

(32)

(33)

將(31)～(33)式代入(27)式整理有

τ‖rn‖2+2(Cu+1)(‖en+1‖2+

(34)

將(34)式從1到n遞推，由引理3.1得

(35)

又

T·(Cr)2(τ2+h4)2

(36)

將(23)、(36)式代入(35)式，利用離散Gronwall不等式[16]，取時(shí)間步長τ充分小以滿足

于是有

(Cn+1)2(τ2+h4)2,n=1,2,…,N-1，

最后，由離散Sobolev不等式有

‖en‖∞≤O(τ2+h4),n=1,2,…,N.

定理3.3設(shè)u0∈H2.若時(shí)間步長τ和空間步長h充分小，則差分格式(4)～(7)的解滿足

證明 對(duì)于充分小的τ和h，由定理3.2有

注定理3.3表明差分格式(4)～(7)的解Un以‖·‖∞關(guān)于初值無條件穩(wěn)定.

4 數(shù)值算例

當(dāng)t=0時(shí)，由于耗散還沒有產(chǎn)生，所以在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們把問題(1)～(3)中的初值函數(shù)取為RLW方程的初值函數(shù)[14](t=0時(shí))

由于不知道方程(1)的精確解，我們用類似文獻(xiàn)[13-14]中的處理方法將細(xì)網(wǎng)格 (τ=h=1/160)上的數(shù)值解作為精確解來估計(jì)誤差.固定xL=-20，xR=40，T=10.就τ和h的不同取值，對(duì)本文的格式(記為格式1)和文獻(xiàn)[14]的線性格式(記為格式2)進(jìn)行了比較，在幾個(gè)不同時(shí)刻的誤差及其對(duì)理論精度的檢驗(yàn)見表1、2. 其中

Order=log2Rn.

表1 兩個(gè)格式在不同時(shí)刻的l∞誤差比較

表2 對(duì)格式1的理論精度O(τ2+h4)的數(shù)值檢驗(yàn)

從數(shù)值算例可以看出，本文的格式是可行的.由于格式1在數(shù)值計(jì)算時(shí)的已知層(第n-1層)很少，所以誤差傳遞累積也較少，從而格式1比格式2具有更高的精度.